O que é uma variedade?

• Variedade (manifold) é um conceito matemático de espaço que, localmente, parece plano, mas globalmente possui uma estrutura mais complexa
• Esse conceito, apresentado no século XIX por Bernhard Riemann, expandiu o espaço de um mero pano de fundo físico para um objeto independente de estudo
• Usando a propriedade de parecer um espaço euclidiano em cada ponto, os matemáticos calculam área, volume e movimento com as ferramentas tradicionais do cálculo
• Por meio de cartas (charts) e atlas, espaços complexos são divididos em vários pedaços para análise, e os resultados são reunidos para compreender a estrutura inteira
• Hoje, as variedades se consolidaram como uma linguagem matemática fundamental com papel central em relatividade geral, topologia, análise de dados e física

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Formação da ideia

• Desde a Antiguidade, a geometria era o estudo das retas e planos do espaço euclidiano
  • Nesse espaço, a menor distância entre dois pontos é uma reta, e a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus
• No início do século XIX, os matemáticos começaram a explorar espaços curvos e descobriram fenômenos em que linhas paralelas se encontram ou em que a soma dos ângulos internos de um triângulo muda
• Riemann ampliou os estudos de Gauss sobre superfícies curvas e apresentou uma teoria geral capaz de definir geometria em espaços de dimensão arbitrária
  • Ele apresentou esse conceito em uma palestra na Universidade de Göttingen em 1854, e isso depois se tornou a base da topologia moderna e da teoria da relatividade
• Na época, a ideia foi ignorada por parecer abstrata, mas, passando pelos trabalhos de Poincaré e Einstein, tornou-se um conceito-padrão da matemática em meados do século XX

Definição e estrutura das variedades

• “Manifold” deriva do termo alemão de Riemann Mannigfaltigkeit (multiplicidade)
• Uma variedade é um espaço que localmente se parece com um espaço euclidiano; por exemplo, um círculo é uma variedade unidimensional
  • Uma formiga sobre o círculo não percebe que está sobre uma curva
  • Já uma curva em forma de 8 não é uma variedade, porque no ponto de interseção ela não se parece com uma reta
• A superfície da Terra é uma variedade bidimensional, mas o vértice de um cone duplo (double cone) não é
• O ponto central da ideia de variedade é focar nas propriedades intrínsecas
  • Em vez de propriedades que mudam conforme a dimensão do espaço ou sua forma externa, faz-se a análise usando a aproximação euclidiana em cada ponto
• Para isso, os matemáticos dividem o espaço em vários patches e representam cada patch com um sistema de coordenadas (chart)
  • Definem-se as regras de transformação de coordenadas nas regiões sobrepostas, e esse conjunto completo é chamado de atlas
• Com um atlas, um espaço complexo pode ser dividido em pequenos pedaços euclidianos para cálculo, e os resultados são combinados para entender a estrutura total
• Essa abordagem é hoje usada de forma padrão em toda a matemática e a física

Aplicações das variedades

• Na relatividade geral, o espaço-tempo é uma variedade quadridimensional, e a gravidade é expressa por sua curvatura
• O espaço tridimensional que percebemos também é uma variedade e, localmente, parece plano, mas sua forma global ainda não foi totalmente determinada
• Os físicos transformam problemas para a linguagem das variedades e aproveitam suas propriedades geométricas
  • Ex.: se todos os estados possíveis de um pêndulo duplo (double pendulum) forem representados por dois ângulos, o espaço de estados se torna uma variedade em forma de rosca (toro)
  • O movimento do pêndulo aparece como um caminho sobre esse toro, o que permite analisar geometricamente movimentos complexos
• De modo semelhante, o conjunto de soluções de equações algébricas complexas ou dados de alta dimensão (ex.: atividade de neurônios no cérebro) também podem ser interpretados como variedades para compreender sua estrutura
• As variedades são uma linguagem fundamental em toda a matemática e a ciência, reconhecidas como uma ferramenta “tão universal quanto usar números”

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Comentários no Hacker News

• Aprendi sobre variedades pela primeira vez com Introduction to Smooth Manifolds, de John M. Lee
  O livro é denso, mas tem uma estrutura lindamente organizada, ligando a topologia básica de forma lógica até aplicações suaves e espaços tangentes
  Exige concentração, mas cada definição contribui para revelar a essência da geometria. Recomendo fortemente
  • Acho sinceramente que é o melhor livro. Mas, se você quiser uma abordagem mais suave, recomendo o livro do Loring Tu
    Topological Manifolds, do Lee, também é bom, e na edição mais recente de Riemannian Manifolds vale a pena ler só as partes necessárias
  • Sinceramente, não entendo muito bem por que os livros do John M. Lee são tão exaltados
    Não são ruins, mas senti falta de rigor. Em vez disso, Manifolds and Differential Geometry, de Jeffrey M. Lee, foi muito melhor
• Este texto sobre a história e a importância das variedades foi muito informativo
  Em vez de trazer só uma definição simples, ele explica de forma interessante como os conceitos matemáticos evoluíram
  • O site até tem feed RSS, mas as tags de cabeçalho estão configuradas incorretamente, então é difícil encontrá-lo
    O feed real é https://www.quantamagazine.org/feed/
  • Pessoalmente, não achei o artigo tão excelente assim
    Por exemplo, ele descreveu como variedade o espaço de todos os estados possíveis de um pêndulo duplo (double pendulum), mas não ficou claro por que isso precisa ser visto especificamente como uma variedade
    Também faltou explicação sobre o conceito de atlas. Até uma esfera simples não pode ser coberta por um único plano, então é preciso usar vários sistemas de coordenadas, e lidar com as regiões de sobreposição é justamente o ponto central
    E, a propósito, o espaço-tempo da relatividade não é Riemannian, mas sim espaço de Minkowski
  • Surpreende que tanta gente não conheça a Quanta Magazine
    Acho que hoje ela é um dos veículos de jornalismo científico de mais alto nível.
    É séria, sem clickbait, e a combinação de diagramas técnicos e ilustrações artísticas é excelente
    O podcast também é bom, mas seria ótimo se houvesse uma versão com leitura em voz alta de todos os artigos
    Além disso, não há absolutamente paywall, pop-ups de cookies nem provocações políticas
  • Não sou matemático, e até então eu só conhecia manifold como peça de motor, mas
    graças ao texto e às imagens consegui entender o conceito muito melhor
• Quando se diz, no espaço de representações de redes neurais, que “os dados estão sobre uma variedade de baixa dimensão”, fico curioso se isso tem o mesmo sentido de variedade na definição matemática
  Ou se é apenas uma forma metafórica de falar de um subespaço intrínseco
  • Isso é chamado de hipótese da variedade (manifold hypothesis)
    É razoável supor que a maior parte dos dados realmente exista sobre uma variedade
    Por exemplo, mesmo que você deforme suavemente o dígito manuscrito ‘6’, ele continua sendo reconhecido como ‘6’
    Mas, ao usar ativação ReLU, a suavidade se quebra, então o espaço de representações da rede neural não é uma variedade de verdade
    Já com ativações suaves como Swish, a estrutura pode ser preservada
  • Existe uma área chamada Information Geometry
    Há pesquisas interessantes que aplicam análise geométrica ao processo de treinamento de redes neurais
    Dizem ter encontrado fenômenos semelhantes a transições de fase (phase transition) durante o treinamento
    Information Geometry of Evolution of Neural Network Parameters While Training
  • Na prática, dá para pensar nisso como variedade + ruído
    Por exemplo, dados como y=sin(x)+noise podem ser vistos como uma variedade unidimensional
    Mas, por causa da maldição da dimensionalidade, sou cético quanto à utilidade algorítmica dessa definição
• Vi pela primeira vez a variedade de Calabi–Yau ao ler um livro sobre teoria das cordas
  Link da Wikipedia
  Sinceramente, não entendi tudo, mas as imagens são realmente lindas
  Busca de imagens no Google
  • Estudei variedades de Calabi–Yau no passado e ainda me lembro de como eram difíceis
    Trata-se de um espaço especial, suave e simétrico que é localmente plano, mas globalmente curvado de forma complexa
    A curvatura fica perfeitamente equilibrada, então não há expansão nem contração no todo
    Na teoria das cordas, essa variedade é usada para explicar dimensões ocultas, e sua forma influencia as propriedades de partículas e forças
• Isso me lembra como os físicos definem tensores como “objetos que se transformam de uma certa maneira quando o sistema de coordenadas muda”
  À primeira vista parece uma lógica circular, mas, na verdade, é justamente essa propriedade de transformação que distingue os tensores de outros arranjos de números
  Em termos abstratos, isso é conveniente porque não exige ficar preso à visualização
  • Às vezes é difícil ler físicos, porque eles tendem a se concentrar em transformações de coordenadas
    Mas a essência é uma estrutura geométrica independente do sistema de coordenadas
    Por exemplo, o espaço de Minkowski da relatividade especial pode ser definido sem coordenadas
    Fica bem mais claro entender tensores como aplicações multilineares que recebem vetores e covetores e devolvem números reais
  • A definição no estilo da física acabou sendo mais confusa para mim
    Aprendemos só as regras de transformação, sem muita explicação do porquê
    Já a definição matemática leva a uma compreensão muito mais fundamental por meio de formas diferenciais e covetores
  • A frase “um tensor de segunda ordem é um objeto que se transforma como um tensor de segunda ordem” é claramente uma definição circular
    Porque inclui a si mesma na definição
• Dá para pensar numa variedade como “um espaço em cuja superfície você pode colocar um disco em forma de CD sobre qualquer ponto”
  Basta que o raio seja maior que 0
  • No começo, a rigidez do CD parece estranha, mas, para uma variedade bidimensional, é uma analogia precisa
  • “Colocar um objeto em forma de CD” na verdade quer dizer um conjunto aberto (open set)
• Isso me faz lembrar a frase de Lobachevsky: “topologia analítica e algébrica da métrica euclidiana local de variedades riemannianas infinitamente diferenciáveis”
  • Lembrei da piada “Plagiarize!”
• Achei curioso que o conceito de variedade quase não seja aplicado a projeções cartográficas
  Na prática, isso parece um exemplo de variedade, então fiquei me perguntando por quê
  • Se o problema é apenas achatar uma esfera num plano, a teoria das variedades é uma ferramenta pesada demais
    Cartógrafos lidam principalmente com distorção (distortion), então já existem metodologias adequadas para isso
    Além disso, variedades são definidas por coordenadas locais (local charts), não por coordenadas globais (global coordinates), então as coordenadas de regiões diferentes não coincidem entre si
    Historicamente, a cartografia também existe muito antes do conceito de variedade
• É interessante que, na terminologia matemática em inglês, algo que “localmente se parece com Rⁿ” seja chamado de manifold, enquanto “o conjunto de zeros de polinômios” seja chamado de variety
  Em outras línguas, às vezes se usa a mesma palavra para ambos. Por exemplo, em italiano, ambos são varietà
  • “manifold” vem de Mannigfaltigkeit, de Riemann, que em alemão significa “variety” ou “multiplicity”
  • Em inglês, nem toda variety é manifold
    Veja a explicação relacionada nesta resposta do math.stackexchange
• É interessante que o manifold de automóveis e o manifold da matemática usem a mesma palavra, mas tenham etimologias diferentes
  • Fui pesquisar e parece que ambos vêm do antigo inglês/germânico “many + fold”
  • Esse tipo de sobreposição de nomes gera confusão ao aprender conceitos novos
    O significado que a pessoa já conhece fica na cabeça e atrapalha a compreensão do novo conceito
    Acho que ajudaria muito explicar também a etimologia do termo
  • Em automóveis, um manifold significa uma estrutura em que um espaço cercado por paredes finas se conecta a várias portas (ports)
    Muitas vezes, como na admissão e no escapamento, há dois espaços entrelaçados