Funções são vetores.

• Funções podem ser pensadas como vetores de dimensão infinita, e ferramentas de álgebra linear podem ser aplicadas a vários problemas.
• Para entender esse conceito, é necessário ter conhecimento básico de álgebra linear, cálculo e equações diferenciais.
• Funções podem ser representadas como vetores em um espaço vetorial e podem ter índices infinitos contáveis ou incontáveis.
• Operadores lineares podem ser vistos como matrizes de dimensão infinita que transformam funções.
• Derivação é um exemplo de operador linear aplicado a funções.
• Diagonalização é uma técnica para decompor matrizes em forma diagonal, e também pode ser aplicada a operadores lineares sobre funções.
• A transformada de Laplace é um método usado para diagonalizar a derivação no espaço de funções de R para C.
• Produtos internos, como o produto escalar, são usados para medir um vetor em relação a outro vetor.
• O comprimento de um vetor é definido como a raiz quadrada do produto interno dele consigo mesmo.
• Vetores ortogonais têm produto interno igual a 0.
• É introduzido o produto interno funcional para funções reais.
• O operador de Laplace é um operador fundamental na matemática e pode ser diagonalizado usando autofunções.
• As autofunções de Laplace são funções periódicas.
• O operador de Laplace tem aplicações em séries de Fourier, compressão de imagens, harmônicos esféricos e mais.
• Harmônicos esféricos são autofunções ortonormais ortogonais usadas para representar funções sobre a esfera.
• O operador de Laplace para malhas é uma matriz de dimensão finita usada para encontrar autofunções sobre a malha e para transformar e comprimir funções.
• Funções podem ser calculadas de forma eficiente usando técnicas de álgebra linear.
• Processamento de sinais e geometria, compressão de imagens, simulação, transferência de radiância, aprendizado de máquina e splines são mencionados como áreas de aplicação.
• O uso de harmônicos esféricos e do operador de Laplace afeta a suavização e o realce da geometria em computação gráfica.
• O artigo termina com uma lista de tópicos para exploração adicional na área.

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Comentários do Hacker News

• Funções podem ser tratadas como elementos de um espaço vetorial abstrato.
• Com essa mudança conceitual, matemáticos passaram a poder aplicar intuições geométricas a problemas relacionados a funções.
• A história dessa mudança de perspectiva pode ser rastreada até o fim do século XIX e o início do século XX.
• O operador de Koopman fornece uma aproximação linear de sistemas não lineares, simplificando controle e estimação.
• A biblioteca Funsor oferece uma biblioteca semelhante ao numpy para funções em programação probabilística.
• A pesquisa de Vito Volterra em Madri sobre equações diferenciais e integrodiferenciais mostra a analogia entre variáveis finitas e infinitas.
• Os conceitos de análise funcional são interessantes e úteis para programadores.
• Este artigo oferece outra perspectiva sobre funções como vetores, mas alguns comentaristas têm uma visão diferente.
• Há áreas da matemática interessadas na conectividade entre os espaços de entrada e saída das funções.
• Funções são mais gerais do que vetores e exigem a estrutura apropriada necessária para operações vetoriais.