Tudo é logaritmo

• Se o logaritmo for visto não como uma função numérica, mas como a razão entre objetos abstratos sem base, então (\log_b N = \log N / \log b) pode ser lido como uma conversão de unidade
• (\log 2) vira uma unidade de medida como bits, e (\log e) como nats; a fórmula de mudança de base se parece com escrever a mesma quantidade em unidades diferentes
• A valuation (p)-ádica, a ordem de zeros e polos, e a extração de componentes via derivação podem todas ser interpretadas como projeções de componentes logarítmicos
• Seguem-se várias correspondências: vetores como logaritmos de operadores de translação, dimensão como o logaritmo do tamanho de um espaço vetorial sobre um corpo finito, e base como o objeto retornado pelo logaritmo
• A discussão toda é menos um teorema rigoroso de unificação e mais uma exploração que rastreia redundâncias de notação e estrutura; a separação matemática entre coordenadas e unidades pode ajudar a organizar esses padrões

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Logaritmos sem base e conversão de unidades

• Um logaritmo comum, como (\log_b x), explicita a base (b) para representar a solução de (b^y=x)
• A fórmula de mudança de base (\log_b x = \log_a x / \log_a b) pode ser interpretada de modo parecido com uma conversão de unidade
  • Tem a mesma estrutura de (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
  • “Quantos (b) cabem em (x)” pode ser visto como “o número de (a) em (x)” dividido pelo “número de (a) em (b)”
• Se (\log N) for tratado como um objeto abstrato, e não como um número, então o logaritmo com base passa a ser a razão entre dois logaritmos sem base
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2) é tratado como uma unidade como “bits”
  • (\log e) é tratado como uma unidade como “nats”
• Nessa perspectiva, (\log N) não tem significado numérico direto; ele só vira um valor numérico em certa unidade quando é dividido por (\log b)
• Considera-se que não há uma forma significativa de construir um correspondente para um expoente sem base, como ((*)^{\log N})
  • O (\log_b N) usual se organiza como a razão entre dois objetos sem unidade, (\log N) e (\log b)

A semelhança entre logaritmos e vetores

• Assim como distinguimos um vetor geométrico sem coordenadas de um vetor de coordenadas em um sistema específico, (\log N) também pode ser visto como um objeto anterior à escolha de uma base
• A notação não padrão em que um vetor (\mathbf{v}) é dividido por um vetor de referência (\mathbf{x}) para medir componentes, e o procedimento de obter um valor em bits via (\log N / \log 2), têm a mesma estrutura
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• Escrever o mesmo logaritmo em unidades diferentes corresponde a escrever o mesmo vetor em bases diferentes
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• A fórmula de mudança de base cumpre o mesmo papel que uma transformação de coordenadas para vetores
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

Operações que extraem componentes logarítmicos

• O logaritmo comum não tem uma notação padrão de projeção parcial que extraia apenas um componente específico, como nas derivadas parciais
  • Quando (N=2^a3^b), temos (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3), de modo que tudo é medido em uma única unidade
  • Não há uma notação logarítmica padrão para extrair separadamente o componente (\log 2) e o componente (\log 3)
• A valuation p-ádica da teoria dos números pode ser interpretada como uma operação que extrai o coeficiente do componente (\log p) na fatoração em primos de um número natural
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • Identidades logarítmicas como (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) também se preservam
• Ao expandir isso para racionais ou números com radicais, os coeficientes passam a ser inteiros ou racionais, e o objeto resultante fica mais próximo de um espaço vetorial real
• A ordem de um zero ou de um polo na análise complexa também pode ser expressa por um limite de uma razão logarítmica semelhante
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • Isso extrai a ordem do termo dominante em uma série de Laurent
• A valuation (p)-ádica, a derivada parcial e a extração de ordem na análise complexa se parecem entre si, mas ainda não está clara uma teoria unificada que as reúna

Casos em que vetores também podem ser vistos como logaritmos

• Em geometria diferencial, vetores são usados como base de operadores de derivada parcial, e sua exponenciação gera operadores de translação
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• Em espaços planos, o operador de translação se decompõe no produto de translações por coordenada
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • Em espaços não planos, translações em coordenadas diferentes podem não comutar, o que torna tudo mais complexo
• Nesse caso, o vetor pode ser expresso como o logaritmo do operador de translação
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• Em vez de depender da base (e) do logaritmo natural, parece mais apropriado fixar uma base geral de translação (T) e escrever algo como (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}})
• A multiplicação comum também pode ser vista como uma translação nas coordenadas (\ln a), mas não está claro se essa interpretação é de fato útil

A relação entre logaritmos e derivadas

• O logaritmo natural pode ser definido como (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)
  • Ao expandir (x^a=e^{a\ln x}) em série de Taylor, (\ln x) aparece naturalmente
• Ao substituir ((1+x)), a série de Taylor de (\ln(1+x)) é reproduzida
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• Essa expressão parece uma derivada, e pode ser escrita como (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})
• Em vários aspectos, (\ln x) se comporta como (x^0)
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • Formalmente, (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)
• Essa parte não se conecta diretamente com as outras discussões do texto, mas acrescenta a perspectiva de ver o logaritmo como a variação de primeira ordem em torno de (x^0)

A dimensão se comporta como um logaritmo

• Em espaços vetoriais de dimensão finita, (\dim_K) satisfaz identidades parecidas com as de um logaritmo
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• Em um espaço vetorial finito-dimensional (V\simeq K^n) sobre um corpo finito (K), há de fato uma relação logarítmica real entre tamanho e dimensão
  • Um vetor pode ser visto como uma função que atribui coeficientes de (K) a cada elemento da base
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • Portanto, (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• Em dimensão infinita ou sobre corpos infinitos, essa interpretação é menos sólida, e pode ser necessário usar outros conceitos de tamanho, como numerosity) em vez de cardinalidade
• Se usarmos uma notação de dimensão sem base, podemos escrever (\dim K^n=n\dim K) e (\dim_K V=\dim V/\dim K)
• No produto tensorial, simplesmente multiplicar as dimensões faz aparecer (\dim K) uma vez a mais; a interpretação proposta é que o tensor sobre (K), (\otimes_K), remove esse fator ao quocientar os coeficientes escalares

Ver base e span como logaritmo e exponencial

• Se a dimensão for a cardinalidade de uma base, então o logaritmo pode ser visto como retornando não a cardinalidade, mas a própria base
  • Se (V\simeq K^3) tem base ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})), poderíamos escrever (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• Como existe o problema de escolher uma base específica, talvez faça mais sentido tratar (\log_KV) como um objeto que se refere conjuntamente a todas as bases possíveis de (V)
  • Dado um referencial arbitrário (X_0) e (\Lambda\in GL(V)), temos (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • Esse objeto pode ser visto como um torsor de (GL(V))
• A operação inversa do logaritmo seria interpretada como o span que reconstrói o espaço vetorial a partir da base
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• Essa interpretação faz bastante abuso de notação e talvez não seja a melhor possível, mas sugere pensar em (\dim) e (\span) como análogos de (\log) e (\exp) na álgebra linear
• Na perspectiva do logaritmo sem base, pode até haver espaço para interpretar o próprio (\log K) como “uma base de (K)”, mas isso fica para uma discussão posterior ainda mais abstrata

Especulação sobre a relação entre funções e logaritmos

• O procedimento de elevar operações aritméticas a operações sobre conjuntos é tratado como algo próximo de “setification”
  • Soma, produto e exponenciação dos números naturais correspondem, respectivamente, à união disjunta, ao produto cartesiano e ao conjunto de funções entre conjuntos
  • Para conjuntos finitos, a cardinalidade preserva bem essas operações
• Por exemplo, se (A={a,b}) e (X={x,y}), então ao expandir ((a+b)^{x+y}) podemos listar como termos as 4 funções de (X\to A)
  • (a^xb^y) pode ser interpretado como a função (x\mapsto a), (y\mapsto b)
  • Se alguns valores forem tomados como (0) ou (1), isso passa a se comportar como avaliação ou restrição de funções
• Fatoriais e combinações também podem ser enumerados de forma parecida por meio de permutações e escolhas
• Em geral, uma função (f:X\to A) é modelada como a relação ({(x,f(x))\mid x\in X}), mas o próprio termo (a^xb^y) já é uma função, então sua cardinalidade é 1
• A ideia de (\log f ? x\log a+y\log b) lembra a representação relacional de uma função, mas essa parte ainda não está formulada de modo suficientemente claro

Covariância geral e conclusão

• A discussão toda se concentra no caso simples de ver o logaritmo como um isomorfismo que transforma expressões multiplicativas em expressões aditivas
  • Casos mais complexos, como logaritmo complexo ou logaritmo de matrizes, ficam fora do escopo
• Várias operações matemáticas, como (\dim), (\nu_p) e a derivada total, têm estruturas iguais ou muito próximas às do logaritmo
• Essas conexões têm algo de “numerologia”, mas são organizadas demais para serem simplesmente ignoradas
• Estruturas semelhantes também aparecem na matemática da física, especialmente na formulação por operadores da mecânica quântica, e a física impõe restrições à notação matemática e à escolha de coordenadas
• A general covariance é a ideia de que as propriedades dos objetos devem ser independentes da escolha de coordenadas; o logaritmo sem base pode ser visto como um exemplo de tentativa de separar o isomorfismo entre expressão multiplicativa e expressão aditiva da escolha da unidade

[GN⁺]

Comentários no Hacker News

• Aqui, logaritmo sem base é simplesmente um torsor [0]
  Coisas como posição, valor de moeda e datas de calendário também podem ser vistas como torsors. O valor em si é arbitrário, e não muda funcionalmente se você transladá-lo por certa quantidade ou mudar a escala. O torsor permite falar do objeto sem fazer essas escolhas arbitrárias de antemão
  No caso do logaritmo sem base, o conjunto subjacente é a “unidade de informação”. log 2 é bit, log e é nat, log 10 é digit, e assim por diante, e o fator de conversão forma o grupo do torsor. Escolher uma unidade específica como especial é apenas trivializar o torsor
  A notação de divisão de vetores também codifica um g-torsor exatamente da mesma forma que unidades de comprimento
  Até agora, os exemplos eram todos torsors de grupos abelianos, mas para especificar uma posição é preciso escolher tanto uma origem quanto uma unidade de comprimento. O grupo desse torsor é um produto semidireto apropriado entre translação e escala, então ele se torna um grupo não abeliano
  A maioria das pessoas escolhe implicitamente uma trivialização, e daí surge a confusão de identificar o objeto com as operações sobre ele. Por exemplo, misturam vetor como posição com vetor como translação. O autor também trata desse ponto no texto sobre seu problema com álgebra geométrica [1]
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • Dar o nome torsor a esse conceito matemático foi uma escolha muito ruim. A relação com o sentido original da palavra não é nada clara e, na mecânica clássica, ela já era usada há muito tempo para um conceito completamente diferente: a grandeza que deve ser zero para um corpo rígido permanecer em equilíbrio, isto é, o par formado pela força resultante e pelo torque resultante
    Infelizmente, a matemática tem uma longa tradição de reaproveitar palavras comuns como nomes de conceitos sem nenhuma relação com o significado original. Por isso, até livros ou artigos de matemática que dizem coisas triviais ficam opacos se você não estiver acostumado ao jargão técnico daquela subárea específica
  • Eu conhecia torsor, mas nunca tinha feito essa conexão. Na verdade, não sinto que o termo em si seja tão útil; mesmo conhecendo torsor, ainda acho difícil pensar dessa forma. Ainda assim, parece que eu preciso me familiarizar mais com o conceito
    Em outro comentário aqui, a pessoa descreveu meu logaritmo de base como um “GL(V)-torsor”, o que ficou muito mais conciso do que a forma toda forçada que eu vinha escrevendo à mão
    Independentemente da terminologia, achei interessante porque nunca tinha visto logaritmos pensados desse jeito

• Logaritmos são incríveis. Comecei a olhar um livro de matemática dos anos 1920, e todos os cálculos dependiam de tabelas de logaritmos. A ideia era converter números em logaritmos pela tabela, reduzir a ordem da operação e depois voltar para a representação comum
  Até uma operação como encontrar raiz cúbica pode ser reduzida a divisão e, se você passar para log-log, pode reduzi-la de novo a subtração antes de restaurar a notação original. Fazer isso à mão dá mesmo a sensação de usar um wormhole mágico

  • A versão física desse wormhole mágico é a régua de cálculo
  • Seria ótimo se houvesse um PDF. Gosto muito desses livros antigos
  • Queria saber se você pode dizer o título desse livro
  • Até os anos 2010 ainda usávamos cálculo manual e tábua de logaritmos nas provas escolares. Calculadoras não eram permitidas
    Em uma ou duas provas sempre aparecia uma questão que exigia o uso da tábua de logaritmos. Por exemplo, divisão virava lookup(a)-lookup(b), e depois esse valor era procurado na tabela do antilog, isto é, na tabela de exp

• The Lost Art of Logarithms, de Charles Petzold, é uma leitura agradável. Ainda é um trabalho em andamento
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • Os textos de Charles Petzold sempre têm muita clareza e profundidade

• A mesma ideia também aparece na física. Na física quântica, a ação S aparece como uma grandeza parecida com o logaritmo por trás da amplitude e^iS/(h^bar)
  Na mecânica estatística, a entropia é o logaritmo do número Omega de microestados possíveis: S = log(Omega)
  São conceitos que surgiram em áreas diferentes da física, mas ambos refletem o mesmo princípio de usar logaritmos para transformar relações multiplicativas em relações aditivas

• Para a pergunta “se existe log(N) sem base, então também existe uma ‘potência sem base’?”, com uma álgebra ingênua isso parece possível
  Se em log(x,base) dá para remover base, então em pow(base,x) também dá para remover base. Como bits=log(2), então pow(bits)=2. Parece que também daria para conectar isso a conceitos inversos como integração
  Brincando com a notação:
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // a frequência de 400 Hz é 4 vezes a de 100 Hz
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // a altura de 400 Hz está 2 oitavas acima de 100 Hz
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // a altura de B4 está 200 cents acima de A4
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // a frequência de B4 é 493.883 Hz
  Gosto da intuição que a notação de log sem base transmite, e ela também evita a necessidade de escolher um ponto de referência específico. Também dá para escolher uma base arbitrária e calcular diretamente:
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

  • Isso também permitiria dar uma unidade real aos decibéis
    dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // o nível de 10 V está 20 dB acima do nível de potência de 1 V
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // dano auditivo ocorre acima de 90 dB_F sobre o SPL (ignorando A-weighting)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // a pressão de dano auditivo é mais de 31622 vezes o SPL
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // a pressão de dano auditivo é maior que 0.632 Pa
    Muito útil. Dá para imaginar unificar aquela lista absurda de sufixos de decibel em uma notação uniforme. Se você escrever o log primeiro, a posição do + ou - também permanece a mesma
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
  • Sim. Também daria para simplesmente fazer currying da exponenciação e chamar isso de potência sem base. Só não encontrei uma notação elegante

• Este texto precisa de um sistema de tipos. Toda vez que você escreve “log”, precisa dizer log de quê e log para onde
  É parecido com o pessoal de áudio dizendo só “dB” e agindo como se isso já respondesse as perguntas seguintes. Relativo a quê, medido como, com ponderação ajustada para quem — tudo isso fica faltando
  O autor precisa reler https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory

  • A propriedade importante do log é estrutural. Fora quando se está fazendo cálculo numérico de fato, normalmente não se liga muito para unidade ou base
    Como o texto desenvolve de forma informal, mas até certo ponto suficiente, a fórmula de mudança de base mostra que a escolha da base em geral não importa muito. Logs de bases diferentes são equivalentes até um fator constante
    A expansão em série de Taylor de exp dá uma definição mais intrínseca e mais geral da função exponencial. Por isso, quando as condições adequadas de convergência são satisfeitas, exp pode ser generalizada estruturalmente para vários ambientes algébricos. Há, por exemplo, a exponencial complexa e seus vários logs possíveis, a exponencial de matrizes etc.
  • Ainda não entendo por que em áudio o dB é negativo. Relativo a quê? O que acontece em 0 dB?
  • Na primeira seção, o autor explica em detalhe que está pensando em “log N” sem base como um objeto abstrato, não como um número. Ou você está falando de outra parte?

• O que acontece com o log complexo parece ser essencialmente o mesmo que um log que retorna todos os conjuntos possíveis de bases de um espaço vetorial
  O log complexo produz um Z-torsor, e o log de bases produz um GL(V)-torsor. Parece que deve haver uma forma de expressar a escolha de um corte de ramo como parte da escolha de base no log complexo e, do mesmo modo, a escolha de uma base específica como parte da escolha de base no log de bases de espaço vetorial

  • Interessante. Eu não tinha pensado nos dois como casos do mesmo fenômeno. Mesmo assim, o lado da análise complexa ainda parece difícil de raciocinar

• O termo "logaritmo sem base" realmente não faz sentido, e usá-lo é um grande erro
  Ainda assim, a parte em que o autor original está certo é que o logaritmo é uma grandeza física única, como comprimento, área ou volume, e escolher a chamada "base" é escolher a unidade de medida do logaritmo
  O logaritmo aparece na expressão dimensional de várias grandezas físicas derivadas. Por exemplo, para descrever atenuação ou amplificação na propagação de uma onda, usam-se quantidades como logaritmo por comprimento ou logaritmo por tempo
  Ao mudar a "base" do logaritmo, os valores numéricos de todas as grandezas derivadas mudam exatamente da mesma forma que ao mudar unidades básicas de medida, como comprimento ou tempo
  Para qualquer grandeza física, o valor completo do logaritmo é independente da unidade de medida, pois é o produto do valor numérico pela unidade. Ao mudar a unidade de medida, o número e a unidade mudam juntos, e o produto permanece o mesmo. Ou seja, independentemente da base usada no cálculo do valor numérico, o logaritmo corresponde à mesma razão
  Hoje em dia, as unidades de logaritmo normalmente são escolhidas entre oitava (logaritmo binário), neper (logaritmo hiperbólico) e bel (logaritmo comum)
  A unidade de medida do logaritmo não é a base em si, mas o logaritmo da base. Por isso, por exemplo, o valor do número e, que é a base do logaritmo hiperbólico, não é necessário em nenhum cálculo. Os únicos valores necessários são ln 2 ou seu inverso, log2 e, e eles são usados para converter valores logarítmicos entre as unidades correspondentes ao logaritmo binário e ao logaritmo hiperbólico (também chamado de logaritmo natural, embora o logaritmo hiperbólico não seja mais "natural" do que os outros)

  • Não é verdade que "logaritmo sem base" não faça sentido. Dado o seguinte:
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    logaritmo sem base é apenas uma família de funções com propriedades semelhantes. Talvez tivesse sido mais claro se o autor tivesse usado uma expressão como "propriedade logarítmica" em vez de "logaritmo sem base", mas isso parece mais preciosismo e gosto por polêmica
    Quanto à ideia de que os números mudam quando se muda a base, fico curioso se você estudou álgebra linear avançada ou, mais especificamente, tensores. A essência dos tensores é agir sobre um objeto da mesma maneira, independentemente da base. Em outras palavras, se a e b representam o mesmo objeto em bases diferentes, então, quando T(x) é um tensor, T(a) e T(b) são equivalentes
    O ponto central é que qualquer número é uma escolha arbitrária, e isso não define a estrutura subjacente. É dessa estrutura logarítmica que o autor está falando
    É por isso que, em álgebra linear, aprendemos sobre bases diferentes e as transformações entre elas. Pelo mesmo motivo, até coordenadas polares e cartesianas, ensinadas no ensino médio, entram nisso. É uma preparação para aprender sobre estrutura. Ao chegar a grupos, aprende-se que, se os grupos A e B são isomorfos, então têm a mesma estrutura matemática
    Isso continua valendo mesmo que os números mudem

• Não dá para acreditar que chamaram o logaritmo comum de "based"

• Isso tudo seria muito mais interessante se realmente ajudasse a mostrar algum fato matemático novo. Do jeito que está, parece mais brincadeira de notação

  • Acho que novos fatos, teoremas e provas são bastante superestimados. Mesmo que você descubra um fato novo, ele só vira mais um item no enorme monte de fatos acumulados sem utilidade. O progresso útil na matemática vem de esforços de refatoração que tornam os objetos mais simples e intuitivos
    Não estou dizendo necessariamente que este texto faz isso, mas me parece que a situação atual é mais de fatos demais e de falta de perspectivas simples que os tornem úteis e acessíveis
    Claro, essa é só uma opinião pessoal
  • Leio esse tipo de texto como parte do processo de formação de novas ideias. É um tipo de correspondência de padrões em larga escala, colocando lado a lado vários casos parecidos e tentando encontrar a base essencial dessa semelhança
    Ao publicar esses padrões, o processo de pensamento pode se distribuir. Talvez outra pessoa enxergue o insight que falta