A matemática ainda não alcançou a genialidade de Ramanujan
(quantamagazine.org)- As identidades de Rogers-Ramanujan e as identidades de partição deixadas por Srinivasa Ramanujan continuam aparecendo, mais de 100 anos depois, em várias áreas da matemática e servindo como ponto de partida para novas pesquisas
- Mesmo em meio à pobreza e à interrupção da educação formal, Ramanujan pesquisou em Cambridge a partir de sua correspondência com G.H. Hardy em 1912 e deixou milhares de resultados antes de morrer em 1920, aos 32 anos
- As identidades de Rogers-Ramanujan mostram uma conexão inesperada em que partições de inteiros sob condições diferentes se encaixam em quantidades iguais, por meio de uma estrutura na qual somas infinitas complexas são iguais a produtos infinitos complexos
- Hussein Mourtada e colegas encontraram a mesma estrutura ao dividir em camadas e contar o arc space de singularidades, e vêm buscando novas identidades de partição com Pooneh Afsharijoo em singularidades mais complexas
- A fórmula de teste de primalidade de Ken Ono, William Craig e Jan-Willem van Ittersum revela que ainda existe uma relação profunda, não explicada, entre partições e teoria dos números multiplicativa
A persistência dos problemas deixados por Ramanujan
- Srinivasa Ramanujan é visto como um símbolo do gênio autodidata
- Fez grande parte de sua pesquisa em isolamento no sul da Índia e era tão pobre que tinha dificuldade até para conseguir comida
- Em 1912, aos 24 anos, enviou cartas com seus resultados a vários matemáticos renomados; a maioria foi ignorada, mas G.H. Hardy respondeu
- Depois de cerca de um ano de correspondência, Hardy ajudou Ramanujan a ir para a Inglaterra
- Antes de morrer em 1920, aos 32 anos, produziu milhares de resultados elegantes e surpreendentes, muitos deles sem demonstração
- Suas fórmulas continuam reaparecendo, mais de 100 anos depois, em áreas que parecem distantes entre si
- Mecânica estatística e transições de fase
- Teoria dos nós e teoria das cordas
- Teoria dos números e teoria de representações
- Estudos de simetria
- Estudos de curvas e superfícies em geometria algébrica
O ponto de partida das identidades de Rogers-Ramanujan
- Desde o ensino médio, Ramanujan lia livros avançados e estudava de forma independente as propriedades e os padrões dos números
- Em 1904, recebeu uma bolsa integral no Government Arts College, em Kumbakonam, mas perdeu a bolsa em menos de um ano por ignorar as disciplinas que não eram matemática
- Depois, também se matriculou em uma universidade em Madras, mas não se formou; em 1912, continuou fazendo matemática enquanto trabalhava como escriturário no Madras Port Trust
- A carta enviada a Hardy continha resultados sobre frações contínuas
- Hardy recordaria mais tarde que aquelas fórmulas o haviam deixado completamente impressionado e que, se fossem falsas, ninguém seria capaz de imaginá-las
- As fórmulas sem demonstração levaram Hardy a propor a Ramanujan uma fellowship em Cambridge
- Ramanujan tentou demonstrar sua proposição geral sobre frações contínuas, mas nunca conseguiu provar os dois lemas necessários
- Hardy e seus colegas também fracassaram na demonstração
- Depois, descobriu-se que esses lemas já haviam sido demonstrados 20 anos antes por L.J. Rogers, mas quase não tinham recebido atenção
- Esses dois lemas passaram mais tarde a ser chamados de identidades de Rogers-Ramanujan
As igualdades inesperadas mostradas pelas identidades de partição
- As identidades de Rogers-Ramanujan igualam, cada uma, uma soma infinita complexa a um produto infinito complexo
- Essas identidades revelam uma conexão entre estruturas aparentemente distintas: adição e multiplicação
- Percy MacMahon percebeu que os dois lados dessas fórmulas podiam ser interpretados como formas de contar partições de inteiros
- As partições do inteiro 4 são 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 e 1+1+1+1, totalizando 5
- O número de partições do inteiro 200 é de quase 4 trilhões
- Leonhard Euler demonstrou, no século 18, a primeira identidade de partição
- Para qualquer inteiro, o número de partições em que todas as partes são ímpares é igual ao número de partições em que todas as partes são distintas
- A primeira identidade de Rogers-Ramanujan mostra que, para um inteiro, duas condições completamente diferentes sempre produzem a mesma quantidade
- Um lado conta partições sem partes repetidas nem consecutivas
- O outro lado conta partições cujas partes têm resto 1 ou 4 quando divididas por 5
- Shashank Kanade considera especialmente estranho “por que o 5 aparece” aqui
Identidades que reaparecem em várias áreas
- No fim dos anos 1970, Rodney Baxter redescobriu as identidades de Rogers-Ramanujan pela perspectiva da mecânica estatística, enquanto criava um modelo simplificado de gás para entender transições de fase
- Na mesma época, James Lepowsky e Robert Wilson provaram que essas identidades também aparecem na teoria de representações
- Esse resultado ajudou a abrir uma nova área chamada teoria de álgebras de operadores de vértice
- As álgebras de operadores de vértice são usadas hoje na teoria das cordas
- Essa teoria também teve papel importante na demonstração da conjectura “monstrous moonshine” da teoria dos grupos
- Nas décadas de 1990 e 2000, as identidades continuaram aparecendo em várias áreas
- Estudos de formas modulares na teoria dos números
- Probabilidade relacionada a cadeias de Markov
- Topologia que trata de polinômios usados para distinguir e classificar nós
- As identidades puderam ser demonstradas novamente com as técnicas de cada área, e essas conexões também foram usadas para criar novas identidades
O estudo de singularidades de Mourtada e o arc space
- Hussein Mourtada passou a se concentrar em geometria algébrica após o doutorado
- A geometria algébrica estuda formas definidas por equações polinomiais, isto é, variedades algébricas
- Uma reta pode ser representada por
x + y = 0, um círculo porx² + y² = 1, e uma figura em forma de 8 porx⁴ = x² − y²
- Um ponto que se encontra consigo mesmo, como na figura em forma de 8, é uma singularidade
- As singularidades de figuras que podem ser desenhadas no papel são fáceis de visualizar
- As singularidades de variedades algébricas de alta dimensão são difíceis de visualizar
- Nos anos 1960, John Nash estudou um objeto relacionado chamado arc space para entender singularidades
- Ele define infinitas trajetórias curtas que passam por um ponto ou uma singularidade
- Observando essas trajetórias curtas em conjunto, é possível testar quão suave é a variedade naquele ponto
- O arc space, na prática, fornece um conjunto infinito de equações polinomiais
- Bernard Teissier considerava que Mourtada tinha expertise para entender o significado dessas equações
- As equações são complexas, mas muitas das estruturas que governam suas propriedades permanecem
Rogers-Ramanujan redescoberto dentro de singularidades
- Mourtada, Jan Schepers e Clemens Bruschek estudaram o arc space de uma singularidade simples e dividiram esse espaço em camadas
- Ao contar o número de polinômios em cada camada, Mourtada percebeu que aquela sequência era familiar
- Em 2010, ao dividir em camadas o arc space de uma singularidade simples chamada fat point e contar o número de polinômios em cada camada, ele encontrou uma estrutura igual ao lado da soma das identidades de Rogers-Ramanujan
- Ele estava contando objetos diferentes de partições, mas percebeu que, na prática, estava contando a mesma coisa
- Já se sabia há muito tempo que é possível associar uma equação polinomial a qualquer partição
- Cada peça do arc space de Mourtada continha um subconjunto específico de polinômios e, portanto, um subconjunto específico de partições
- Mourtada, Bruschek e Schepers provaram que a estrutura de seu arc space podia ser explicada por essa identidade
- Depois desse caso simples, Mourtada passou mais de 10 anos expandindo a pesquisa para formas mais gerais
Afsharijoo e novas identidades de partição
- Pooneh Afsharijoo começou sua pesquisa de pós-graduação na França em 2015, sob orientação de Mourtada
- Os dois estudaram singularidades mais complexas e seus arc spaces, encontrando muitas novas identidades
- Afsharijoo também descobriu uma extensão das identidades de Rogers-Ramanujan
- As identidades originais dizem que partições em mesma quantidade satisfazem duas condições muito diferentes
- Afsharijoo encontrou uma terceira condição para elas, ampliando o alcance de identidades com mais de 100 anos
- Atualmente, os dois pesquisadores representam informações de arc spaces usando grafos compostos por pontos e arestas
- Isso permite aplicar ferramentas da teoria dos grafos
- Eles usam essa abordagem para buscar novas identidades de partição adicionais
Identificando números primos com identidades de partição
- Ken Ono, William Craig e Jan-Willem van Ittersum anunciaram em setembro outra aplicação de identidades de partição
- Eles criaram uma fórmula de teste de primalidade usando uma função que conta partições
- Ao inserir um número primo na fórmula, o resultado é 0
- Ao inserir um número que não é primo, o resultado é positivo
- Com esse método, é possível selecionar o conjunto dos números primos entre todos os inteiros
- Ono vê como uma questão em aberto o fato de que partições, embora sejam objetos ligados à adição e à contagem, consigam determinar exatamente uma propriedade multiplicativa como a primalidade
- Usando a teoria das formas modulares, eles descobriram que essa fórmula faz parte de uma família maior
- Existem infinitas funções desse tipo para testar primalidade
- O resultado leva à investigação de relações mais profundas entre partições e teoria dos números multiplicativa
Por que o legado de Ramanujan continua se expandindo
- George Andrews vê a teoria das partições como algo muito fundamental, já que contar e somar coisas acontece em quase todas as áreas da matemática
- Mas é difícil compreender a natureza exata dessas conexões, e Ken Ono considera importante obter o ponto de vista correto
- Para Shashank Kanade, o trabalho de Ramanujan não é um beco sem saída que termina em uma identidade, mas sempre a ponta do iceberg
- Mourtada diz que Ramanujan conseguia imaginar coisas que alguém como ele não conseguiria
- Graças ao desenvolvimento de novas áreas da matemática, pesquisadores de hoje continuam encontrando novas identidades de partição que Ramanujan talvez tivesse descoberto apenas por intuição
1 comentários
Opiniões no Hacker News
Foi um texto interessante, e chamou atenção especialmente o fato de Ramanujan não ter se interessado por várias matérias além da matemática e ter fracassado nelas
A sociedade e as normas esperam que os alunos aprendam diversas matérias, mas, para algumas pessoas, essas matérias podem não ter interesse algum
Fico me perguntando quanta genialidade perdemos por causa do trabalho de memorização para tirar A, suportando deveres de casa e aulas entediantes
A maioria quase não se lembra do conteúdo dessas matérias, e mesmo os melhores alunos parecem, em geral, ficar em um desempenho só um pouco acima da média
Alguém como Ramanujan, se não tivesse tido uma oportunidade de sorte, provavelmente teria ficado soterrado no mar da média, com seu talento bloqueado pelas normas
Quase todas as pessoas extraordinárias sobre as quais li parecem ter estado à beira do esquecimento até encontrar alguma grande oportunidade e dar um salto
É bom que a educação pública exponha as crianças a muitas matérias, pois é assim que elas podem descobrir com o que combinam
O verdadeiro risco é nunca ter contato com uma determinada matéria; o lugar para estreitar a especialização, na minha visão, é a universidade
Se otimizarmos a escola para alguém como ele, é muito provável que ela não funcione bem para os outros 99.999.999
Além disso, é difícil acertar até mesmo para essa 1 pessoa, e outliers extremos quase não oferecem padrões generalizáveis
A educação ideal para um jovem Ramanujan poderia ser diferente da educação ideal para um jovem Von Neumann
Idealmente, seria ótimo dar a toda criança uma educação extremamente personalizada, mas isso não é tão fácil quanto parece; e, de todo modo, a abordagem de identificar gênios extremos e investir neles já vem sendo tentada
Só que, em geral, há muitas pessoas medianas dizendo: “eu teria sido um gênio, não fosse o sistema reprimir minha criatividade”
Acho difícil acreditar que crianças realmente geniais passem por mais de 10 anos de educação fundamental e média sem encontrar nenhuma via para expressar sua criatividade; por isso, acredito que os casos perdidos sejam poucos, ou quase inexistentes
Mas não acho que seja isso que devamos otimizar
Para a maioria das pessoas, se não forem de certo modo obrigadas a aprender também aquilo de que não gostam, sua empregabilidade pode cair bastante
Se você gosta de engenharia ou ciência, tem sorte; mas, se só se interessa por artes e literatura, tem relativamente menos sorte
Para chegar a determinado nível, seria preciso passar em uma prova ou demonstrar certas habilidades
Cada criança escolheria quais matérias seguir e até que nível avançar, mas o esforço de escolher algo e avançar para o próximo nível seria obrigatório
Também seria possível incentivá-las a explorar várias matérias e alcançar um nível mínimo
Além disso, as crianças seriam agrupadas não por idade, mas por nível em cada matéria, com alunos de níveis um pouco diferentes treinando juntos
As crianças em níveis mais altos ajudariam as de níveis mais baixos, e as de níveis mais baixos deveriam aprender a respeitar as de níveis mais altos
Esta thread mostra bem por que é difícil discutir educação na nossa sociedade
Quando se tenta levantar um ponto geral ou uma observação meta, logo surge uma enxurrada de anedotas pessoais que cada um viveu no processo educacional, e isso acaba engolindo a discussão
Pode haver fenômenos parecidos em outros temas, mas é difícil pensar em casos em que, assim que se fala de escola, histórias longas, detalhadas e carregadas de emoção apareçam tão rapidamente
Venho pensando por que a estrutura educacional faz as pessoas quererem tanto desabafar, e no conjunto parece haver um desconforto forte e duradouro
É parecido com uma relação abusiva: o trabalho emocional necessário para avançar para uma relação melhor, ou seja, para outra estrutura educacional, em algum momento fica grande demais, e no fim a pessoa parece se concentrar apenas em “aguentar”
Além disso, li o texto inteiro e gosto de Ramanujan, mas, depois de conhecer a existência dele, as aulas de matemática na universidade passaram a parecer tão distantes do que ele fazia que ficaram muito mais difíceis
Ao tentar escalar algo tão grande, é preciso colocar as pessoas em caixas dentro do sistema, e isso inevitavelmente ignora pequenas diferenças detalhadas entre seres humanos
Mas, do ponto de vista individual, essa forma de ignorar pequenas diferenças não funciona bem, e como isso toca o senso de identidade, as pessoas acolhem a chance de falar de suas frustrações
Muita gente gosta do fato de que, quando aparece no HN um texto sobre um tema obscuro, surge nos comentários alguém com experiência real para conversar; educação é um tema raro em que todo mundo pode ser essa pessoa
Para deixar claro, Ramanujan não foi produto do sistema educacional indiano; pelo contrário, esse sistema foi bastante cruel e desanimador para ele
Ele era um prodígio autodidata da matemática, e, além dos dois grandes filmes biográficos conhecidos, várias novelas de TV em línguas indianas enfatizam esse ponto repetidamente
Ele estudou por conta própria principalmente com Inequalities, de G.H. Hardy, e vários outros livros, que hoje estão acessíveis de graça com um clique
Ninguém está impedindo ninguém de estudar matemática, e acho que a existência ou não de educação tem pouca relação com essa questão
Somado a isso, o modo de medir a “qualidade” dos professores faz com que, em alguns casos, o professor médio de escola use táticas e metodologias próximas de constranger publicamente alunos para produzir “desempenho”
Professores e alunos não passam por um processo de escolha mútua, e também não há procedimentos para administrar combinações particularmente ruins
Eles simplesmente são designados e ficam presos uns aos outros, e as falhas éticas da docência aparecem por toda parte
Começou por Why Don’t Students Like School, de Daniel Willingham, devorou os textos Ask the Cognitive Scientist da American Federation of Teachers e artigos relacionados, conheceu a teoria da carga cognitiva pelo blog e pelo podcast de Greg Ashman, e então seguiu para as pesquisas de Dylan Wiliam e de Robert e Elizabeth Bjork
Em pouco tempo, já tinha lido mais de 200 livros e artigos, e acordava no meio da noite com a cabeça fervilhando de ideias
O verdadeiro MVP na história de Ramanujan é G.H. Hardy
Ele leu e levou a sério a carta enviada por um desconhecido do outro lado do mundo, ainda mais alguém que, na visão da época, era tratado como “native”, e até organizou recursos para levá-lo à Inglaterra
As outras pessoas a quem Ramanujan escreveu, de forma compreensível, todas o ignoraram
É uma tragédia ele ter morrido tão jovem
A curta vida de Ramanujan em si já foi uma perda para o mundo, mas isso nos faz imaginar quantos Ramanujans foram ignorados por não terem um G.H. Hardy, e como seriam os Ramanujans entre os outros 95%
É interessante contrastar a atitude acolhedora de G.H. Hardy em relação a Ramanujan com a atitude mesquinha e traiçoeira de Arthur Eddington em relação a Subrahmanyan Chandrasekhar, décadas depois
Uma discussão com muitos links relacionados está em https://news.ycombinator.com/item?id=41284239
Ele veio de uma cultura com uma longa e rica tradição intelectual
Há muitas coisas valiosas no mundo, mas alguém precisa encontrá-las e impulsioná-las
O trecho “Aquelas proposições haviam sido provadas 20 anos antes por um matemático inglês pouco conhecido chamado L.J. Rogers… Rogers se contentava em trabalhar em relativa obscuridade, tocar piano, cuidar do jardim e dedicar seu tempo livre a várias atividades” é divinamente inspirador
Para muitos engenheiros de software em atividade, isso também é um sonho de aposentadoria
Histórias de matemáticos que, como Srinivasa Ramanujan, disseram ter obtido em sonhos partições e identidades complexas são sempre fascinantes
É como se a mente acessasse um repositório de conhecimento oculto
Fico curioso sobre o que guia esses saltos intuitivos
Será que o cérebro de Ramanujan continuava processando padrões silenciosamente durante o sono, usando uma rede de modo padrão que ainda temos dificuldade de entender, ou isso seria uma propriedade emergente de redes neurais complexas, ou até um vislumbre do inconsciente coletivo de Jung?
Gostaria de saber se os avanços recentes em neurociência, IA e psicologia cognitiva explicam como inovadores como Ramanujan acessam insights ocultos, ou se isso ainda permanece no território de “o gênio é misterioso”
Tanto pessoal quanto espiritualmente, ele era obcecado por matemática e a via como uma expressão do divino
Portanto, é bem provável que grande parte de sua memória já fosse matemática, e que aquilo que lhe surgia aleatoriamente também fosse matemático
Mesmo quando estava na Índia, ele se comunicava com outros matemáticos, lia artigos e submetia trabalhos a periódicos; não era um eremita numa caverna
Vejo a afirmação de que ele simplesmente obtinha resultados em sonhos como parte da mitologia em torno dele
Pelo que li, ele fazia muito do trabalho árduo de derivar fórmulas, mas publicava apenas o resultado final, o que fazia parecer que as tinha invocado do nada
Ele não teria como enviar a Hardy uma carta do tamanho de um livro contendo todos os passos para derivar aqueles resultados
Em linguagem psicológica rigorosa, dizer que uma pessoa “sabe” significa que ela “descobre” ou “revela”, e dizer que uma pessoa “aprende” significa que ela “descobre”, removendo o véu de sua própria alma, que é uma mina de conhecimento infinito
Quando se diz que Newton descobriu a gravidade, a explicação é que ela não estava sentada em algum canto esperando por ele, mas estava dentro de sua mente e, no momento certo, ele a encontrou
Todo o conhecimento que o mundo recebeu vem da mente; a biblioteca infinita do universo está dentro da própria mente, e o mundo externo é apenas uma sugestão e uma ocasião que leva a mente a estudar
Sempre que leio a história de que Ramanujan recebeu divinamente fórmulas em sonhos, lembro dessa passagem de Vivekananda sobre consciência e mente
Também há uma passagem no Mundaka Upanishad 2.2.9 com o sentido de que “o Self oculto em todos os seres não se manifesta nem brilha, mas é visto por aqueles que enxergam o sutil, com um intelecto aguçado e refinado”
A ideia é que o conhecimento ou a verdade última está oculto em todos os seres e se revela por meio de uma percepção interior sutil; o conhecimento está latente na mente e é descoberto, não buscado fora dela
Não é um fenômeno tão raro
Claro que essa solução pode ser um loop
for, então não estou comparando com Ramanujan, mas não é algo extremamente incomumSe uma pessoa acessou esse tipo de conhecimento em sonhos, isso também é um sinal de que é possível
Agora fico pensando em como tornar isso o padrão para todos
Como encontrar no México uma variedade de trigo resistente a bactérias e replicá-la pelo mundo todo, fico pensando se poderíamos fazer algo parecido com humanos
Não gosto muito da formulação, mas espero que a sensação seja transmitida
Para quem quiser saber mais sobre Ramanujan e sua obra, há alguns recursos
Além disso, no texto enviado, George Andrews está usando uma gravata de Ramanujan
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Knew_Infinity
O texto diz que um artigo recente[1] de uma das pessoas entrevistadas usa a função de partição de McMahon para testes de primalidade
Fico curioso para saber como o tempo de execução se compara ao teste de primalidade AKS ou ao BPSW[2], mais prático
Também fico curioso se isso poderia ser aplicado à criptografia prática
A história de Ramanujan é muito fascinante, mas seria bom que mais matemáticos e cientistas indianos fossem amplamente conhecidos
Há matemáticos como Harish Chandra, C. R. Rao, Manjul Bhargava e Narendra Karmakar, físicos como C. V. Raman, Satyendra Nath Bose e Meghnad Saha, além de nomes como Har Gobind Khorana e Venkatraman Ramakrishnan
Alguns indianos não recebem o devido reconhecimento, mas, se serve de consolo, também não são muitos os matemáticos ou cientistas “ocidentais” cujos nomes são amplamente conhecidos
Não sou matemático nem físico, e não conheço bem os outros, mas sei muito bem que indianos deram grandes contribuições à matemática, à física e provavelmente a outras áreas também
A geração atual quase não conhece essas grandes figuras indianas
Para corrigir a situação atual, 1) todos deveriam assinar a revista mensal Science Reporter, publicada pelo NIScPR, ligado ao CSIR, em Nova Délhi, Índia, para ter contato com a ciência indiana em geral - https://sciencereporter.niscpr.res.in/
2) Os dois volumes de The Mind of an Engineer, de Purnendu Ghosh e outros, publicados pela Springer, trazem textos de cientistas, pesquisadores e engenheiros recentes - https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-0119-2
3) Há livros de vários autores sobre a ciência e os cientistas indianos na Amazon India, e vale a pena procurá-los
4) Também vale ler os livros do grande astrofísico e cosmólogo Jayant Narlikar (https://en.wikipedia.org/wiki/Jayant_Narlikar), especialmente The Scientific Edge: The Indian Scientist From Vedic To Modern Times - https://www.penguin.co.in/book/the-scientific-edge/ e Science and Mathematics: From Primitive to Modern Times - https://www.routledge.com/Science-and-Mathematics-From-Primi...
Mas todo mundo já ouviu falar em bóson, então ele foi, de certa forma, imortalizado e permanecerá mais tempo que a maioria
https://universitiespress.com/books?id=0&sid=161
A National Book Trust também tem vários livros sobre cientistas indianos
Ramanujan inspirou várias gerações de matemáticos no mundo todo
Sua vida foi uma bela tragédia, deixando ao mesmo tempo admiração e profunda tristeza
Para alguém vindo de uma família brâmane tradicional rigorosa, simplesmente atravessar o mar de navio já podia trazer o risco de excomunhão
O contexto cultural de onde ele veio torna toda a história ainda mais lendária
De cortar o tufo de cabelo a abandonar o dhoti para vestir um terno ocidental, nós não compreendemos o que ele passou e do que abriu mão para nos dar sua matemática
Houve sacrifícios que ele precisou aceitar para praticar sua arte e existir
Recomendo muito a leitura de A Mathematician's Apology, de G.H. Hardy
Acho que é um dos melhores textos não matemáticos para entender como funciona o cérebro de um matemático
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
É bem curto e lindamente escrito