- A partir da experiência de uma pessoa que teve dificuldades com matemática e ciências na escola, mas voltou a estudar desde a matemática de reforço após os 26 anos e se tornou professor de engenharia, o texto revisita o valor da repetição e da memorização na aprendizagem adulta
- Em matemática e ciências, quando se enfatiza apenas a compreensão conceitual, o aluno pode até parecer entender durante a aula, mas sem internalizar ao resolver problemas pode faltar fluência e capacidade de aplicação
- Aulas participativas no estilo japonês são frequentemente citadas como modelo, mas programas extracurriculares como o Kumon também desenvolvem domínio do conteúdo por meio de memorização, repetição e prática mecânica
- Assim como no aprendizado de línguas se repetem vocabulário, gramática e condições de uso, o mesmo método pode ser aplicado às equações e procedimentos da matemática, em conexão com o chunking que cria padrões na memória de longo prazo
- A compreensão profunda de temas complexos não surge apenas de explicações, mas da fluência formada por repetição, prática e memorização, que pode ampliar até as escolhas profissionais e a forma de pensar
Da fobia de matemática à carreira de professor de engenharia
- Na infância, a pessoa se inclinava mais para a literatura e evitava matemática e ciências, mas depois se tornou professor de engenharia, lidando diariamente com matemática como integrais triplas, transformadas de Fourier e equações de Euler
- Não conseguiu avançar adequadamente em matemática e ciências no ensino fundamental e médio, e só começou a estudar matemática de reforço aos 26 anos, depois de sair do Army
- A experiência de reaprender matemática e ciências na vida adulta se tornou uma forma de observar por dentro a neuroplasticidade adulta e a aprendizagem de adultos
- O doutorado em engenharia de sistemas e a pesquisa e escrita sobre o pensamento humano serviram de base para interpretar a neurociência da aprendizagem e a psicologia cognitiva
Aprender matemática exige mais do que compreensão conceitual
- Muitos alunos aprendem no ensino básico e médio que o essencial no estudo da matemática é entendê-la por meio de discussão e explicação
- O Japão costuma ser visto como referência em aulas ativas e centradas na compreensão, mas ao mesmo tempo o método Kumon enfatiza memorização, repetição e aprendizagem mecânica junto com o domínio do material
- Métodos semelhantes a esse programa extracurricular são adotados por muitos pais no Japão e no mundo como forma de complementar a educação dos filhos
- Quando a educação participativa é combinada com prática e repetição suficientes, além de memorização planejada com inteligência, cresce a fluência no material matemático
- Nos Estados Unidos, a ênfase na compreensão conceitual em matemática e ciências às vezes funciona como substituição, e não complemento, de métodos mais antigos de aprendizagem
- O Common Core procura tratar de forma equilibrada a compreensão conceitual, a habilidade procedimental e a fluência, e a capacidade de aplicação, mas na prática a compreensão conceitual tende a ocupar o centro das aulas
- Quando o foco fica apenas na compreensão, o aluno pode captar o núcleo de ideias importantes, mas sem integração por meio de prática e repetição pode perder isso rapidamente
- Pode cair na ilusão de competência, acreditando que entendeu mesmo sem ter entendido de fato
- Como no caso de estudantes de engenharia, a pessoa pode sentir durante a aula que compreendeu, mas ter baixo desempenho se não praticar o uso dos conceitos até internalizá-los
Fluência é uma unidade de conhecimento criada pela repetição
- Assim como alguém repete um swing de golfe por anos até o corpo responder a um único pensamento, matemática e ciências também exigem um estado em que não seja preciso reexplicar o procedimento toda vez
- Do mesmo modo que não é necessário reorganizar bolinhas toda vez para obter 5×5=25, o procedimento de somar expoentes ao multiplicar números com a mesma base também pode ser recuperado diretamente da memória por meio do uso repetido
- Ao continuar usando um procedimento em problemas variados, a pessoa passa a entender melhor por que ele funciona e como opera
- Uma compreensão maior é resultado de a mente construir padrões de significado, e insistir apenas na própria compreensão pode, paradoxalmente, atrapalhar a aprendizagem
Estratégias aprendidas no estudo de russo
- Sem dinheiro nem habilidades para ir à universidade, a pessoa entrou no Army após terminar o ensino médio e estudou russo no Defense Language Institute
- No aprendizado do russo, a prioridade não era a simples compreensão, mas a fluência
- Não bastava saber que
пониматьsignifica “entender”; era preciso usá-lo repetidamente em tempos verbais e frases variadas - Praticava-se não só quando usar aquela forma verbal, mas também quando não usá-la
- Havia repetição para conseguir recordar e transformar palavras e estruturas com rapidez
- Não bastava saber que
- Mesmo entendendo tecnicamente palavras e elementos gramaticais, se a pessoa não consegue processá-los quando a fala real vem rapidamente, é difícil dizer que ela seja fluente
- Essa abordagem levou a bons resultados nas aulas e depois serviu de base para compreender intuitivamente o chunking, elemento central do desenvolvimento da especialização
A ligação entre chunking e especialização
- Na análise de xadrez de Herbert Simon, o chunking foi concebido como unidades neurais correspondentes a vários padrões de xadrez
- Mais tarde, neurocientistas passaram a considerar que especialistas como grandes mestres de xadrez armazenam milhares de chunks de conhecimento sobre sua área na memória de longo prazo
- Mestres de xadrez podem memorizar dezenas de milhares de padrões, e especialistas de outras áreas também evocam sub-rotinas neurais bem agrupadas para analisar e responder a situações novas
- Em estudos com mestres de xadrez, médicos de pronto-socorro e pilotos de caça, em situações de estresse urgente o processamento funciona recuperando rapidamente sub-rotinas neurais profundamente gravadas, em vez de depender de análise consciente
- Em certos momentos, tentar entender conscientemente por que se está fazendo algo pode interromper o fluxo e piorar a decisão
Aplicando o método de aprendizagem de línguas à matemática e à engenharia
- Ao estudar matemática e engenharia na vida adulta, a pessoa usou exatamente as mesmas estratégias que havia usado para aprender russo
- Tomando a segunda lei de Newton, f = ma, como exemplo, passou a sentir intuitivamente o significado de cada letra
- f era tratada como força, m como a resistência pesada a ser empurrada, e a como a sensação de aceleração
- A equação era memorizada e colocada na cabeça, observando o que acontece com f quando m e a são grandes, o que acontece com m quando f é grande e a é pequena, e como as unidades se equilibram nos dois lados
- Brincar com a equação era parecido com conjugar um verbo, e se tornou uma forma de acumular todos os dias sub-rotinas chunkadas em torno de uma expressão simples, facilmente recuperáveis da memória de longo prazo
- Professores de matemática e ciências vêm dizendo há muito tempo que criar chunks de especialização bem gravados por prática e repetição é algo crucial para o sucesso
- Não é a compreensão que cria a fluência, mas a fluência que cria a compreensão; o entendimento real de temas complexos nasce da fluência
Fluência antiga pode voltar à vida
- Depois de se tornar engenheiro eletricista e professor de engenharia, a pessoa se afastou do uso do russo, mas 25 anos depois voltou a usá-lo durante uma viagem de trem pela Transiberiana com a família
- Ao embarcar no trem, falava russo como uma criança de dois anos, não encontrava palavras, errava declinações e conjugações e tinha má pronúncia
- Ainda assim, a base permanecia, e o russo melhorava dia após dia, permitindo lidar com as necessidades cotidianas durante a viagem
- Depois disso, os guias chegaram a pedir ajuda com traduções para outros passageiros
- Quando um taxista em Moscou tentou fazer um desvio para cobrar mais, palavras em russo que não eram usadas havia décadas surgiram de repente, inclusive palavras que a pessoa nem sentia conscientemente que sabia, mas que apareceram no momento necessário
- A fluência fixa a compreensão em profundidade e permite que ela reapareça quando necessário
Lições duradouras para o ensino de matemática e ciências
- Diante da escassez de formados em matemática e ciências e das tendências atuais nos métodos de aprendizagem, estudantes podem usar formas melhores de aprender
- Pais e professores podem recorrer a métodos simples e acessíveis que tornam a compreensão mais profunda e flexível
- É possível incentivar novas tentativas em áreas antes vistas como difíceis demais, como matemática, dança, física, línguas, química e música
- Em matemática e ciências, a fluência básica e profunda é mais importante do que a mera compreensão, e pode abrir portas para carreiras interessantes
- A mesma capacidade de fluência que levou a amar literatura e línguas acabou levando também ao amor por matemática e ciências, transformando e enriquecendo a vida
1 comentários
Opiniões no Hacker News
Gostei muito deste texto, e a frase “não é a compreensão que gera fluência, mas a fluência que gera compreensão” me marcou especialmente.
Eu gostava de matemática e me formei nisso na universidade, mas acho que, embora minha família tivesse inclinação científica, a matemática em si lhes parecia opaca e intimidadora. Eu gostaria de ter respondido, naquela época, que para o teorema de Pitágoras parecer intuitivo não é preciso ter uma percepção profunda do espaço euclidiano, e sim praticar tanto que, ao ver um triângulo retângulo, três demonstrações venham imediatamente à mente. Também acho adequado o autor falar bastante de si mesmo. Para explicar a experiência cognitiva subjetiva de passar do medo da matemática para a proficiência em matemática, não há como evitar falar do contexto e da percepção dos processos internos.
Por fora, ela parece falar sobre a identidade na matemática, mas acho que o desejo de parecer inteligente ajuda nas habilidades matemáticas exatamente do modo descrito no texto original. Se você quer parecer inteligente, não importa se pensou naquilo por conta própria ou leu em um livro; o que importa é mostrar o que sabe e resolver problemas com facilidade. Então, ao ler e memorizar com afinco e construir um enorme banco de dados mental do qual possa se gabar, você acaba ficando bom de verdade.
Se é possível encontrar o caminho tanto por meio das demonstrações, que servem como placas de orientação, quanto por uma compreensão profunda do próprio espaço, talvez haja dois caminhos para a intuição matemática: o caminho da prática e da fluência, e o caminho da percepção profunda e da compreensão.
Parece haver duas grandes categorias daquilo que chamamos de “matemática”. A é a matemática de que este texto fala, aquela de que as pessoas comuns falam e que engenheiros e a maioria dos cientistas usam. B é a matemática usada por formados em matemática e por matemáticos, com muitas áreas abstratas cujos nomes terminam em “teoria”.
Fico curioso para saber se é possível aprender matemática B com a abordagem do texto. Tentei várias vezes e fracassei, embora eu seja bom em matemática A, como equações diferenciais, álgebra linear, manipulação simbólica, geometria e aplicação a problemas reais. Já a matemática B parece inalcançável, e em termos de programação soa tão escorregadia quanto Haskell ou programação puramente funcional. Fico me perguntando se parte disso é genético e parte precisa ser aprendida na infância, ou se exige um percurso formal de estudo.
Outro elemento da matemática C é o senso numérico, que permite perceber se uma estimativa ou um valor na tela da calculadora faz sentido ou está obviamente errado. Acho que sou fraco em cálculo mental em parte porque nunca memorizei direito a tabuada, e em parte porque há alguma deficiência no meu cérebro parecida com ter um mau senso de direção. Mas sou bom em manipulação simbólica, na qual os números não importam até o fim.
A influência do meu pai, que dizia com frequência “sou ruim em matemática”, foi grande, e isso era uma saída fácil. Depois aprendi programação a sério, estudei várias linguagens e logo comecei a trabalhar com desenvolvimento web, mas alguns anos depois fiquei entediado e me matriculei em um community college para tentar engenharia, só para descobrir que todas as disciplinas de engenharia tinham pré-requisitos de matemática. Quando me esforcei de verdade pela primeira vez, percebi que eu não era essencialmente ruim em matemática; só me faltava motivação. Trabalhei no centro de tutoria, transferi-me para uma universidade, fui cursando cada vez mais pré-requisitos de matemática e acabei entrando no curso de matemática; hoje tenho doutorado em matemática. Até meados dos meus 20 anos eu nem acreditava que fosse capaz de fazer matemática A, mas melhorei por causa da engenharia e logo passei para a matemática B. A programação me ensinou a pensar de forma rigorosa e abstrata, e só comecei a fazer matemática B depois dos 25 anos, então discordo da ideia de que isso seja inato ou que precise necessariamente ser aprendido na infância. Dito isso, a vantagem da educação formal foi ter reforços externos como um grupo de estudantes estudando junto, prazos de tarefas e provas.
Na época eu detestava matemática B, mas aguentei com notas acima da média, e hoje, olhando para trás, passei até a gostar dela e gostaria de assistir àquelas aulas de novo com a perspectiva que tenho agora. Um grande motivo para eu ter odiado no início foi que parecia uma isca seguida de troca: comecei uma graduação em algo de que gostava e em que era bom, e de repente aquilo virou algo totalmente diferente.
A eletrônica analógica também opera, em geral, em um domínio puramente funcional. Um amplificador não tenta modificar o sinal de entrada; ele produz um sinal de saída mais forte seguindo a forma da entrada. A fonte sonora de um instrumento também não vibra as teclas; ela gera um sinal sonoro conforme as teclas pressionadas. A forma mais simples de experimentar programação puramente funcional na prática é conectar processos Unix com pipes:
cat somefile.py | egrep '^def \w+' | wc -l. Isso é um pipeline map-reduce em estilo point-free e uma composição de funções puras, que conta as funções de nível superior de um arquivo Python. Para fazer atualizações, basta devolver o valor de saída como entrada e, quando o cálculo terminar, trocar para a “próxima versão”. O Jogo da Vida de Conway também parece uma atualização in-place, mas o novo estado do mapa é calculado inteiramente a partir do estado anterior, e esse novo mapa passa a ser o mapa atual. De modo geral, o universo também pode ser visto como uma computação puramente funcional em que o próximo estado é uma função dos estados passados, e o passado é imutável.Cada etapa de uma demonstração pode ser vista como uma regra que altera um termo, isto é, uma expressão matemática. Nunca vi um livro que explicite isso completamente, mas livros sobre cálculo de sequentes levam você até metade do caminho. O restante da matemática B é a intuição que permite formular novas conjecturas e adivinhar caminhos eficientes para ir das hipóteses até a proposição que se quer demonstrar.
Quando entrei na faculdade de medicina depois da graduação e pós-graduação em Ciência da Computação, cheguei a uma conclusão parecida sobre o valor da memorização
Em CS, na verdade, a memorização não é muito enfatizada, então levei um tempo para aceitar a memorização em massa como técnica de estudo, mas, com o tempo, percebi que a lembrança rápida não substitui a compreensão conceitual; pelo contrário, a reforça. Alguns anos atrás também escrevi sobre isso: https://samrawal.substack.com/p/on-the-relationship-between-...
O autor parece gostar muito da própria história. Continuei lendo, mas o texto inteiro pareceu uma longa introdução sem recompensa
Se você quer saber como ficar melhor em matemática e mudar o cérebro para se adaptar à matemática, acho que não vai sair muito mais sábio depois de ler isto
Memorização e prática repetida são importantes para aprender, e só a “compreensão” que estava na moda na época não basta. É preciso ter essa base para conseguir se concentrar em níveis mais altos, como entender e aplicar fórmulas. Especialistas criam blocos de memória e os usam como um mestre de xadrez que recorre a milhares de partidas, aberturas e variantes anteriores
A parte difícil para adultos é arrumar tempo, especialmente se o trabalho já for mentalmente desgastante
Parece óbvio que simplesmente decorar algo como
f=manão tem sentido sem tentar aplicações teóricas e práticas. A tentativa de conectar aprendizado de línguas estrangeiras com STEM também soou forçada, e no fim a conclusão fica perto de dizer que tudo é uma arte/ofício, então é preciso praticar para chegar à perfeiçãoLinks relacionados
I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=33890921 - dezembro de 2022
I Rewired My Brain to Become Fluent in Math (2014) - https://news.ycombinator.com/item?id=13674101 - fevereiro de 2017
The building blocks of understanding are memorization and repetition - https://news.ycombinator.com/item?id=12508776 - setembro de 2016
How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8402859 - outubro de 2014
How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8400837 - outubro de 2014
Eu gostaria que o ensino de matemática incluísse mais história e filosofia. O fato de eu não ter ido bem em matemática na escola teve menos a ver com aptidão e mais com ela ser extremamente entediante e desconectada das coisas que me interessavam quando criança
Anos depois, tentando recuperar aos poucos meu conhecimento de matemática, o que mais me interessa são a vida dos matemáticos, o impacto dos acontecimentos sobre suas pesquisas e temas ligados à filosofia da matemática. As aulas de matemática na escola se concentravam apenas em cálculos e fórmulas, e não tinham nada disso. Com contabilidade foi igual. Isolada, era chata, mas ficou interessante quando conectada à história italiana da contabilidade por partidas dobradas ou ao comércio mundial depois dos anos 1500
Matemática parece “criar sistemas de software para números, só que eu também sou o compilador”. Do ponto de vista intelectual, eu chamaria matemática de filosofia quantitativa, e também gosto de filosofia
Além de não haver liberdade para perseguir interesses pessoais, matérias centrais como história, matemática e biologia também são reduzidas a pacotes de fatos que cabem em livros didáticos e podem ser avaliados por provas de múltipla escolha
Na realidade, todo avanço da matemática se desenvolveu normalmente depois de pessoas passarem décadas lidando com números usando formas anteriores de matemática, em geral para aplicações de engenharia. Acho que, se os alunos soubessem que os inovadores da matemática também ficaram travados nas mesmas coisas por muito tempo, poderiam ter mais confiança na própria capacidade
Pode ser um ótimo gancho narrativo para começar o tema, mas, no fim, matemática não é sobre cálculos, fórmulas e provas?
Fico curioso para saber o que os reformadores da educação diriam sobre o subtítulo: “Desculpem, reformadores da educação, mas ainda precisamos de memorização e repetição”
Soa desnecessariamente confrontador, e acho que também foge um pouco do ponto central do texto. O texto diz que, em matemática, prática e uso repetido são importantes, mas não parece estar defendendo uma volta ao ensino de matemática ao estilo americano de 40 anos atrás. No ensino médio, eu era avaliado pela rapidez com que fazia multiplicação de matrizes e achava matrizes uma bobagem, mas na faculdade, ao aprender álgebra linear e osciladores acoplados, achei aquilo incrível. Então eu pensava que a reforma educacional era sobre reduzir trabalho repetitivo sem sentido e focar no contexto em que aquilo é usado de fato; será que eu entendi errado?
O ponto central era treino, muito treino, ainda mais treino. Professores não gostam porque corrigir é tedioso, e alunos não gostam porque não é divertido, mas treino repetitivo funciona. Não é diferente de repetir a mesma fase de Super Mario Bros. até acertar o timing dos pulos. Muitas vezes pensei que, se a ideia é fazer alguém aprender coisas como fatos matemáticos, seria bom gamificar o treino, mas o sistema educacional dos EUA parece ter alergia a esse tipo de abordagem. Em vez disso, o sistema educacional americano parece viciado em ir de uma moda exagerada para a próxima, seguindo o fluxo do dinheiro
Muito da educação enfatiza adaptar-se ao ponto em que o aluno está, mas às vezes acaba encobrindo a própria complexidade inevitável de se deparar conceitualmente com certos conhecimentos. Às vezes pode ser melhor primeiro memorizar uma abstração grande e difícil de atravessar, e depois construir significado por meio da aplicação. Muito conhecimento fica mais claro quando se avança mesmo entendendo apenas de forma nebulosa o que está sendo dito, desde que se tenha confiança e disposição para testar — e, sobretudo, mecanismos de feedback
Sei que tenho grandes lacunas, mas consigo usar matemática o suficiente para o que preciso. Hoje tento evitar a matemática em si e usar apenas a forma da matemática
Ambos os lados citam pesquisas em psicologia educacional; os progressistas tendem a se apoiar em grandes instituições e estudos internacionais, enquanto os tradicionalistas muitas vezes pesquisam em suas próprias salas de aula. Nos exames oficiais do Reino Unido, os alunos dos tradicionalistas parecem se sair melhor, mas isso também pode ser um produto do próprio exame. Além disso, metade dos professores deixa a profissão em até 5 anos. Em 40 anos, são cerca de oito gerações de professores treinadas com seus próprios vieses, que refinam suas ideias em sala de aula e depois treinam a geração seguinte. Some a isso os ciclos de moda das escolas de psicologia educacional e as mudanças de política governamental, e as práticas educacionais de 40 anos atrás ficam mais próximas da arqueologia do que da história
Inevitavelmente, tínhamos de descer continuamente do alto nível de abstração que pretendíamos aprender para lidar com o baixo nível de abstração da aritmética, e com isso acabávamos não aprendendo a abstração mais alta. Imagine uma linguagem orientada a objetos capaz de criar todo tipo de abstração, mas incapaz de multiplicar números. Se, toda vez que um algoritmo precisasse de multiplicação, fosse necessário escrever manualmente algumas linhas de assembly que fazem a mesma coisa, quão ineficiente isso seria? É preciso simplesmente fazer exercícios de multiplicação
Quando eu fazia aulas de matemática na faculdade, sempre via um grande abismo entre aquilo que eu achava ter entendido e o quanto os problemas reais eram confusos. Fico feliz que a autora tenha falado desse fenômeno
Para os poucos alunos que realmente entenderam o tema, os exercícios são apenas trabalho repetitivo; para os que não entenderam, são a parte mais importante do processo de aprendizagem. Há exatamente uma maneira de entender matemática: fazer matemática de verdade. Essa maneira pode assumir várias formas, mas resolver problemas é importante. Acredito que os problemas devam ser interessantes, mas a recordação repetida também é importante
Só fiz a conexão depois de ver onde a autora é professora. Ela é uma das instrutoras de Learning How To Learn no Coursera: https://www.coursera.org/learn/learning-how-to-learn
Depois de me preparar para entrevistas em FAANG e ser reprovado, parece que, para passar, não há outro jeito senão revisar LeetCode e decorar padrões de busca em grafos, busca em largura e busca em profundidade em árvores, padrões de recursão etc.
Se eu resolvo do jeito natural de solução de problemas, um único problema do LeetCode leva de horas a dias. Pelo texto e pelos padrões da indústria de tecnologia, memorização é inteligência. Passei a vida entendendo os temas e evitando decorar, mas agora estou sofrendo uma forte síndrome do impostor. Estou até pensando em pedir demissão voluntariamente do meu emprego atual em tecnologia, por achar que talvez eu não mereça estar entre pessoas mais inteligentes que passaram nas entrevistas. O modo como a indústria de tecnologia faz entrevistas está certo? Preciso de ajuda
Não ganho dinheiro no nível de FAANG, mas, em uma região metropolitana de terceiro escalão nos EUA, sempre ganhei mais de 2,5 vezes a renda mediana local da minha faixa etária. Entrevista em FAANG é um jogo. Acho que o motivo de ser tão horrível e exigir preparação é enviesar o conjunto de candidatos para certos perfis, selecionar pessoas suficientemente desesperadas ou com muito tempo livre, dificultar a mudança para empresas do mesmo nível para manter salários mais baixos e, por fim, criar coesão por meio de uma espécie de ritual de iniciação. Não precisa levar para o lado pessoal
Assumindo esse repertório, o essencial para ter sucesso é desenvolver capacidade de resolução de problemas. Se você não fez recentemente uma disciplina baseada no CLRS, é natural precisar memorizar e praticar mais esses conceitos
O básico em que é preciso ir bem é lembrar a complexidade de tempo de execução das principais estruturas de dados e se familiarizar com as estruturas centrais oferecidas pela plataforma em que você vai programar. Em uma equipe focada em Java, era importante lembrar vários tipos de Map, PriorityQueue, Stack, arrays e o comportamento de referências em Java. Se você tem uma noção razoavelmente intuitiva de quando essas estruturas são úteis, a parte de algoritmos não era tão difícil. Por exemplo, em entrevistas eles pareciam gostar de cache LRU, especialmente implementar um cache LRU em que todas as operações sejam em tempo constante. O jeito mais fácil é criar uma lista duplamente encadeada e fazer os nós dela apontarem para um tipo wrapper dentro de um hashmap. Não é tão difícil, mas é preciso estar acostumado a saber quais estruturas de dados são úteis; nesse caso, um erro comum de iniciantes é tentar usar um heap mínimo