Como estudar matemática (2017)
(math.uh.edu)- A matemática universitária não é uma disciplina de aplicar algoritmos a situações fixas como no ensino médio; ela também exige julgamento para escolher o método adequado com base em definições, teoremas e provas
- Definições não podem ser tratadas só pela intuição; é preciso entender a estrutura lógica e o alcance, verificar com exemplos e contraexemplos e aprender até a formulação exata
- Teoremas, proposições, lemas e corolários indicam o papel e a importância de cada resultado, e é preciso entender junto as hipóteses, a conclusão, os casos de uso e a necessidade das hipóteses
- Provas não são opcionais na matemática universitária; é preciso primeiro entender o enunciado do teorema, ver a estratégia geral e preencher as etapas detalhadas omitidas para conseguir aplicá-lo corretamente
- A habilidade de resolver problemas não se desenvolve só com repetição; é preciso tentar várias soluções, resolver problemas aleatórios e desenvolver o discernimento para escolher qual técnica usar
Como a matemática universitária difere da matemática do ensino médio
- Na matemática do ensino médio, muito tempo é dedicado a algoritmos e técnicas de manipulação, e espera-se que o aluno os aplique em situações predeterminadas
- Só esse hábito de estudo costuma não bastar para acompanhar a matemática universitária, e isso pode gerar frustração tanto para alunos quanto para professores
- A primeira grande diferença na matemática universitária é a ênfase muito maior na parte que os alunos costumam chamar de teoria
- As definições e os teoremas são enunciados com precisão
- Trata-se do processo lógico pelo qual os teoremas valem
- Também se tratam exemplos que mostram por que a definição é apropriada e como usar os teoremas na prática
- Se na descrição da disciplina aparece a palavra
rigorous, isso significa que definições e teoremas serão enunciados com muito cuidado e que, em vez de explicações plausíveis, serão apresentadas provas dos teoremas - Ler a teoria por alto e passar direto para os exercícios tende a causar dificuldades na matemática universitária
- A segunda diferença está em como técnicas e problemas de aplicação são tratados
- No ensino médio, muitas vezes se aprende uma técnica por vez
- Na matemática universitária, um mesmo problema pode admitir várias abordagens, e é preciso escolher qual delas é melhor
- Portanto, além da habilidade técnica, é necessário um hábito de estudo que desenvolva o discernimento na resolução de problemas
Como estudar definições
- Uma definição em matemática é uma frase que delimita com precisão um conceito, ligando-o a conceitos já definidos ou a noções indefinidas como
numbereset, e lhe dá um nome - Uma noção intuitiva é necessária, mas no nível universitário ela não basta; é preciso lidar diretamente com a formulação formal da definição e com seu significado
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Entender exatamente o que a definição diz
- Definições não são lugar para treino de leitura rápida
- Em definições consolidadas, normalmente não há palavras desperdiçadas nem símbolos desnecessários, e palavras pequenas como
and,or,if ... then,for all,there isrevelam a estrutura lógica - Primeiro, é preciso identificar de que categoria geral de objetos a definição está falando
- A definição de polinômio fala de um certo tipo de expressão algébrica
- A definição de função contínua fala de um certo tipo de função
- A definição de base de um espaço vetorial fala de um certo tipo de conjunto de vetores
- Depois, é preciso interpretar o que deve ser mostrado para provar que um objeto dessa categoria geral satisfaz a definição
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Verificar o alcance da definição com exemplos
- Exemplos padrão são úteis, mas podem levar à expectativa de que todos os exemplos se pareçam com eles
- Para entender uma definição, é preciso criar exemplos por conta própria
- Crie 3 exemplos que satisfaçam a definição, mas sejam o mais diferentes possível entre si
- Crie 2 exemplos que pertençam à mesma categoria geral, mas não satisfaçam a definição
- Prove que esses 5 exemplos de fato funcionam como pretendido
- Essas provas em geral são curtas e quase seguem diretamente a estrutura da definição
- Exemplos escritos por você mesmo tendem a ter mais significado na revisão do que os exemplos do livro ou do professor
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Memorizar a formulação exata
- Para usar uma definição, é preciso saber exatamente o que ela diz
- Em provas, pode aparecer uma questão pedindo o enunciado de alguma definição
- Um conhecimento sólido das definições ocupa uma parte grande do aprendizado como um todo, e o tempo investido nisso não é desperdício
Como lidar com teoremas, proposições, lemas e corolários
- As definições passam a funcionar de fato quando se conectam entre si e se relacionam com problemas gerais, e é isso que a teoria faz
- Os nomes dados aos resultados demonstrados indicam, até certo ponto, sua importância relativa e o uso pretendido
- Um teorema é um resultado importante que oferece uma visão central sobre como um conceito é usado na resolução de problemas ou sobre como a disciplina funciona, e sua prova muitas vezes é profunda e complexa
- Uma proposição é um resultado menor, muitas vezes ligando definições diferentes ou oferecendo uma forma alternativa de uma definição, e sua prova costuma ser menos complexa que a de um teorema
- Um lema é um resultado técnico usado na prova de um teorema; quando o mesmo truque é usado várias vezes, ele é separado para evitar repetir a prova
- Um corolário é um resultado imediato de um teorema, frequentemente um caso particular ou algo que evidencia o interesse e a importância do teorema
- Se o autor ou professor usou esses nomes com cuidado, eles ajudam a perceber o que é importante
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Entender o enunciado de um teorema
- Como teoremas usam termos definidos, pode ser necessário voltar às definições relacionadas para entender as palavras do enunciado
- É preciso distinguir, na estrutura lógica do teorema, as hipóteses e a conclusão
- É preciso verificar se todas as hipóteses são realmente necessárias ou se algumas bastariam
- A maioria dos teoremas só pode ser aplicada quando todas as hipóteses são satisfeitas
- Sobre situações em que as hipóteses não valem, o teorema não diz nada
- As hipóteses indicam o que você precisa demonstrar para aplicar o teorema a um caso específico, e a conclusão indica o que o teorema afirma sobre esse caso
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Ver como o teorema é usado
- É preciso procurar exemplos de problemas em que o teorema fornece a técnica para encontrar a resposta
- Você também deve criar problemas por conta própria e mostrar como o teorema ajuda
- Registrar isso faz o teorema se fixar melhor e facilita a revisão
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Verificar o papel das hipóteses
- É útil procurar exemplos mostrando que, sem cada hipótese, a conclusão pode se tornar falsa
- Muitos teoremas do cálculo têm como hipótese que a função seja contínua, e exemplos podem mostrar com mais clareza por que o teorema falha quando essa hipótese é retirada
- Listas desse tipo são úteis, e livros como
Counterexamples in AnalysiseCounterexamples in Topologysão citados como exemplos - Em alguns casos, uma hipótese aparece não por ser essencial para a conclusão, mas por simplificar uma prova complicada; por isso, nem sempre será possível encontrar exemplos mostrando que toda hipótese é indispensável
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Memorizar o enunciado do teorema
- Para usar um teorema, é preciso saber exatamente o que ele diz, sobretudo as hipóteses
- Em vez de tentar decorar a prova, é melhor entendê-la a ponto de conseguir reconstruí-la por conta própria
Enxergar a estrutura do curso como um todo
- A matemática não é um amontoado de técnicas soltas, mas um modo de pensar e uma disciplina unificada
- Parte do estudo consiste em conectar corretamente várias definições e teoremas entre si
- Isso é especialmente importante no fim do semestre, mas manter essa organização geral em mente durante o estudo também ajuda a entender o conteúdo e sua sequência
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Rastrear de trás para frente
- Ao chegar a um resultado importante, é útil observar quais resultados anteriores foram usados em sua prova
- Se você continuar rastreando por quais resultados ainda mais antigos esses resultados foram demonstrados, acabará voltando às definições
- Em alguns casos, porém, certos teoremas podem ser apresentados sem prova, como ocorre quando a demonstração do teorema do valor intermediário é omitida em cálculo
- Organizar essas informações como uma árvore genealógica dos resultados permite ver de uma vez como a teoria se encaixa
- No exemplo do teorema do valor médio, entram em cena o teorema de Rolle, um lema auxiliar apropriado, o significado do sinal da derivada, a definição de derivada, as definições de máximo e mínimo, a definição de intervalo fechado, o axioma do supremo e a definição de continuidade
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Fazer um esquema definição-teorema
- Se você rastrear cada teorema principal de volta até as definições, poderá ver quais resultados precisam vir antes de outros
- Algumas definições dificilmente fazem sentido antes que certo teorema tenha sido provado
- A dimensão de um espaço vetorial só pode receber esse nome depois que se sabe que o número em questão é único, e para isso é preciso um teorema
- Um esquema definição-teorema organiza o material para que cada resultado seja introduzido antes de ser necessário em uma prova
- Esse esquema deve incluir os enunciados exatos de todas as definições e teoremas, além de um esboço da prova de cada teorema
- O esboço da prova deve mostrar quais resultados anteriores foram usados e como foram combinados, omitindo normalmente passos rotineiros como simplificações algébricas ou verificações corriqueiras de hipóteses
- Esse tipo de esquema é um ótimo ponto de partida para revisão e também um bom material de consulta posterior
Como entender provas
- A matemática universitária exige acompanhar muitas provas, algo bem diferente da matemática do ensino médio, em que provas costumavam estar ausentes ou ser opcionais
- Acompanhar provas é uma tarefa estranha e difícil no começo, por isso pode não ser popular
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Conheça primeiro o enunciado do teorema
- Se você confunde hipóteses com conclusão, não sabe o que pode assumir nem aonde precisa chegar
- O primeiro passo para entender uma prova é saber exatamente o que o teorema afirma
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Captar o contorno geral da prova
- Primeiro, é preciso ver quais resultados anteriores estão sendo usados e qual é a estratégia básica da prova
- Na primeira leitura, convém deixar os detalhes de lado para não perder a direção geral
- A maioria dos teoremas tem a forma de implicação, e a estrutura de prova mais simples consiste em assumir as hipóteses e combinar resultados anteriores até chegar à conclusão
- Prova por contraposição, redução ao absurdo, indução matemática e também formas do axioma da escolha, como o lema de Zorn, podem aparecer como estratégias
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Preencher as etapas detalhadas omitidas
- Depois de entender a estratégia, é hora de focar na tática
- As explicações de provas em livros de graduação e, ainda mais, em textos avançados, omitem muitos passos rotineiros
- Se uma expressão foi simplificada, você deve preencher os cálculos entre as linhas
- Se um teorema foi citado e aplicado, é preciso conferir se todas as hipóteses realmente são satisfeitas
- Se alguma parte foi deixada para o leitor, você deve completá-la por conta própria
- Ao final, você deve saber por que cada etapa decorre da anterior, embora não seja obrigatório saber como alguém teve a ideia da prova em primeiro lugar
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Por que aprender provas?
- Para quem estuda matemática, a resposta é clara: grande parte da matemática é feita de provas
- Mesmo para quem quer aplicar matemática, provas continuam sendo necessárias
- Aplicações em outras áreas provavelmente não serão exatamente iguais aos problemas de aplicação do livro-texto
- Um curso de matemática não consegue cobrir todas as aplicações conhecidas, e afirma-se que a literatura matemática publica cerca de 500 artigos de aplicação a cada duas semanas
- Conhecer as hipóteses de um teorema evita aplicá-lo por engano onde ele não funciona
- Quando necessário, conhecer a prova ajuda a ver como contornar uma hipótese que falhou
- Um dos grandes riscos da matemática aplicada é ignorar por conveniência as hipóteses de um modelo matemático
- Esse risco é especialmente grande quando não matemáticos fazem matemática aplicada
- Quando matemáticos fazem matemática aplicada, o risco maior costuma ser cair na armadilha oposta: criar modelos sem relação com a realidade
- Muitas aplicações consistem em reconhecer, sob a terminologia de outra área, definições de conceitos matemáticos
- Provas podem deixar claras diferenças sutis entre definições e formas inesperadas de equivalência
- Em matemática, a prova é o teste final de validade
- Uma vez aceito o processo lógico de uma prova, observações posteriores ou mudanças de moda não alteram a validade do resultado matemático
- Sem prova, falta algo de forma grave; pode-se dizer que já não é matemática
Como desenvolver técnicas de resolução de problemas
- Cerca de um terço até metade de uma disciplina de matemática trata de técnicas
- Técnicas são o que faz os teoremas deixarem de ser apenas formas gerais e passarem a funcionar em situações específicas
- Em alguns casos, a prova já fornece uma construção explícita, e basta segui-la no caso particular
- Em casos como técnicas de integração, em que várias abordagens e vários truques podem se aplicar ao mesmo problema, é necessário discernimento
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Leia primeiro os teoremas e os exemplos
- Tratar a resolução de problemas como se fosse um processo separado do resto da disciplina torna o aprendizado mais difícil
- Muitas vezes, os problemas seguem padrões já explicitados nas provas dos principais teoremas anteriores
- Conhecer esses padrões gerais de antemão é mais fácil do que descobri-los apenas por tentativa e erro
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Resolva problemas suficientes para dominar a técnica
- É preciso resolver problemas em quantidade suficiente para que uma técnica específica se fixe de verdade
- Como a responsabilidade final pela própria formação é do aluno, se os exercícios entregues não bastarem, será preciso praticar por conta própria
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Resolva o mesmo problema de várias maneiras
- Ao praticar uma técnica, é fácil começar a achar que existe apenas uma abordagem para cada problema
- Às vezes uma abordagem é simples e outra é complicada, mas em muitos casos várias soluções funcionam quase igualmente bem
- Abordagens mais complexas também servem como treino para resolver problemas que exigem várias etapas e várias técnicas
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Monte conjuntos aleatórios de problemas
- Uma dificuldade ao aprender várias técnicas é decidir, antes mesmo de começar, qual delas usar
- Os exercícios dos livros muitas vezes são agrupados justamente pela técnica estudada mais recentemente, o que pode aumentar essa dificuldade
- Se você escolher 2 ou 3 problemas de cada conjunto, escrever em cartões 3×5 e embaralhá-los, poderá criar um conjunto de treino para praticar a escolha da técnica adequada
Hábitos finais de estudo
- Frases matemáticas têm pouquíssima redundância, e a matemática é uma disciplina fortemente cumulativa
- Um conceito introduzido uma vez raramente é repetido, e depois costuma-se presumir que você já o conhece
- É preciso garantir tempo suficiente para ler o livro antes de tentar resolver problemas
- A maioria dos alunos não escreve rápido o bastante para produzir durante a aula anotações completas e fáceis de ler
- É útil revisar as anotações logo após a aula e produzir uma versão limpa e completa, com definições e teoremas escritos com clareza
- Isso também ajuda a identificar a tempo o que você não entendeu e perguntar ao professor
- Não fique para trás
- Matemática exige precisão, hábitos de pensamento claro e prática
- Estudar de véspera não só tende a não produzir o resultado desejado na prova, como reforça o mau hábito de tentar fazer matemática por memorização, e não por compreensão
- Mais do que decorar na última hora, dormir o suficiente e manter a mente descansada ajuda mais
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Sou doutor em matemática e já publiquei vários artigos, mas minha recomendação se resume a um único metaprincípio: é preciso gostar de matemática
É parecido com o que Benjamin Finegold dizia: o segredo do xadrez é aproveitar cada lance. Pessoalmente, nunca tive dificuldade com matemática, e acho que o motivo é que eu realmente gostava do ato em si de escrever símbolos, aprender novas teorias e tentar criá-las por conta própria
Nem todo mundo gosta de matemática desde o início, mas acho que, em pelo menos metade dos casos, isso acontece porque a pessoa não encontrou um caminho claro para gostar dela. A matemática do ensino médio geralmente não é ensinada como uma investigação artística e lógica incrível
Por isso, é bom encontrar um mentor que já tenha achado esse caminho e pedir que ele mostre como gostar de matemática. Na prática, ensinei muitos alunos que odiavam matemática e a achavam difícil, e depois de algumas vezes eu via no olhar deles aquele “isso é bem legal, né?”
Antes de aplicar lógica, métodos de estudo ou técnicas tediosas de produtividade, é preciso primeiro encontrar uma forma de gostar
Elas veem a matemática como tomar um remédio amargo ou treinar uma técnica complicada e rígida, e por isso a forma como ensinam também é desajeitada e autoritária, fazendo os alunos ficarem passivos ou rebeldes
Recentemente, o governo de Manitoba, no Canadá, mudou as regras para não exigir que professores de matemática cursassem disciplinas universitárias de matemática, e o fato de as faculdades de educação estarem pressionando fortemente por isso mostra, na minha opinião, o quanto os professores de matemática odeiam matemática
Muita gente confunde gostar de algo com sentir-se bem por ser bom naquilo. Então, quando uma área deixa de sair naturalmente, a pessoa acaba mudando de curso depois e indo para onde seus pontos fortes funcionam melhor
O problema é desistir cedo demais, e para evitar isso é importante construir confiança no começo. Se a pessoa sente que não é capaz, é quase impossível gostar; portanto, um domínio básico vira o primeiro passo para o prazer e para o sucesso posterior
Não sou doutor, mas já dei bastante reforço de matemática para alunos mais jovens, e estou sempre procurando novas formas de desenvolver neles a sensação de que a matemática é divertida e maravilhosa
Para muitos alunos, a matemática está enraizada como uma dor quase sem sentido e também está fortemente ligada a sentimentos de insuficiência ou vergonha, então não é fácil
Como diabos alguém pode fazer a si mesmo gostar de matemática?
Na graduação, meu segredo em todas as disciplinas de matemática era resolver problemas
Eu resolvia todos os problemas no fim de cada capítulo do livro-texto e, na biblioteca, procurava outros livros-texto e resolvia também todos os problemas no fim dos capítulos deles
Na pós-graduação, levei isso mais longe: reescrevia todos os capítulos do livro-texto preenchendo as etapas intermediárias das demonstrações. Eu preenchia até as partes que o autor pulava com “portanto...” ou “claramente...”
Para mim hoje, lendo 20 anos depois e sem contexto, elas não passam de jeito nenhum
Treinei repetidamente as definições básicas e as revisei com repetição espaçada, e o método de anotações Cornell era prático para organizar e revisar durante as aulas
Mantive um diário de pensamento registrando problemas que eu não consegui resolver ou que resolvi, por que travei, o que funcionou etc., e essa metacognição foi útil para transferir para problemas novos
Grupos de estudo em que as pessoas explicavam bastante umas às outras também ajudaram muito
Não acho que seja a estratégia ideal para humanos. Precisamos criar materiais de matemática que ajudem os alunos a aprender de forma analítica e conceitual
Como se aprende biologia
Mesmo que você não tenha perguntas, pode fazer a lição de casa naquele horário e ouvir as perguntas dos outros
Além de aprender mais, aumenta a chance de o monitor notar seu esforço e olhar com mais boa vontade para pontos parciais ou situações de nota no limite
Por exemplo, acho impossível resolver todos os problemas do CLRS. Um professor passou um problema de hashing universal, e levei horas só para chegar ao insight central da demonstração correta
Com tantas prioridades concorrentes, não consigo imaginar como alguém, exceto algumas pessoas realmente talentosas, conseguiria resolver todos os problemas
Ao passar da escola para a universidade, a primeira coisa com que você precisa se acostumar é ficar completamente perdido e se sentir derrotado
No fim do ensino médio, eu conseguia resolver tudo, terminava as provas do IB com bastante tempo sobrando e fazia meses que não via um problema do currículo regular que não conseguisse resolver
Na universidade, apareceram problemas em que eu nem sabia qual era a relação com a aula que tinha acabado de ouvir. Era a sensação de: “assisti a esta aula e devo resolver este problema com essas informações, mas nem sei o que o problema quer dizer”
O aprendizado acontece justamente nesse processo frustrante de bater a cabeça. Você lê, lê mais, enche as anotações com derivações inúteis, e no fim a forma começa a aparecer
Na universidade, o volume de material é tão enorme que ninguém consegue explicar tudo a você no tempo limitado. O aluno precisa captar as ideias centrais e preencher o restante por conta própria, dedicando tempo
Na universidade em que estudei havia um curso de revisão de matemática antes do semestre, e ele começava com a soma de números naturais. Em dois dias, tudo o que tínhamos aprendido em 13 anos de escola foi revisado
Foi um processo brutal de redefinição de expectativas, mas deixou claro para todos que aquilo já não era escola e que seriam necessários outro tipo de trabalho e outro tipo de concentração
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How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - março de 2021, 73 comentários
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - fevereiro de 2018, 148 comentários
Bônus: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - maio de 2020, 31 comentários
Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - janeiro de 2019, 227 comentários
Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - março de 2018, 211 comentários
Curiosamente, este guia diz que a compreensão intuitiva funciona para a matemática em nível escolar, mas não para o nível universitário
Por outro lado, David Bessis, em seu livro recente “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity”, afirma que a intuição é o “segredo” para entender matemática em todos os níveis
Não sei que conclusão tirar disso, mas, pela minha antiga experiência com matemática na universidade, a intuição foi uma ferramenta poderosa para desenvolver a compreensão das disciplinas
Quando um aluno do ensino médio olha para um problema de matemática do ensino médio, ele extrai a intuição de resolução a partir de toda a sua experiência com matemática do K-12. Ao passar para a matemática de graduação, a experiência existente deixa de ser suficiente, e isso torna tudo difícil
Exigem-se problemas mais abstratos e um rigor muito maior, e os problemas muitas vezes operam em níveis mais altos da taxonomia de Bloom [1] do que a matemática do ensino médio. Para um aluno médio do ensino médio, é uma área em que quase não há experiência, então a intuição não se forma bem
À medida que a experiência se acumula, a intuição volta no fim da graduação, na pós-graduação e depois disso, mas é essencialmente um tipo diferente de intuição. No ensino médio, havia muita intuição visual e geométrica; na matemática avançada, ela passa a ser uma intuição sobre abstrações e sobre as ferramentas para atacar problemas
Não é diferente de um programador olhar para um problema e dizer: “precisamos de um hash map, e aí este problema fica trivial”
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
Isso porque, no dia a dia, temos uma noção de objetos geométricos ou de coisas como curvas bidimensionais do cálculo
No nível universitário, os objetos são mais abstratos, então a intuição cotidiana pode não se aplicar mais. Um novo tipo de intuição pode surgir, mas isso exige passar muito tempo com procedimentos formais e cálculos, refletir sobre esse tempo e se esforçar ativamente para criar novas metáforas que possam gerar intuição
Por exemplo, lembro até hoje de um professor que usou Ice-9, de Cat's Cradle, como metáfora para explicar como, nas funções holomorfas do plano complexo, ao provar uma propriedade local, essa propriedade também se torna verdadeira para o comportamento global
Não quer dizer que ela não seja necessária, e sim que não é uma condição suficiente
Nas palavras de Tao, o valor da intuição se torna muito maior no estágio pós-rigor, depois que a competência técnica foi suficientemente desenvolvida
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
Bessis de fato também dá exemplos em que intuição e técnica se complementam muito bem
A citação sobre Sitzfleisch tirada de The Lost Cafe, de Gian-Carlo Rota, é marcante
A palavra alemã Sitzfleisch significa a capacidade de passar horas intermináveis diante da mesa e realizar trabalho árduo, e diz-se que os matemáticos a consideram uma medida de sucesso melhor do que as definições atraentes de talento que os psicólogos às vezes apresentam
Mas Stan Ulam se manteve sem Sitzfleisch. Depois de sofrer encefalite, passou a gerar ideias com a imaginação que não foi danificada e a depender do Sitzfleisch de outras pessoas para o suporte técnico
Graças à beleza de seus insights e ao potencial de suas propostas, jovens colaboradores se dispunham a emprestar seu tempo, às vezes até assumindo o risco de desperdiçá-lo
A fonte é uma citação encontrada aqui: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php
No meu caso, senti que cheguei a um nível completamente novo quando tentei fazer todas as demonstrações por conta própria
Antes, eu lia o tema algumas vezes e depois, olhando definição por definição e demonstração por demonstração, tentava primeiro lembrar o enunciado e, em seguida, prová-lo por conta própria. Fazendo isso, quase tudo o que o texto menciona era alcançado indiretamente
O interessante é que, depois disso, a maioria dos exercícios que antes pareciam complicados virava problema que eu resolvia de imediato. Era quase como um cheat code para não precisar fazer exercícios
Quando eu ensinava vários níveis na universidade, todo ano perguntava se alguém tinha tentado lembrar em casa a demonstração de um teorema, e ninguém tinha feito isso. Quando eu dizia que era isso que deveriam fazer, eles sempre ficavam surpresos
Este texto não tem a meta do estudo de matemática
A reflexão criativa sobre como você aprende começa a ser realmente recompensada mais ou menos no meio da faculdade
A relação com as convenções se torna tão importante quanto a relação com as técnicas. Para entender o “todo” de algo, é preciso entender também quais vieses moldaram a forma de apresentação que você está vendo agora. Provavelmente você vai querer descascar esses vieses
Vale tanto se você quiser mudar a matemática quanto se só quiser aprendê-la. Uma postura passiva de tentar fazer do jeito que os outros querem é o caminho para a frustração
Vi no HN e me cadastrei no MathAcademy.com, e minha experiência recente tem sido uma surpresa muito agradável
Agora, aos 50 e poucos anos, quis reaprender a matemática do ensino médio de 35 anos atrás, então avancei rapidamente pela série Foundations; atualmente estou mais ou menos na metade de Foundations 3 e, em 9 semanas, estudando 2 horas por dia, acumulei cerca de 9000 XP
Em 2025, pretendo fazer de 1 a 3 cursos de nível universitário em um ritmo mais lento
Como autodidata, combinou bem com meu jeito de aprender. É divertido, mensurável, com dificuldade ajustada, sem bater em “paredes” ou “dependências não satisfeitas”, e as explicações dos problemas que não resolvi são minuciosas
A maior descoberta foi que dá para aprender sem deixar muitas anotações para revisão e memorização. Experiência e repetição espaçada bastaram. A pausa de Natal vai ser o teste para ver se o aprendizado realmente se consolidou
9000 XP em 9 semanas é um ritmo impressionante
A frase “não fique para trás” me marcou muito
Eu fui um daqueles estudantes preguiçosos de graduação em matemática que sofreram com alguns tópicos do primeiro ano, mas não pediram ajuda nem dedicaram tempo suficiente, e no fim nunca se recuperaram
Também acho que o ensino foi muito ruim em vários pontos. Era algo do tipo “apenas acredite” ou “isto é óbvio, então deixo a conclusão para vocês”, o que, sinceramente, é péssimo para alguém de 18 anos
Um sistema que te deixa tirar 30% em “Análise 1” e, no semestre seguinte, te empurra direto para “Análise 2” esperando que você se vire não é um sistema decente
Meu período estudando matemática na universidade foi realmente sofrido, e talvez eu devesse ter feito algo mais aplicado, como engenharia ou ciência da computação
Alguém disse: “se você gosta de biologia na escola, faça psicologia na universidade; se gosta de química, faça biologia; se gosta de física, faça química; se gosta de matemática, faça física; se gosta de filosofia, faça matemática”, e eu devia ter escutado
Mas, depois que você se torna um adulto plenamente maduro, pode voltar à matemática a qualquer momento, sem limites de tempo idiotas nem pressão por notas
Acho que a matemática não combina bem com pressão de tempo. Matemática é conviver longamente com ideias, brincar com elas, assumir riscos e até fazer conjecturas bobas. Em essência, é brincadeira, e a pressão de tempo não ajuda ninguém
Se você tinha interesse, pode voltar a qualquer momento e, se quiser, até refazer aulas. Há muitos bons livros para autodidatas e comunidades para aprender junto
Mas, se você quiser chegar ao fundo das coisas, entender tudo e resolver as perguntas fundamentais da ciência, talvez queira invertê-lo
Se gostava de biologia, estude química, pois os processos vitais são processos eletroquímicos; se gostava de química, estude física, pois moléculas, átomos, formação e reações são processos físicos, e assim por diante