π em outro universo

• π é a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo, mas, dependendo de como se define “distância”, até círculos com o mesmo raio podem ter formas diferentes e valores diferentes de π
• Em matemática, uma métrica (metric) estabelece 4 condições que uma função de distância deve satisfazer, permitindo tratar geometria, cálculo e topologia fora da distância euclidiana, com algumas adaptações
• Na distância de Manhattan e na distância máxima, o círculo aparece respectivamente como um quadrado girado e um quadrado, e o cálculo da circunferência dá π = 4 em ambos os casos
• A p-norma é uma família infinita de métricas que inclui a distância de Manhattan, a euclidiana e a máxima, e o π = 3.14159… da distância euclidiana usual com p = 2 é o menor valor possível dentro dessa família
• Ao ampliar para todas as métricas, π fica entre 3 e 4; numa métrica hexagonal específica, a circunferência de um círculo de raio 1 é 6, então π = 3

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Por que o valor de π muda

• Em geral, π aparece na relação entre a circunferência C e o raio r de um círculo, C = 2πr
• Matematicamente, um círculo é o conjunto dos pontos à mesma distância do centro
• Portanto, π depende da definição de distância usada para medir a circunferência e o raio
• A forma dos pontos com o mesmo “custo” nem sempre é um círculo euclidiano
  • Os pontos que se pode alcançar correndo pelo mesmo tempo a partir do centro podem formar um círculo em termos de distância por tempo
  • Os pontos que se pode alcançar dirigindo com a mesma quantidade de combustível também podem ser vistos como um círculo em termos de combustível
  • Ao navegar num dia de vento forte, os pontos alcançáveis com o mesmo esforço formam uma elipse deslocada para um lado, dependendo da direção do vento

O que faz uma função de distância ser uma métrica

• Em matemática, uma métrica define as condições para uma função ser reconhecida como distância
• Uma métrica deve satisfazer as seguintes regras
  • A distância de um ponto até ele mesmo é sempre 0
  • A distância entre dois pontos distintos é sempre positiva
  • A distância de a até b é igual à distância de b até a
  • A distância direta de a até c não pode ser maior do que a distância de a até c passando por b
• O “esforço necessário para navegar” dificilmente forma uma métrica
  • O esforço muda se se navega com o vento a favor ou contra, então a 3ª condição não é satisfeita
• A distância euclidiana d = sqrt(x² + y²) é a definição tradicional de distância usada desde a geometria da Grécia antiga e no cálculo de Newton
• No começo do século 20, matemáticos perceberam que qualquer função que satisfaça os requisitos básicos pode ser usada como distância, e muitos resultados matemáticos também podem ser aplicados com algumas modificações

π na distância de Manhattan

• A distância de Manhattan é a distância em uma cidade em grade, onde não se pode andar na diagonal e se somam os deslocamentos nas direções x e y
• A fórmula da distância é d = x + y
• Por exemplo, se o erro de previsão da mudança populacional de duas cidades é colocado nos eixos x e y, então os pontos cujo erro total é de 1.000 pessoas formam um “círculo”
• Nessa métrica, o círculo parece um quadrado girado em 45 graus
• Se o raio é 1.000, o comprimento de Manhattan de cada lado é 2.000, e a circunferência dos 4 lados é 8.000
• Como 8,000 = 2π(1,000), nessa estrutura de distância temos π = 4

π na distância máxima

• A distância máxima é uma métrica que usa o maior valor entre x e y como distância
• A fórmula da distância é d = max(x, y)
• Ela se relaciona com situações em que várias tarefas são feitas em paralelo e o tempo total é determinado pelo item que leva mais tempo
• Um exemplo seria uma competição de culinária em que dois ingredientes são preparados em paralelo, e ambos precisam ficar prontos entre 55 e 65 minutos
• Nessa estrutura de distância, o círculo tem forma de quadrado
• Quando o raio é 5, cada lado mede 10, e a circunferência dos 4 lados é 40
• Como 40 = 2π(5), também na distância máxima temos π = 4

π na família das p-normas

• A métrica p-norma é uma família infinita de métricas definida por d = (x^p + y^p)^(1/p)
• p pode assumir valores maiores ou iguais a 1
• A p-norma generaliza as distâncias anteriores
  • p = 1 é a distância de Manhattan
  • p = 2 é a distância euclidiana
  • p = ∞ é a distância máxima
• A forma do “círculo” também muda conforme o valor de p
• Para valores gerais de p, é difícil calcular a circunferência diretamente só olhando, então é possível fazer isso com o computador, que percorre a borda do círculo e acompanha a distância percorrida
• Segundo resultados de um artigo anterior, os valores de π para cada p-norma são os seguintes
  • p = 1: π = 4
  • p = 1.1: π = 3.757…
  • p = 2: π = 3.141…
  • p = 2.25: π = 3.155…
  • p = 3: π = 3.259…
  • p = 11: π = 3.757…
  • p = ∞: π = 4
• O artigo também prova que, em toda a família das p-normas, 3.14159… é o menor valor possível de π

Faixa de π em todas as métricas

• Existem infinitas p-normas, mas há ainda mais métricas que não são p-normas
• O artigo de Sahoo prova que, em todas as métricas, π fica entre 3 e 4
• Métricas que produzem π = 4 podem ser vistas na distância de Manhattan e na distância máxima
• Um exemplo que produz π = 3 aparece nesta resposta no StackExchange, com uma métrica hexagonal
• A fórmula da distância é a seguinte

d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |

• O π usado nessa fórmula é o π usual das funções trigonométricas euclidianas
• Nessa métrica, o círculo se torna um hexágono
• Calculando o comprimento de cada lado do hexágono com essa fórmula de distância, cada lado vale 1 e a circunferência total é 6
• Com raio 1, 6 = 2π(1), então nessa métrica temos π = 3

Em vez de π-day, π-month

• O π-day de 14 de março é baseado no π usual, 3.14…
• Como π pode ficar entre 3 e 4 em todas as métricas, se encontrarmos uma métrica correspondente a cada data, poderíamos celebrar o mês inteiro de março como um π-month

[GN⁺]

Opiniões no Hacker News

• A formulação de que a matemática é “um jogo que parte de pressupostos e busca as conclusões lógicas possíveis” organiza muito bem uma ideia que vinha rondando minha cabeça há algum tempo

  • É também por isso que Lean4 e mathlib são interessantes
    Quanto mais as pessoas colocam demonstrações formalmente verificadas na mathlib, mais fácil fica demonstrar formalmente mais teoremas em cima disso
    Partindo do zero, até demonstrações simples exigem muita reescrita e especificação de detalhes, ficando quase como trabalho braçal puro, mas na mathlib ferramentas como simp ou linarith parecem assumir boa parte do trabalho repetitivo pesado
    O efeito bola de neve é realmente interessante, mas é bem provável que o que eu entendo já esteja todo lá, então acho difícil contribuir de forma significativa
  • Pensar em matemática e lógica como um enorme autômato celular é surpreendente
    “Axiomas” não necessariamente correspondem à “verdade”; são mais como restrições arbitrárias que geram complexidade e, às vezes, o sistema resultante se torna útil
  • A matemática é o jogo mais antigo, mais amplo e mais complexo que a humanidade pratica
    Ela também é útil, e há muito a investigar filosoficamente sobre essa utilidade, mas vejo isso como uma propriedade separada do jogo em si
    Mesmo que seja inútil, não aumente o conhecimento e tenha até utilidade negativa — como converter um livro de receitas para hexadecimal por diversão — ainda assim é algo que se pode fazer nesse jogo
    Tentar provar a conjectura dos primos gêmeos é um nível muito mais difícil, e esse jogo pode ser jogado independentemente de idade ou habilidade, usando qualquer coisa: a mente, papel e lápis, ou até o maior cluster de computação do mundo
    Tecnicamente, todos os outros jogos também são subconjuntos deste jogo; seja pintando desenhos bonitos, colidindo átomos ou contando até o maior número possível, cada um pode jogar do jeito que quiser
  • O mesmo princípio se aplica à programação
    Quanto menos uma função sabe sobre seus argumentos, mais genericamente ela pode ser usada
  • Um bom exemplo disso é o impacto do axioma da escolha sobre a teoria da medida e a teoria da probabilidade
    O axioma da escolha implica a existência de conjuntos que não são mensuráveis por Lebesgue, mas não é possível apresentar um exemplo concreto desses conjuntos não mensuráveis; só se pode provar que existem
    Por outro lado, em uma teoria alternativa que inclui o axioma da determinação, todo subconjunto dos números reais se torna mensurável
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

• Mesmo que π seja diferente na geometria de outro universo, ainda existiriam constantes importantes com o mesmo valor que o nosso π
  Por exemplo, os zeros da função definida pela série x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... são nπ para inteiros n, e aqui π é o nosso π
  O nosso π também aparece na função exponencial, cujo período é 2πi

  • Correto. Como exemplos mais concretos, os valores a seguir continuam ligados ao nosso π, independentemente da geometria
    A soma da série 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …) é π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
    A soma da série (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …) é π²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
    Portanto, a probabilidade de que dois números escolhidos uniformemente em [1…N] sejam coprimos se aproxima de 6/π² à medida que N cresce
    O produto 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)… também é π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
    Quando n cresce, (n!/(√n (n/e)^n))²/2 se aproxima muito lentamente de π: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation Ex.: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
    Há muitos outros resultados não geométricos: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
  • Acho que talvez seja justamente o contrário
    Pelo que entendo, os humanos da civilização europeia historicamente definiram a função exponencial complexa para ter período 2πi, a fim de coincidir com os períodos de sin e cos já definidos
    Ela poderia ter sido definida com outro período. Por exemplo, se “360 graus” tivesse sido definido como 1, e não 2π, com sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0, então o período de e^ix também teria sido definido como 1
    O sistema decimal é parecido. Só usamos historicamente a base decimal porque temos dez dedos; não há motivo para alienígenas também terem dez dedos
  • É melhor dizer que π é o mesmo número 3.14... em qualquer lugar
    Só que, em outro universo, talvez não se use π na fórmula do comprimento de uma circunferência
    Na distância de Manhattan (L_1), C = 8 R; na distância euclidiana (L_2), C = 2π R; na distância máxima (L_infinity), C = 8 R
  • Fico curioso se, ao definir a distância unitária — por exemplo, a distância entre 2 e 3, ou entre 5 e 6 — pela função de distância deles, o π deles reapareceria
    Parece semelhante a mudar a base em um sistema numérico

• Há várias maneiras de definir uma constante parecida com π para o círculo unitário da p-norma, e, quando p != 2, elas podem não coincidir entre si
  Se π for definido pela área do círculo unitário, surgem valores completamente diferentes, e essa definição satisfaz propriedades interessantes, como ser a constante de período de um conjunto natural de funções trigonométricas para p-círculos
  Indo além, pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...
  Por outro lado, a definição de π baseada em perímetro/comprimento de arco tem a propriedade interessante de que pi(p) = pi(q) para p, q conjugados
  “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” é uma referência divertida que trata desse assunto

  • Fico curioso se o fato de não ser um espaço de Hilbert causa efeitos estranhos na geometria
    Provavelmente seria preciso abrir mão da identidade de polarização, e então isso também afetaria paralelogramos, mas não sei exatamente como

• pi = 3.14159… aparece na análise e também em sua extensão, a estatística, portanto é independente da geometria
  Alienígenas de outro universo também conheceriam esse valor; eles apenas teriam uma constante diferente para círculos
  Como, de todo modo, eles não usariam letras gregas, seria preciso traduzir, e parece menos estranho considerar 3.14159… como π do que associar o 3.757… deles a “π”
  Claro que é discutível qual entre 3.14…(π), 6.28…(2π) e 0.785…(π/4) deveria ser tomada como constante básica, e alienígenas poderiam pensar diferente
  O texto introduz o conceito de função de distância para explicar constantes de círculo em outros universos, mas uma função de distância arbitrária não garante escalonamento linear nem invariância por translação
  Para definir uma constante de círculo de modo significativo, é necessária uma suposição mais forte do que uma função de distância, por exemplo um espaço vetorial normado, e os exemplos apresentados também parecem, na prática, não ser simples espaços métricos, mas espaços vetoriais normados

  • O primeiro ponto não é surpreendente
    O nosso π está ligado à única função de distância cuja circunferência unitária é totalmente contínua e diferenciável
    A norma 2 é muito especial por vários motivos, e também parece natural que a constante que relaciona a distância em um ponto ao resultado de integrar uma constante ao longo do caminho formado por esses pontos seja encontrada com mais frequência do que outras constantes
    Se a circunferência unitária dessa função de distância não tiver continuidade e diferenciabilidade em todos os lugares, muitas outras coisas podem ruir como dominós
    Há algo singularmente central na relação concisa entre pontos, distâncias e caminhos
  • Fiquei curioso sobre o primeiro ponto
    Como explicado em outro comentário, o valor 3.14159 de π também pode ser derivado apenas da teoria dos números pura, mas, como que por mágica, desempenha um papel enorme na formação do mundo físico que conhecemos
    Poderia haver uma teoria dos números diferente em outro universo, ou a teoria dos números é verdadeira independentemente do universo? Fico curioso para saber como seria, afinal, uma teoria dos números alternativa
  • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
    Não quero soar como o Buzzfeed, mas a tabela 3 faz bastante sentido
  • Certo. Mesmo nos exemplos, na prática, eles continuam repetindo 2pi o tempo todo

• Essa pessoa parece não entender de navegação à vela
  O través, navegar perpendicularmente ao vento, está entre os rumos mais rápidos por causa da sustentação da vela

  • Eu sabia que esse tipo de observação apareceria
    Gosto do HN por causa dessas observações minuciosas que não descartam o texto inteiro por causa de uma analogia tão específica, precisa e, ao mesmo tempo, imprecisa
  • Eu não sabia absolutamente nada sobre navegação à vela, mas graças a este comentário fui procurar os pontos de vela, e o mistério da minha vida sobre “como um veleiro consegue efetivamente avançar contra o vento” se abriu para mim
    Isso é realmente impressionante, e a navegação à vela é uma ciência incrível
  • Também é interessante que, ao ultrapassar a velocidade de casco dessa forma, você passa a surfar sobre a própria onda de proa
  • O través não é necessariamente o ponto de vela mais rápido
    Depende do barco, da eficiência das velas e da eficiência da bolina/quilha, ou seja, da razão sustentação/arrasto; em geral, é bem provável que algum tipo de través largo seja o mais rápido, mas pode não ser exatamente perpendicular à direção do vento real
    Também varia conforme velocidade do vento, altura das ondas, distribuição de peso etc.
  • Fico curioso sobre qual seria a forma desse “círculo” com as premissas corretas

• Estes exemplos todos supõem que a função de distância de fundo é euclidiana
  Se a função de distância bidimensional de fundo for a projeção de um espaço tridimensional curvado, é possível puxar o centro do círculo e tornar π tão grande quanto se queira

  • Aqui não existe o conceito de “função de distância de fundo”
    Tanto o raio quanto a circunferência são medidos pela própria função de distância definida
    Se for uma função de distância que puxa a origem em comparação com a distância euclidiana, esse mapeamento precisa ser contínuo, e o resultado acaba sendo que, nessa função de distância, o raio e a circunferência aumentam juntos
    Na verdade, eu tinha linkado um texto que prova que, para toda função de distância, o valor de π fica sempre entre 3 e 4, inclusive nas extremidades, mas parece que ele não aguentou o tráfego, então deixo um link alternativo: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
  • Não se está supondo uma função de distância de fundo, mas sim que a geometria do espaço é euclidiana
    Na geometria não euclidiana, a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo não é uma constante, mas muda conforme o diâmetro; nesse caso, para começo de conversa, não se pode definir “π”
  • Fugindo um pouco do assunto, quase tudo que entendi sobre π veio graças a modelos em GIF 3D que não vi na escola
    Materiais assim deveriam entrar como parte central da curva de aprendizado muito antes do 3B1B

• Quando era criança, eu gostava de imaginar relações desse tipo
  Imaginava que havia um deus que criou o universo, e que talvez fosse uma criança entediada como eu, criando um universo como trabalho escolar
  Se esse deus tivesse girado os botões de π ou e para valores racionais — supondo, é claro, que no universo de um deus também fosse possível girar os botões para valores irracionais exatos —, nossa vida teria ficado mais fácil ou mais difícil? Talvez mais fácil
  Como seriam os tamanhos aparentes da Terra/Lua/Sol vistos da Terra? Isso é uma excelente pista, mas, sem essa coincidência, talvez tivéssemos aprendido mais astronomia
  As estranhezas quânticas do universo ou os desequilíbrios que exigem matéria literalmente escura talvez sejam, na verdade, bugs no trabalho de uma criança feito às pressas, e por isso não façam sentido desde o início
  Mas o que mais me fez pensar por muito tempo foram os números irracionais

• Se eu li corretamente o fluxo do HN, a introdução à teoria da medida de Terence Tao não pode ficar de fora
  https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
  Mas, falando sério, quem lê ou folheia um livro gratuito de 260 páginas sobre teoria da medida?
  https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

  • As notas de aula do Tao não são o tipo de coisa que se simplesmente lê ou folheia
    Eu as usei para estudar teoria da medida por conta própria, tentando pular pré-requisitos na universidade, e foi realmente difícil
    Há exercícios mais ou menos a cada duas páginas, e, se você não dedicar tempo a resolvê-los, acho que não vai aprender muita coisa
    Além disso, esses exercícios são difíceis
  • Não sei por que é tão difícil acreditar que alguém leia um livro de 260 páginas
    As pessoas leem livros de 260 páginas o tempo todo
    Eu não vou ler este livro porque não é minha área de interesse, mas estou ocupado lendo livros de mais de 100 páginas sobre outros temas

• Há um espaço interessante feito com números p-ádicos e, ao definir nele uma distância simples, o círculo passa a ter propriedades estranhas
  Por exemplo, o diâmetro, isto é, a distância entre as bordas mais distantes, e o raio, isto é, a distância da borda até o centro, ficam iguais
  Coisas curiosas também acontecem com a área e a circunferência do disco, e um disco aberto também é fechado ao mesmo tempo
  O equivalente de π nesse contexto é completamente bizarro
  Infelizmente não lembro os detalhes. Foi um exercício de uma aula de matemática por volta de 2000
  https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

• A analogia do barco parece especialmente ruim
  Ela compara implicitamente um veleiro em um dia com vento com um veleiro em um dia sem vento, mas, sem vento, nem haveria um círculo para começar
  Não sou especialista em barcos, mas, se o vento estiver a X nós, o barco pode ir a até X nós na direção do vento e, ao contrário do que o texto afirma, também pode ir a várias vezes X na direção de través
  Isso até produziria uma elipse parecida com a figura, mas a orientação seria a oposta
  Além disso, um barco também consegue avançar “contra” o vento fazendo bordos e jibes