Constante da lemniscata (ϖ): a gêmea sombria de π

 (mathstodon.xyz)
1 pontos por GN⁺ 2024-12-25 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • ϖ (varpi) é uma constante ligada à lemniscata em forma de ∞ e às funções trigonométricas modificadas sl e cl, assim como π se conecta ao círculo e às funções trigonométricas
  • A lemniscata é um caso especial da oval de Cassini, em que o produto das distâncias até dois pontos é constante, e é representada em coordenadas polares por r² = cos2θ
  • Assim como a circunferência do círculo unitário é 2π, o perímetro dessa lemniscata é 2ϖ, com ϖ ≈ 2.62205755..., e já foi calculado com mais de 1 trilhão de casas decimais
  • sl e cl são funções elípticas lemniscáticas correspondentes a sin e cos, e têm identidades modificadas como sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ também se conecta à curva elíptica gaussiana e à média aritmético-geométrica; a razão AGM(1, √2) = π/ϖ é chamada de constante de Gauss

Uma constante ϖ parecida com π

  • ϖ é um número que, como uma “evil twin” de π, tem muitas propriedades e fórmulas semelhantes às de π
  • Assim como π se conecta ao círculo e às funções trigonométricas sin e cos, ϖ se conecta à lemniscata, uma curva em forma de ∞, e às funções sl e cl
  • ϖ é chamada de constante da lemniscata
  • O símbolo Unicode ϖ é a forma cursiva da letra grega pi, também chamada de varpi ou pomega

Fórmulas integrais e produtos semelhantes

  • π e ϖ podem ser comparadas também por integrais de forma parecida
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • Ambas as constantes também estão ligadas a fórmulas de produto com raízes quadradas aninhadas
    • A fórmula do lado de π representa 2/π
    • A fórmula do lado de ϖ mantém uma estrutura semelhante, mas alguns termos mudam para uma forma de divisão

Lemniscata e perímetro

  • A família de curvas em que o produto das distâncias até dois pontos é constante é a oval de Cassini
  • Entre elas, a curva especial que assume a forma de ∞ é a lemniscata, ligada diretamente a ϖ
  • A equação polar dessa lemniscata é:
    • r² = cos2θ
  • Assim como a circunferência do círculo unitário é 2π, o perímetro dessa curva é 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • Esse número já foi calculado com mais de 1 trilhão de casas decimais

Funções sl, cl e trigonometria modificada

  • Assim como é possível definir sin e cos no círculo, na lemniscata é possível definir funções chamadas sl e cl
  • Muitas identidades trigonométricas comuns têm versões modificadas correspondentes para sl e cl
  • As correspondências representativas são:
    • Funções trigonométricas comuns: sin²θ + cos²θ = 1
    • Funções da lemniscata: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • Os gráficos de sl e cl podem ser vistos em Lemniscate elliptic functions

Curvas elípticas e a constante de Gauss

  • ϖ e suas funções trigonométricas modificadas se conectam à curva elíptica gaussiana
  • Ao dividir o plano complexo em uma malha quadrada, obtém-se essa curva elíptica
    • Uma malha arbitrária no plano complexo gera uma curva elíptica e funções elípticas
    • Como o quadrado tem mais simetria do que outros paralelogramos, este caso se torna um exemplo especialmente bom
  • Gauss descobriu que essa curva elíptica está ligada à média aritmético-geométrica
  • A média aritmético-geométrica de 1 e √2 é π/ϖ, e esse número é chamado de constante de Gauss
  • Há uma explicação relacionada em Lemniscate constant
  • Também existe uma sequência mais generalizada ϖₙ
    • π é ϖ₂
    • ϖ é ϖ₄
    • ϖₙ parece estar relacionado a certas funções hiperelípticas simétricas
    • Um texto relacionado está em June 2022 diary entry

Leituras relacionadas

1 comentários

 
GN⁺ 2024-12-25
Comentários do Hacker News

  • Graças a esta discussão, encontrei um novo mapa favorito: projeção quincuncial de Peirce
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • Mais projeções estão no simpático PDF “An Album of Map Projections”, e essa projeção aparece na página 190
      Para um exemplo mais festivo, veja a projeção estelar de Berghaus na página 156
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • Isso parece bastante com o diagrama de Penrose maximamente estendido
    • Acho que já vi a mesma projeção usada em um mod de Quake 3 para ampliar dramaticamente o campo de visão

  • Também dá para usar um amuleto de trevo de quatro folhas da sorte para bloquear isso. É o gráfico polar r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    Seu perímetro também pode ser definido pela constante 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • A frase “essa curva em forma de ∞ é chamada de 'leminscate', e ϖ é chamada de 'lemniscate constant'. Vou mostrar a leminiscate no próximo texto” me confundiu, então fui conferir, e a grafia correta é mesmo lemniscate

  • π vem do círculo, definido pela distância a um ponto, e ϖ vem da lemniscata de Bernoulli, definida pela distância a dois pontos
    Então será que existe uma constante parecida que venha de uma figura definida pela distância a três pontos?

    • Existe. π é o perímetro do círculo, e ϖ é o perímetro da lemniscata. Com três pontos, surgem três formas de gota, e dá para calcular seu perímetro
      Vamos chamar isso de trilemniscata por enquanto ;)
      Aqui há um gráfico 3D. Se você olhar de cima, a partir de +Z, verá a trilemniscata na interseção do volume com o plano XY. Subtraí 1 do produto para visualizar a interseção com o plano, e também dá para desligar a versão de 3 pontos e ligar a de 2 pontos para comparar
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      Curiosamente, para 2 e 3 pontos, a área interna da lemniscata e da trilemniscata é a mesma. Isso também vale para mais pontos, desde que eles estejam distribuídos uniformemente sobre um círculo. Claro, o perímetro tende ao infinito à medida que se aumenta o número de pontos
    • A ideia de distância a três pontos fica complicada, envolvendo funções de distância e até teoria da medida
      Dois pontos sempre têm um caminho mínimo entre eles, então a constante está ligada a esse fato, mas a partir de três pontos é preciso lidar com todo o conjunto de formas triangulares possíveis

  • Sobre a parte “não sou relativista cultural a ponto de acreditar que exista uma civilização que considere a forma ∞ mais importante que a forma ◯”, esses seres talvez não sejam “lineares” como nós, mas sim seres logarítmicos
    A lemniscata se baseia na média geométrica, que na prática é uma média multiplicativa, ou uma média no espaço logarítmico. Em contraste com a média aditiva do espaço linear
    Se nós somos seres lineares, bons em soma intuitiva mas ruins em multiplicação intuitiva, pode haver seres que vivam em espaço logarítmico e cujo pensamento seja baseado em multiplicação. Para eles, o círculo seria a lemniscata

    • Os humanos na verdade tendem a pensar intuitivamente em escala logarítmica. Pessoas que não receberam educação aritmética inicial ao estilo ocidental tendem a pensar mais em proporções do que em diferenças, e há teorias de que isso é mais adaptativo do ponto de vista evolutivo
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • Os humanos têm várias respostas logarítmicas perceptivas, como o brilho da luz, o volume do som, oitavas musicais e altura relativa

  • Como o professor observou, a razão entre π e seu gêmeo maligno é cerca de 1,198, que é a média aritmético-geométrica de sqrt(2) e 1
    O lado geométrico envolve raiz quadrada, e raiz quadrada é cara. Então pensei que, se a média aritmética converge para a média geométrica, então pela desigualdade entre as médias aritmética, geométrica e harmônica ela também deveria convergir para a média harmônica, e a média harmônica não exigiria a cara raiz quadrada
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    A convergência aritmético-geométrica é quase imediata, bastam 2 etapas, mas é bem curioso que, para obter com a média harmônica uma convergência útil para a constante de Gauss, sejam necessárias umas 15 etapas. Dá para eliminar operadores caros como raiz quadrada, mas em troca o custo vem no número de iterações

    • O valor calculado de c depende do cálculo do valor de b, então isso não é feito por uma recorrência que evita raiz quadrada
      É apenas o cálculo da mesma sequência da média aritmético-geométrica, seguido de uma certa média harmônica ponderada sobre essa sequência; como a sequência original converge, isso também converge
      A propósito, a média aritmético-harmônica pretendida é simplesmente a média geométrica. Não a média aritmético-geométrica, mas a média geométrica pura: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • Outras constantes notáveis e onde aparecem: a constante de Euler–Mascheroni em integrais e somas envolvendo a série harmônica e a função gama, a constante de Catalan em certas séries trigonométricas e funções de Green em reticulados, a constante de Feigenbaum no caos do mapa logístico e de sistemas dinâmicos, a constante de Khinchin nos quocientes parciais de frações contínuas simples, a constante de Glaisher–Kinkelin em expansões assintóticas da função G de Barnes, limites combinatórios e certos produtos, a constante de Ramanujan na multiplicação complexa de curvas elípticas, e a constante ômega em Ωe^Ω=1, na função Lambert W e em x^x^x^...=2

    • Não entendo o que significa x^x^x^... = 2. A solução não seria sqrt(2)?
    • Acho que seria preciso explicar como a constante de Ramanujan se relaciona com operações em curvas elípticas

  • Está claro que estes não parecem gêmeos. No máximo dá para dizer que π e ϖ são dois entre infinitos irmãos ϖₙ

  • Por que só 2? Por que não 3 pontos? Dá para encontrar figuras interessantes em curvas onde o produto das distâncias a N pontos é constante?
    E em dimensões mais altas, com um ponto temos uma esfera, mas com dois pontos que forma surgiria? Seria algo mais próximo de uma gota dupla em forma de ampulheta?

    • Há uma generalização. Antes de o Twitter virar um bar nazista, apareceu lá um desafio para encontrar uma série de números como pi, cada um com seu próprio conjunto de fórmulas, e @duetosymmetry aceitou o desafio e criou os ϖₙ
    • Sobre 3 pontos, 1 ponto e 2 pontos são casos especiais. Nesses casos, excetuando translação e escala uniforme, há apenas uma configuração possível
      Mas a partir de 3 pontos há tantas configurações quanto triângulos semelhantes. Você pode até obter um número para cada classe de semelhança de triângulos, mas não deve esperar a mesma constante em todas as classes de semelhança

  • Na frase “essa curva em forma de ∞ é chamada de 'leminscate', e ϖ é chamada de 'lemniscate constant'. Vou mostrar a leminiscate no próximo texto”, parece que duas das três grafias estão erradas