Constante da lemniscata (ϖ): o gêmeo sombrio (Evil Twin) de π

• Assim como π (pi), ϖ também é uma constante matemática importante.
  • π está associado a círculos e funções trigonométricas (sin, cos).
  • ϖ está associado à lemniscata em forma de infinito (lemniscate) e a novas funções trigonométricas (sl, cl).
• A lemniscata é um caso especial da curva de Cassini (óvalo de Cassini), em que o produto da distância a dois pontos é constante, e possui forma de ∞.
• ϖ é chamada de "constante da lemniscata" e corresponde aproximadamente a 2.62205755.

Lemniscata e ϖ

Definição da lemniscata

• Em coordenadas polares, a lemniscata é expressa por uma fórmula com "o quadrado do raio é o cosseno do ângulo dobrado".
• Assim como a circunferência do círculo é dada por (2π), a circunferência da lemniscata é dada por (2ϖ).

Funções trigonométricas de ϖ: sl e cl

• Assim como no círculo existem as funções trigonométricas (sin, cos), na lemniscata existem as funções sl e cl.
• Por exemplo, a fórmula clássica da trigonometria "o seno ao quadrado mais o cosseno ao quadrado é igual a 1" transforma-se de forma similar na lemniscata:
  • sl ao quadrado mais cl ao quadrado mais o produto de sl ao quadrado e cl ao quadrado é igual a 1.

Conexão entre π e ϖ

• π e ϖ compartilham fórmulas e padrões semelhantes, e π é um dos constantes da família de ϖ.
• π é expresso como ϖ₂, e ϖ como ϖ₄, e existe outra constante ϖ₃ entre π e ϖ.
• Essa família de constantes representa uma estrutura matemática inerente e está relacionada a curvas e funções mais complexas.

Gauss e ϖ

• Gauss descobriu que a constante da lemniscata está ligada à média aritmético-geométrica (Arithmetic-Geometric Mean).
  • A média aritmético-geométrica é um processo de cálculo iterativo da média aritmética e da média geométrica de dois valores até convergir para um valor.
  • Por exemplo, a média aritmético-geométrica de 1 e raiz de 2 é a proporção entre π e ϖ, conhecida como "constante de Gauss".

Constantes de alta ordem ϖₙ

• ϖₙ está ligado às funções e curvas hiperelípticas.
  • A curva hiperalíptica é definida como uma cobertura de duas folhas da esfera de Riemann, com pontos de ramificação nos pontos de simetria n-ésimos (raízes n-ésimas da unidade).
  • Essas constantes refletem a simetria e as propriedades únicas das curvas de ordem superior.

Fontes e links

• Constante da lemniscata (ϖ) - Wikipedia
• Funções trigonométricas da lemniscata (sl, cl)

[GN⁺]

Comentário do Hacker News

• Achei a grafia da palavra "lemniscate" confusa e fui conferir. Graças a essa discussão, descobri um novo mapa favorito.
  • É uma projeção chamada Peirce Quincuncial.
• É possível usar um amuleto de trevo da sorte para proteção.
  • Pode ser representado por um gráfico polar r=cos(2θ)
  • O perímetro pode ser definido como a constante 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221
• π vem do círculo e é definido pela distância de um ponto.
• ϖ vem da lemniscata de Bernoulli e é definido pela distância entre dois pontos.
• Fiquei curioso se existe uma constante semelhante originada de uma forma definida por três pontos.
• A razão entre π e seu "evil twin" é de aproximadamente 1,198, que é a média aritmético-geométrica de sqrt(2) e 1.
  • Se AM converge para GM, então pela desigualdade AM-GM-HM ela também deve convergir para HM.
  • HM não precisa de raiz quadrada cara.
• A convergência de AM para GM é quase imediata.
  • Para HM convergir para a constante de Gauss, são necessárias cerca de 15 iterações.
  • Evita operadores caros, mas exige muitas iterações.
• Outras constantes notáveis:
  • Constante de Euler–Mascheroni: séries harmônicas, integrais e somas relacionadas à função gama.
  • Constante de Catalan: séries trigonométricas específicas, função de Green da rede.
  • Constantes de Feigenbaum: mapa logístico, caos em sistemas dinâmicos.
  • Constante de Khinchin: quocientes parciais de frações contínuas simples.
  • Constante de Glaisher–Kinkelin: expansão assintótica da função G de Barnes, limites combinatórios e certas expansões em produto.
  • Constante de Ramanujan: multiplicação complexa de curvas elípticas.
  • Constante Ômega: Ω * e^Ω = 1, função Lambert W, x^x^x^... = 2
• Não sou relativista cultural, mas não acho que exista uma civilização que considere a forma ∞ mais importante que o círculo ◯.
  • Podem existir seres que vivem em espaço logarítmico.
  • O círculo deles pode ser uma lemniscata.
• π e ϖ são apenas dois entre irmãos infinitos.
• Por que só dois pontos? Por que não três?
  • Será que podemos encontrar curvas interessantes com o produto de distâncias a N pontos constante?
  • Em dimensões maiores, para um único ponto existe a esfera.
  • E quanto à forma para dois pontos? Uma dupla gota em formato de ampulheta?
• Que uma forma assim se torne mais importante para uma civilização do que o círculo pode ser um cenário legal de ficção científica