Bela coincidência ou conexão prevista: por que π² ≈ g

Coincidência misteriosa

• A pergunta sobre por que π² é quase igual a g
• π é um número adimensional e g é uma grandeza física
• Os dois valores não são exatamente iguais

Um problema nada simples

• O valor de g é expresso na unidade m/s²
• Se for expresso em outras unidades, essa coincidência desaparece
• É preciso entender as definições de metro e segundo

A definição do metro

• O metro é a distância que a luz percorre no vácuo durante 1/299.792.458 de segundo
• Essa definição não inclui π

A história dos padrões

• No passado, o comprimento era medido com base em partes do corpo humano
• Com a necessidade de padronização, foram propostas definições usando constantes naturais

O sonho da padronização e a gravidade

• No século XVII, Christiaan Huygens propôs definir o metro usando o comprimento de um pêndulo
• Surgiu o problema de que o comprimento do pêndulo varia conforme a posição na Terra

A equação surpreendente

• π aparece na fórmula para calcular o período de um pêndulo
• Ao substituir os parâmetros do pêndulo de Huygens, obtém-se π² = g

A Revolução Francesa e a mudança do metro

• Em 1791, a Academia Francesa de Ciências mudou a definição do metro
• Ele passou a ser definido como um quarenta milionésimo do meridiano de Paris

O verdadeiro metro

• O meridiano de Paris foi medido de fato para definir o metro
• Como o achatamento da Terra não foi considerado, surgiu um pequeno erro

Conclusão

• A diferença entre π² e g é de cerca de 0,06
• Se a definição do metro não tivesse sido alterada, a elegante equação π² = g teria se mantido

# Resumo do GN⁺

• Este texto explora a relação entre π² e g, explicando o contexto histórico e os princípios científicos
• Ele trata do erro surgido com as várias mudanças na definição do metro
• Ajuda a entender uma interessante conexão entre matemática e física
• Como tema semelhante, recomenda-se 'A história das constantes naturais e das unidades'

[GN⁺]

Comentários do Hacker News

• Interessante, mas quero questionar esta parte: “Se expresso em outras unidades, a mágica desaparece imediatamente. Portanto, não é coincidência”
  Normalmente, isso se aproxima mais de um forte indício de coincidência. Se você está procurando uma heurística para saber se algo não é coincidência, o critério correto é “continua valendo ao trocar as unidades?”
  Só que este caso parece ser um caso peculiar em que essa heurística falha

  • Não necessariamente. Quando aprendi astronomia, ensinaram que, se fosse observada uma periodicidade parecida com 1 ano ou 1 dia, em geral não era coincidência, mas sim que a translação ou a rotação da Terra não tinha sido corrigida adequadamente
  • Não é verdade. A expressão inteira acaba se reduzindo à definição do metro, mais precisamente a uma das definições antigas
  • Fico surpreso que tanta gente discorde dessa objeção. Eu pensei exatamente a mesma coisa
    Se π² fosse exatamente igual a g e, em outras unidades, a “mágica” desaparecesse, aí daria para dizer “portanto, não é coincidência” e concluir que tem a ver com a própria unidade
    Mas π² é apenas aproximadamente igual a g e, em outras unidades, a mágica desaparece; então, antes de ler o texto, eu provavelmente teria considerado coincidência
  • Concordo. Independentemente de como a história se desenrole depois, à primeira vista é desconcertante escrever “portanto, não é coincidência” logo depois de mostrar uma coincidência
  • Concordo. Mas, se tirar o “so”, não há contradição. Talvez o autor não tenha usado no sentido de “isto é”, mas como um marcador discursivo relativamente sem significado

• Como físico, faz sentido. π = 3, π² = 10, isso é g
  Não sei por que todo mundo fica surpreso
  Ah, e lembro que 1 ano era π*10e9 segundos

  • Como cientista da computação, também não é surpreendente. No fim, existem só três números: 0, 1 e n
  • Como físico? Quando eu fazia física na escola e resolvia problemas, a resposta sempre vinha com número e unidade. π² é um número puro e pode ser 10, mas g é uma grandeza física, uma aceleração, então nunca pode ser simplesmente 10; precisa ser 10 em alguma unidade
  • Achei que a ligação entre π e g fosse porque uma vaca acelerando no vácuo é esférica
  • π segundos é um nanoséculo. Por isso 1 ano = π*10^7 segundos
  • Como engenheiro mecânico, posso confirmar. e ≈ π ≈ 3

• Outra “coincidência incrível” é que a conversão de milhas para quilômetros envolve a constante 1,609344: kilometers = miles * 1.609344. Vamos chamar esse 1,609344 de constante “km”
  Acontece que km é muito próximo da proporção áurea (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... A diferença é de apenas cerca de 0,5% (100 * (gr/km - 1) = 0,54%)! Nas palavras do autor original, “Se expresso em outras unidades, a mágica desaparece imediatamente. Portanto, não é coincidência...”, hum... espere aí?
  Tem mais uma. π (3.141592654...) é quase igual a 4 / sqrt(gr) (3.144605511...), e vamos chamar este último de “ap”, de “almost pi”. Isso conecta π à proporção áurea, com uma diferença de apenas 0,096% (100 * (pi/ap - 1)). Com certeza deve significar alguma coisa, certo?
  Por fim, a minha favorita: 111111111^2 = 12345678987654321. Isso é... hum... espere...

  • A milha se conecta ao pé, e o pé e a gravidade se conectam à proporção áurea? 6 pés dá uma sensação de 2π?
  • 1 ano é muito próximo de π * 1e7 segundos, com erro menor que 0,5%
  • ln(5) ~ 1.6094379 é muito mais próximo, e a diferença é de cerca de 0,5% de um por cento
  • O melhor é sum(1, 36)

• Se o comprimento do metro tivesse sido definido como o comprimento do pêndulo de segundos, g teria sido exatamente π². Pela equação do pêndulo:
  T = 2π√(L/g)
  Substituindo T = 2 s, L = 1 m:
  2 s = 2π√(1 m / g)
  Resolvendo para g:
  g = π² m/s²
  Isso valeria qualquer que fosse a intensidade da gravidade, mas o comprimento do metro teria mudado de acordo
  [1]. De fato, em 1790 Talleyrand propôs isso. Imagine um mundo em que isso tivesse virado realidade

  • O texto explica que Huygens propôs isso no século XVII e mostra a mesma dedução :)

• Há uma coisa relacionada de que gosto. Por que o número de Avogadro e a constante de Boltzmann parecem recíprocos um do outro, N ~ 1/k? As unidades não batem, então a frase em si não faz sentido, mas no sistema MKS isso é verdade
  É porque, ao multiplicar os dois, obtemos a constante dos gases, que é aproximadamente 1. Ambos são números que levam unidades microscópicas para unidades em escala humana, e se cancelam na constante dos gases, que representa os gases que experimentamos em escala humana

  • Curiosamente, a constante de Avogadro na verdade é igual a 1. Ela é definida como o número de Avogadro multiplicado pelo mol, e o próprio mol é uma quantidade adimensional igual ao inverso do número de Avogadro
  • Mesmo assim, não é coincidência? Nk=8,31 é pressãovolume/temperatura de 1 mol de gás
    A faixa de temperatura é relativamente estreita (100~1000), e, se metro, segundo e quilograma tivessem sido definidos de outra forma, não haveria motivo para P*V não se afastar dessa faixa, ficando em algo como 0,01~0,1

• Seria difícil explicar isso pior do que foi explicado aqui
  Para que tipo de leitor este texto é? Para quem não sabe física, é uma explicação longa demais e confusa. Explicar que uma unidade depende de outra e por que a capacidade de reproduzir o sistema métrico por conta própria é importante seria muito mais importante do que uma longa pré-história do padrão de comprimento
  Também há muitas perguntas sem resposta. Como o segundo foi definido? O tempo não é medido com um pêndulo? Por que a definição astronômica era mais confiável?
  Para quem sabe física, isso poderia ser escrito de forma muito mais curta e clara. Por exemplo: “Uma definição universal do metro precisa de uma constante que apareça na natureza, como a gravidade. Também seria possível medir a distância que um objeto cai durante certo tempo, mas usar um pêndulo é mais fácil. Um pêndulo oscila de forma regular com um período de aproximadamente 2πsqrt(comprimento do fio/gravidade). Se definirmos a gravidade como π², o π é cancelado depois da raiz quadrada e temos T = 2*sqrt(Length). Um pêndulo de 1 metro leva 2 segundos para ir e voltar, e 1 segundo para uma oscilação, então é útil. Os relógios da época eram bastante precisos, e o segundo podia ser reproduzido por observações astronômicas. Assim, era possível pegar um pêndulo, ajustar seu comprimento para que ele oscilasse exatamente uma vez por segundo e, depois, medir qualquer coisa com esse fio ou essa barra. Como isso parecia bom, mudaram a constante gravitacional para que fosse π² (9,87 m/s²). Se você encurta o metro, tudo fica mais comprido. Depois se descobriu que a gravidade varia na superfície da Terra e que é difícil reproduzir um pêndulo matemático perfeito, então a definição foi trocada por uma baseada em astronomia, a partir do tamanho da Terra. Isso também tinha problemas, então guardaram em Paris uma barra física de 1 metro. Há alguns anos, físicos começaram a usar a constante de Planck, a menor distância mensurável.”

  • O metro é definido atualmente (desde 2019) como a distância percorrida pela luz no vácuo durante N períodos de um relógio atômico[1]. Para levar em conta os efeitos da relatividade geral, também é preciso especificar onde na Terra a medição é feita, porque a gravidade afeta a velocidade dos relógios
    Agora, a velocidade da luz não é um valor medido, mas um valor definido. Isso é bem profundo, porque nosso sistema de unidades agora se baseia na validade da teoria da relatividade especial
    1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

• Foi uma ótima leitura, com uma reviravolta interessante vinda da história da definição do metro
  Enquanto lia, pensei em matemáticos como Ramanujan. Pessoas que passavam bastante tempo brincando com números aleatórios e procurando conexões. Neste caso, porém, imagino que o autor já conhecesse a história desde o início
  De todo modo, sinto que uma graduação em matemática mata um pouco essa diversão de explorar relações numéricas. Quando eu era criança, gostava de criar e encontrar conexões como se fossem rabiscos estranhos, mas, ao terminar o curso, passei a querer pensar em conexões entre os elementos básicos mais abstratos que havia aprendido
  Ainda assim, parece que muitos matemáticos bem-sucedidos continuam trabalhando desse jeito: percebem uma conexão estranha, depois preenchem a teoria do porquê, e às vezes isso leva a resultados realmente interessantes

• Relacionado a isso, recomendo The Measure of All Things, de Ken Alder, sobre a origem do sistema métrico e a primeira conferência científica. É uma leitura surpreendentemente envolvente
  https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

• Isto não tem absolutamente nada a ver com o conteúdo, mas com o próprio site
  Quando acesso o site, ele fica completamente quebrado. Investigando, descobri que, se o Stylus (extensão de injeção de CSS) estiver ativado com qualquer regra, mesmo que seja apenas uma regra global, o site fica inutilizável. Como foi feito com um framework React, ele não só fica visualmente estranho; ele realmente quebra
  Abri um ticket e recebi uma resposta rápida do desenvolvedor do Stylus, e parece que este site e todos os sites feitos com caseme.io detectam nós injetados dentro de `` e lançam um erro, quebrando a página
  [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

  • Eu não uso mais o Stylus, mas para mim também quebra. Parece que nenhum CSS é aplicado, e aparecem uma imagem grande do logotipo e texto na fonte padrão. Não sei qual extensão está causando isso, mas provavelmente é o Dark Reader. Ainda assim, dava para ler, então não foi um grande problema

• Duvido muito que a estratégia “se precisassem comprar mais tecido, chamariam a pessoa mais alta da vila e mandariam medir o tecido com o côvado dela” funcionasse com vendedores de tecido de verdade
  Talvez não houvesse pesos e medidas oficiais, mas eles não eram idiotas

  • Vendo a reduflação descarada de hoje em dia, este comentário soa deliciosamente irônico