Por que a energia cinética aumenta com o quadrado da velocidade, e não linearmente? (2011)
(physics.stackexchange.com)- A energia cinética de um corpo não rotacional, $\frac{1}{2}mv^2$, não é apenas uma fórmula para decorar; a questão é de intuição: por que acelerar de $1\to2\ \mathrm{m/s}$ exige mais energia do que de $0\to1\ \mathrm{m/s}$?
- A explicação central envolve invariância galileana e conservação de energia: ao observar a mesma colisão de outro referencial, obtemos $E(2v)=4E(v)$, revelando a dependência com o quadrado da velocidade.
- A quantidade de movimento $p=mv$ cresce linearmente com a velocidade, mas ao parar com a mesma força, um objeto com velocidade 2 vezes maior tem tempo e velocidade média 2 vezes maiores, então a distância de frenagem e o trabalho tornam-se 4 vezes maiores.
- Exemplos com queda e lançamento mostram a relação entre altura, energia potencial e velocidade; uma bola solta de 2 m não fica com velocidade 2 vezes maior que uma bola solta de 1 m.
- $\frac{1}{2}mv^2$ é uma aproximação da mecânica newtoniana para baixas velocidades; na relatividade especial, temos $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$, que só em baixas velocidades dá praticamente o mesmo valor.
O ponto central da pergunta
- Na mecânica clássica, a energia cinética de um corpo não rotacional é dada por $\frac{1}{2}mv^2$.
- O foco da pergunta não é a fórmula em si, mas por que ela cresce com a velocidade de forma quadrática, e não linear, algo que parece contrariar a intuição.
- O exemplo típico é entender por que é preciso mais energia para passar de $1\ \mathrm{m/s}$ para $2\ \mathrm{m/s}$ do que de $0\ \mathrm{m/s}$ para $1\ \mathrm{m/s}$.
A relação quadrática vista pela invariância galileana
- Uma explicação define energia cinética como o calor produzido quando uma bola de argila de massa $m$ atinge uma parede com velocidade $v$.
- Se duas bolas de argila da mesma massa colidirem lado a lado, o calor produzido dobra; portanto, a energia é proporcional à massa.
- $E(m,v)=mE(v)$
- Se duas bolas de argila de mesma massa $m$ colidem frontalmente, cada uma com velocidade $v$, pela simetria ambas param e o calor total é $2mE(v)$.
- No referencial de um trem que se move junto com uma das bolas, o mesmo evento aparece de outra forma.
- A primeira bola está inicialmente em repouso.
- A segunda bola se aproxima com velocidade $2v$.
- Depois da colisão, o sistema unido das duas bolas move-se com velocidade $v$.
- A energia cinética inicial nesse referencial é $mE(2v)$ e, após a colisão, restam calor $2mE(v)$ e a energia cinética do bloco de massa dupla, $2mE(v)$.
- Aplicando conservação de energia, obtemos:
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- Se dobrar a velocidade quadruplica a energia, então a energia cinética é proporcional ao quadrado da velocidade.
A diferença entre quantidade de movimento e energia
- Essa pergunta é especialmente importante para distinguir quantidade de movimento de energia.
- A grandeza cinemática que é proporcional linearmente à velocidade é a quantidade de movimento.
- $p=mv$
- A variação da quantidade de movimento é proporcional ao impulso.
- $F\Delta t=\Delta p$
- Isso se conecta à segunda lei de Newton, $F=ma$.
- Suponha que os objetos A e B sejam parados pela mesma força $F$:
- A tem velocidade $v$
- B tem velocidade $2v$
- B tem o dobro da quantidade de movimento de A
- Com a mesma força de desaceleração, B leva o dobro do tempo para parar.
- Como B também tem velocidade inicial e velocidade média 2 vezes maiores, a distância de frenagem fica $2 \times 2=4$ vezes maior.
- Como trabalho é força vezes distância, $W=Fs$, com a mesma força uma distância de frenagem 4 vezes maior implica 4 vezes mais trabalho.
- A energia cinética é justamente a grandeza que representa esse trabalho; por isso, com velocidade 2 vezes maior a energia cinética fica 4 vezes maior.
Intuição via queda e gravidade
- Em vez de perguntar “por que a energia cinética não cresce linearmente com a velocidade, mas com o quadrado?”, podemos perguntar “por que a velocidade cresce como a raiz quadrada da energia cinética?”.
- Mesmo que uma bola solta de 1 m atinja o chão com velocidade $v$, uma bola solta de 2 m não chega ao chão com velocidade $2v$.
- No segundo trecho de 1 m, a bola já está em movimento, então ela percorre esse trecho em menos tempo e também tem menos tempo adicional para ganhar velocidade.
- Perto da superfície da Terra, a energia potencial gravitacional é proporcional à altura e, na queda, a altura de queda é proporcional ao quadrado da velocidade.
- Para a energia se conservar, a energia cinética também precisa ser proporcional a $v^2$.
- O caso de lançar para cima leva à mesma conclusão.
- Com a mesma desaceleração gravitacional, se a velocidade inicial dobra, o tempo até parar também dobra.
- A velocidade média também dobra.
- A altura alcançada quadruplica.
- Ligando isso à energia potencial $mgh$, a energia cinética inicial iguala a energia potencial no ponto em que o corpo para, levando à forma $\frac{1}{2}mv^2$.
Teorema trabalho-energia e grandezas conservadas
- Matematicamente, a forma da energia cinética vem da segunda lei de Newton e da definição de trabalho.
- Segunda lei de Newton:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- Definição de trabalho:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- Integrando ao longo da trajetória, temos:
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- Portanto, a definição de trabalho se conecta diretamente à dependência quadrática da velocidade.
- Para forças conservativas, $\int d\vec s\cdot\vec F$ depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho, e pode ser expresso por uma função potencial.
- Na ausência de forças não conservativas, como atrito, a soma de energia cinética e potencial permanece constante como uma grandeza conservada.
Por que “é a definição” não basta
- Na mecânica clássica, a energia cinética é definida como $\frac{1}{2}mv^2$ e é útil porque, quando as leis físicas são invariantes no tempo, a soma dessa quantidade com termos dependentes da posição se conserva.
- Se a aceleração for função da posição e não variar com o tempo, como nas leis da gravidade, de Coulomb e de Hooke, conhecer a velocidade em uma posição já permite calcular a velocidade em outra por conservação de energia.
- Dizer apenas “é assim porque foi definido assim” não responde por que essa definição é útil.
- Várias explicações entendem essa utilidade como algo ligado a grandezas conservadas, simetria e invariância galileana.
Perspectiva lagrangiana e simetria
- Usando a homogeneidade do espaço, a homogeneidade do tempo e a isotropia do espaço, o lagrangiano de uma partícula livre não deve depender explicitamente da posição nem do tempo.
- Se o espaço é isotrópico, o lagrangiano deve depender não da direção do vetor velocidade, mas do módulo da velocidade ou de suas potências.
- Supondo o lagrangiano da partícula livre na forma $\mathcal{L}=\alpha v^n$ e calculando a quantidade de movimento como $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$, obtemos $p=\alpha nv^{n-1}$.
- Impor, no limite não relativístico, que a quantidade de movimento seja linear na velocidade leva a $n=2$, de modo que a energia cinética fica proporcional a $v^2$.
- A afirmação de que a quantidade de movimento é linear na velocidade vale apenas no limite não relativístico.
Limite relativístico e condição escalar
- A energia cinética não é exatamente proporcional a $v^2$ em todos os casos; na relatividade especial usa-se:
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- Em baixas velocidades, essa expressão é praticamente igual a $\frac{1}{2}mv^2$.
- O fato de a energia cinética ser um escalar, enquanto velocidade é um vetor, também ajuda a excluir dependência linear.
- Se a energia cinética dependesse linearmente da velocidade, trocar $\mathbf{v}$ por $-\mathbf{v}$ mudaria seu valor, fazendo-a depender da direção.
- O termo $v^2$ da mecânica newtoniana e os termos corretivos relativísticos $v^4$, $v^6$ etc. satisfazem a condição de que a energia cinética é escalar e invariável sob $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$.
Experimentos mentais e exemplos do cotidiano
- Um experimento mental com uma mola e duas caixas usa a situação em que a energia potencial da mola comprimida se transforma em energia cinética de dois corpos.
- Em um referencial, a mola faz uma caixa parar e acelera a outra até $2v$; em outro referencial, as duas caixas se movem em sentidos opostos com velocidades $v$.
- Se a energia potencial é invariante sob transformações de Galileu e a energia cinética é aditiva em relação à massa, então segue que $KE(m,2v)=4KE(m,v)$.
- O exemplo de colisão de carro explica que, na primeira metade do tempo de desaceleração, o carro percorre 3/4 da distância total de parada, mostrando que o dano se relaciona mais com a distância percorrida do que com o tempo.
- Um experimento mental em que se usa repetidamente uma mola para aumentar a velocidade de uma bola para $0,1,2,3,4$ mostra a energia cinética crescendo como $0,1,4,9,16$.
1 comentários
Opiniões do Hacker News
Fica mais fácil de entender vendo como conversão de energia potencial
Uma bola no alto de uma escada de 20 pés tem o dobro da energia potencial de uma bola no alto de uma escada de 10 pés e, ao tocar o chão, essa energia vira energia cinética na mesma proporção
Mas a velocidade de impacto de uma bola que caiu de uma altura 2 vezes maior fica bem longe de ser 2 vezes maior. A gravidade é uma força que, na queda livre, aplica uma aceleração constante independentemente da velocidade, e o aumento de velocidade acontece “por tempo”, não “por distância”
Digamos que, ao cair de 10 pés, depois de 1 segundo ela tenha chegado a energia cinética 10 e velocidade 100. A bola que caiu de 20 pés, no momento em que passa pelos primeiros 10 pés, também está exatamente com energia cinética 10 e velocidade 100
O ponto principal é o trecho restante de 10 pés. Como ela já entra nele a velocidade 100, atravessa esse trecho em menos tempo do que os primeiros 10 pés, e a velocidade que a gravidade acrescenta também é menor. Assim dá para perceber que a relação não é linear
Fazendo as contas ou um experimento real, para uma bola chegar ao chão com 2 vezes mais velocidade do que outra, ela precisa cair de uma altura 4 vezes maior, e sua energia cinética também será 4 vezes maior
A própria pergunta parte da intuição de que a energia cinética deveria crescer linearmente com a velocidade, mas, na prática, essa intuição está errada
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
Mas, no fim, isso também é uma questão de quais unidades e grandezas decidimos medir. Por exemplo, se medirmos “Squenergy” em Sqoules e definirmos 1Sq² = 1J, então a squenergy de repente passa a aumentar linearmente com a velocidade
Claro que aí a Squenergy potencial vira sqrt(MgH), não dá mais para somar, e outras partes ficam complicadas
Soltar algo 10 vezes de 1 pé não tem tanta energia nem é tão destrutivo quanto soltar uma vez de 10 pés
Para mim, a explicação mais intuitiva é esta: força = variação do momento ao longo do tempo; energia = força × distância
Se você olhar quanta energia pode dissipar com uma pequena variação de momento ao longo de uma pequena distância dx em uma velocidade v, obtém dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv
Para aplicar uma força ao longo de certa distância, é preciso mudar a velocidade do objeto em dv, mas a distância percorrida nesse intervalo também depende da velocidade atual v. Por isso a energia total não é simplesmente proporcional à velocidade
Somando todos os pequenos dE da mudança de velocidade desde a velocidade inicial até 0, chega-se à fórmula da energia cinética
Só que essa intuição, no fim, parte de “força = variação do momento ao longo do tempo”. As definições de “força”, “momento” e “energia” são matematicamente claras e correspondem a uma realidade compartilhada, mas podem parecer irritantemente circulares
“2 vezes mais rápido” soa naturalmente como ter 2 vezes mais momento, mas a energia cinética é momento × velocidade, então é mais abstrata
Há uma pequena anedota
Um carro azul está a 70 de velocidade, e um carro vermelho do mesmo modelo está alcançando-o a 100. Quando os dois ficam lado a lado, aparece depois da curva um obstáculo bloqueando as duas faixas, e os dois carros freiam com a mesma intensidade e desaceleração
O carro azul para bem em frente ao obstáculo. O carro vermelho vinha mais rápido, então, mesmo freando na mesma proporção, não consegue parar. A que velocidade ele bate no obstáculo?
Pelo critério de ½mv², o carro azul perde aproximadamente 70² = 4900 unidades de energia. O carro vermelho tinha inicialmente 100² = 10000 unidades de energia cinética e, se perder os mesmos 4900, restam 5100. Portanto, a velocidade de colisão é √5100 ≈ 71
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
É por isso que um carro de F1 consegue puxar 4G na frenagem. Carros como o último monstrinho customizado do Ken Block ou o Valkyre usam ainda mais frenagem aerodinâmica ativa
Para esse tipo de experimento básico com carros virtuais, BeamNG.drive é um simulador de física bastante bom. Dá para abrir as ferramentas integradas e rodar seus próprios testes de frenagem
Os dois carros podem frear com a mesma desaceleração, isto é, pelo critério de aceleração, ou com a mesma intensidade, isto é, pelo critério da taxa de conversão de energia cinética em calor; mas, como as velocidades são diferentes, esses dois valores não podem ser iguais ao mesmo tempo
O cálculo acima usa o critério de intensidade, não de força nem de aceleração. A diferença é exagerada por causa do quadrado na fórmula da energia cinética. Calculando pelo critério de força, surge uma diferença linear mais suave
A expressão “frearam na mesma proporção” também é ardilosa. Em geral, “proporção” significa força ou aceleração, mas aqui o cálculo está usando a taxa de conversão de energia cinética em calor
Dizer que a taxa de conversão de energia é a mesma significa que o carro mais rápido recebe uma força de frenagem real muito menor. É a mesma matemática de descer uma ladeira em baixa velocidade, em que a mesma força ainda é aceitável, mas, se você aplicar a mesma força em alta velocidade, os freios cozinham
Essencialmente, é um cálculo de caminhão descendo uma ladeira — em que o limite não está no atrito, mas em quanto calor os freios conseguem dissipar — reformulado como um problema de parar um carro para virar uma pergunta pegadinha
Ron Maimon escreveu um argumento que depende puramente de simetria. É uma forma de contornar muitas das explicações padrão desta thread e, pelo que entendi, parece uma versão simplificada do teorema de Noether
Como observação lateral, pelo que sei, a conta de Ron Maimon foi suspensa depois que ele questionou o caráter de uma pessoa que estava pedindo votos numa eleição de moderadores. A posição dele era que, se alguém está concorrendo a um cargo eletivo, seu caráter pode ser discutido
Os sites da família Stack Overflow tinham uma política rígida de criticar a pergunta, mas não a pessoa, e os moderadores se basearam nisso para bani-lo permanentemente
Lembro de ter visto textos do Ron naquela época dizendo que os sites da SO tinham sido corrompidos pelas políticas e que logo deixariam de oferecer valor. Foi no fim dos anos 2000 ou começo dos 2010; olhando para trás, parece que ele teve bastante visão de futuro
Hoje ainda se somam a isso decisões de gestão cada vez mais estranhas para extrair o máximo de dinheiro antes que a IA torne o SE completamente inútil, mas a agressividade e a hostilidade já eram difíceis de suportar desde o início
Dezenas de vezes entrei no StackOverflow só para olhar algo por 10 segundos e sair, mas acabei ficando alguns minutos encarando os comentários, incrédulo com a forma como as pessoas se tratavam
Mesmo lendo algumas respostas, acho que ainda não vi uma resposta intuitiva. Por que é preciso muito mais energia para ir de 1 para 2 do que para ir de 0 para 1?
Quando você está parado, pode usar o ambiente ao redor para ganhar velocidade, como empurrar uma parede
Quando já está em movimento, o ambiente ao redor está, do seu ponto de vista, se movendo na direção oposta, então cada unidade extra de velocidade exige mais esforço
Ajuda mudar a premissa
Um objeto submetido a uma força constante percorre uma distância que cresce quadraticamente com o tempo
Energia é força × distância. É a mesma intuição de que a energia necessária para levantar um objeto é proporcional à altura a que ele foi levantado
Portanto, aplicar uma força constante produz uma aceleração constante e, como resultado, a distância cresce quadraticamente
Se você aceitar que energia é força × distância, então, nessa situação, a energia necessária para mover o objeto também cresce quadraticamente
Ou seja, a quantidade de energia que uma força F transmite quando aplicada por 1 segundo depende de quão rápido o objeto já está se movendo. Aplicar força a um objeto que já está rápido exige muito mais energia. A intuição é que primeiro é preciso gastar energia para alcançar a velocidade do objeto em movimento, e só então você pode começar a aplicar a força
Dá para entender por uma hipótese contrafactual
Suponha que a energia cinética dependesse linearmente da velocidade |v|, com E = m|v|. Como seria o universo?
O lagrangiano tradicional é L = 1/2 mv^2 - V(x). Com essa energia cinética, a fórmula seria outra: L = m|v|ln|v|-V(x)
Ao derivar as equações de movimento correspondentes, obtemos p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F
Dá para ver algumas coisas nessas fórmulas. Primeiro, a relatividade galileana se quebra: não há invariância por boosts. Teria de existir necessariamente um referencial privilegiado em que o universo está em repouso, isto é, um éter, e toda a dinâmica teria de ser entendida em relação a esse referencial
Segundo, a primeira lei de Newton passa a ter uma interpretação patológica em relação a esse referencial. Como ma = |v|F e |v| = 0, aplicar qualquer força F ainda dá a = 0. Um objeto em repouso em relação ao éter não poderia se mover sob nenhuma força
Um objeto em movimento em relação ao éter continuaria se movendo na ausência de forças externas, e a terceira lei de Newton ainda seria verdadeira, mas um universo assim basicamente não faria sentido
Pelo princípio antrópico, poderíamos dizer que um universo desses tem uma dinâmica patológica demais para permitir vida e, portanto, não poderia ser observado por nós
Se o argumento do StackExchange é “dada a relatividade galileana, surge uma lei de escala quadrática”, este argumento é a contrapositiva: “sem a lei de escala quadrática, também não há relatividade”
O ponto do contrafactual é parecido com o argumento de “por quê” de Richard Feynman https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
Não há nenhum motivo fundamental para esse tipo de dinâmica não poder existir. Só podemos reduzir a explicação a intuições mais fundamentais sobre o mesmo universo em que vivemos, por exemplo indo da lei de escala da energia cinética para a relatividade galileana. Sem uma prova matemática de que uma alternativa é contraditória até em princípio, é totalmente válido imaginar um universo alternativo com outra dinâmica. Apenas não é o nosso universo
Resposta espertinha: velocidade é um vetor e pode ser negativa, mas energia cinética é um escalar e precisa ser positiva. Então é preciso elevar v ao quadrado para eliminar o sinal de menos
E por que não usar valor absoluto? Porque a natureza odeia essas coisas. Provavelmente porque a derivada não é definida em 0. Por isso vira quadrado
É a diferença entre uma tigela parabólica lisa e a ponta artificialmente aguda de um cone. Isso também aparece em coisas como desvio-padrão
Como aparte, fico me perguntando se, em redes neurais de valores complexos, usar sum(inputs)*conj(sum(inputs)) como função de ativação e normalizar o limiar por sqrt(num_inputs) não poderia ser o mais universal. Entradas incoerentes têm média de valor absoluto sqrt(N), enquanto entradas coerentes viram N, como um laser. A amplitude ao quadrado vira N contra N^2 entre um grupo não correlacionado e um grupo correlacionado
E a forma de lidar com a singularidade em 0 é muito importante para a estrutura dessas interações
Se você dobra a velocidade, percorre o dobro da distância no mesmo tempo. Não é só que você está 2 vezes mais rápido; essas duas coisas afetam o trabalho
Physics for Mathematicians, de Michael Spivak, traz muitos argumentos, como a resposta principal daqui, explicando por que a matemática da mecânica clássica tem essa forma