Novo tetraedro em forma de pirâmide sempre aterrissa do mesmo lado
(quantamagazine.org)- Matemáticos construíram um tetraedro monoestável (monostable tetrahedron) como objeto físico, confirmando fisicamente um problema de equilíbrio tridimensional proposto por John Conway e Richard Guy em 1966
- Embora seja um tetraedro com quatro faces triangulares, seu centro de massa foi ajustado para que, quando colocado sobre qualquer outra face, ele tombe e acabe pousando sobre uma única face estável
- Em 2023, Gábor Domokos, Gergő Almádi, Krisztina Regős e Robert Dawson provaram sua possibilidade teórica, e um novo preprint apresenta um modelo funcional de 120 g e 50 cm no lado mais longo
- A construção usa uma estrutura oca de fibra de carbono e carbeto de tungstênio de alta densidade; para funcionar, os erros de peso e dimensões precisam ficar dentro de 0,1 g e 0,1 mm, respectivamente
- O trabalho mostra que fabricação e experimentos reais podem levantar novas questões no problema de equilíbrio de poliedros, e também pode se conectar ao projeto de módulos lunares que se endireitam sozinhos ao tombar
Um tetraedro estável em apenas uma face
- O tetraedro (tetrahedron) é o sólido platônico mais simples, com quatro faces triangulares
- Em 1966, John Conway e Richard Guy perguntaram se um tetraedro feito de material uniforme poderia ficar estável sobre apenas uma face
- Alguns anos depois, os dois concluíram que um tetraedro monoestável com distribuição uniforme de peso era impossível
- Depois disso, o problema permaneceu em aberto para o caso em que o peso não precisa ser distribuído de forma uniforme, e alguns matemáticos lembram que Conway previa a existência de tal tetraedro
- Se Conway tinha uma prova da conjectura tridimensional, ele não a tornou pública
Do gömböc aos poliedros pontiagudos
- Gábor Domokos é um matemático da Budapest University of Technology and Economics que há muito se interessa por problemas de equilíbrio
- Em 2006, Domokos e colegas descobriram uma forma chamada gömböc
- O gömböc se equilibra em apenas dois pontos no total: um ponto estável e um ponto instável
- Quando colocado em outro ponto, ele rola até ficar sobre o ponto estável
- O gömböc é uma forma parcialmente arredondada, como um brinquedo roly-poly
- Domokos queria saber se uma propriedade semelhante também seria possível em um poliedro (polyhedron) com arestas afiadas e faces planas
- Dávid Papp considerava que a abordagem de colocar um peso na parte inferior funciona em formas lisas ou arredondadas, mas que seria difícil projetar um poliedro com arestas pontiagudas e faces planas para sempre tombar para a mesma face
As condições encontradas pela busca computacional
- Em 2022, Gergő Almádi, então aluno de graduação, após assistir a uma aula de mecânica de Domokos, recebeu a tarefa de criar um algoritmo simples para explorar o equilíbrio de tetraedros
- Na época em que Conway propôs o problema, era preciso depender de raciocínio matemático abstrato e cálculos manuais, mas Almádi pôde usar computadores para explorar por força bruta muitas formas candidatas
- O programa de Almádi, dada uma certa distribuição de peso, encontrava as coordenadas dos quatro vértices de um tetraedro que poderia ser monoestável
- A equipe de pesquisa percebeu que, em todos os tetraedros monoestáveis, três arestas consecutivas precisam formar ângulos obtusos maiores que 90 graus
- Essa condição faz com que uma face fique apoiada por cima de outra, permitindo que a forma tombe
- Em seguida, a equipe mostrou que, se um tetraedro com essa característica tiver seu centro de massa dentro de uma das loading zones, quatro pequenas regiões tetraédricas dentro da forma original, ele pode se equilibrar de modo estável em apenas uma face
A distância entre a possibilidade matemática e a fabricação real
- Na matemática abstrata, é fácil ajustar a distribuição de massa, pois é possível definir livremente partes sem peso e partes muito pesadas
- Almádi, Dawson e Domokos queriam construir um tetraedro monoestável com materiais reais, que pudesse ser segurado nas mãos
- A equipe analisou vários falling patterns pelos quais o tetraedro tombaria até sua face estável
- Em um padrão, uma parte específica teria de ser feita de um material cerca de 1,5 vez mais denso que o centro do Sol
- Eles escolheram um padrão mais realista, mas ainda assim algumas partes precisavam ser cerca de 5.000 vezes mais densas que o restante
- A escolha dos materiais também tinha grandes restrições
- Materiais leves e flexíveis poderiam deformar a forma
- Se a forma fosse arredondada ou lisa, seria mais fácil obter monoestabilidade como em um roly-poly, o que não corresponderia ao objetivo de criar um poliedro com arestas afiadas
Modelo de fibra de carbono e carbeto de tungstênio
- O projeto final era, em sua maior parte, uma estrutura oca
- As partes leves foram feitas com uma estrutura de fibra de carbono (carbon fiber frame), e a pequena parte de alta densidade foi composta por carbeto de tungstênio (tungsten carbide), mais denso que o chumbo
- Para reduzir ao máximo o peso das partes leves, a estrutura de fibra de carbono também precisava ser oca
- Domokos encomendou a fabricação a uma empresa de engenharia de precisão da Hungria
- O processo de fabricação precisava ser tão preciso que até o peso de pequenas quantidades de cola tinha de ser considerado
- O primeiro modelo, feito ao longo de vários meses e a um custo de milhares de euros, não funcionou
- Domokos e o engenheiro-chefe encontraram um excesso de cola preso a um vértice e, depois de removê-lo, o modelo funcionou
- O primeiro modelo físico funcional do novo preprint pesa 120 g, tem o lado mais longo de 50 cm, e suas tolerâncias eram da ordem de 0,1 g no peso e 0,1 mm no comprimento
Pesquisa matemática e aplicações de engenharia
- Richard Schwartz considera que a pesquisa sobre tetraedros monoestáveis não exigiu uma matemática particularmente sofisticada, mas que fazer esse tipo de pergunta é importante
- Ainda não está claro que novas percepções teóricas esse modelo físico poderá trazer
- Ainda assim, o processo de experimentar na prática pode ajudar matemáticos a encontrar novas perguntas sobre poliedros
- Domokos e Almádi estão trabalhando para aplicar o conhecimento obtido no processo de fabricação ao projeto de módulos lunares (lunar lander) que se endireitam sozinhos quando tombam
- Schwartz avalia que, especialmente em geometria, pode ser importante ver as coisas na prática mesmo na matemática teórica, já que o raciocínio espacial é difícil e pode levar a erros
2 comentários
É curioso como, mesmo deitado em uma face diferente, ele se levanta sozinho e volta ao estado original.
Será por causa da diferença no centro de gravidade?
Opiniões no Hacker News
O artigo diz que a implementação física era um desafio, e que um modelo feito pelo segundo autor com folha de chumbo e bambu picado rolava sequencialmente de uma face para duas faces até chegar à posição estável final.
Eu tenho esse modelo. Fiz junto com Bob Dawson quando estávamos em Cambridge, e talvez eu deva tentar falar com ele.
Artigo: https://arxiv.org/abs/2506.19244
HTML: https://arxiv.org/html/2506.19244v1
Neste caso, o que realmente faz o trabalho é um centro de massa muito manipulado, então é meio discutível chamar isso de "forma". Parece mais correto chamar de objeto ou corpo rígido.
Caso contrário, o peso o pressionaria contra a base e o manteria preso, em vez de fazê-lo tombar. O motivo de ele primeiro inclinar para trás antes de cair para o lado em uma direção também é que o centro de massa está dentro da pegada da aresta direita do tetraedro, mas fora em relação à aresta de trás. Então ele inclina para trás e, com isso, a base se estreita, fazendo-o tombar para a direita e se estabilizar.
Isto é uma categoria diferente do Gömböc. Ele não tem densidade uniforme, e a maior parte da massa está concentrada na placa da base.
Se você fizer o centro de massa ficar na mesma posição, ele se moverá da mesma maneira.
Conway jogar a ideia no ar e, 60 anos depois, alguém de fato construí-la parece o auge de uma história matemática.
O pior D-4 de todos! Falando um pouco mais a sério, fico curioso para saber o quão perto se poderia chegar de um estado tipo "equilíbrio sobre o fio da navalha" com um poliedro de massa não uniforme.
Ou seja, criar um poliedro com distribuição de peso desigual e estável em exatamente duas faces, tornando uma delas muito mais estável, de modo que, quando colocado na face de estabilidade limitada, um toque o faça transicionar para a face de alta estabilidade. Uma estrutura assim poderia ser útil como detector de violação.
Curiosamente, ele não gostou da minha sugestão de comprar uma bola de bilhar nº 1.
https://www.uline.com/Cls_10/Damage-Indicators
https://www.youtube.com/watch?v=M9hHHt-S9kY
Também existe um poliedro mono-monostatic de 21 faces: https://arxiv.org/pdf/2103.13727v2
Só que a vareta fará um barulho alto ao cair e vai quicar algumas vezes. Fico curioso se existe um poliedro biestável cuja transição seja suave o bastante para não quicar. O Gömböc original parecia ter uma variação do centro de massa suave o suficiente para não quicar sob gravidade normal.
Bom texto.
No começo, ao ver o vídeo e perceber que havia uma placa ou um peso preso a uma face, perdi um pouco o interesse. Foi por causa do encadeamento: "Alguns anos depois, os dois chegaram por conta própria à resposta de que um tetraedro monoestável uniforme é impossível. Então, e se não for preciso distribuir o peso uniformemente?" Mas, mais adiante, quando John Conway apareceu, voltei a me envolver.
Por que não fazer um módulo lunar com esse formato? :-)
Talvez seja até mais útil como exoesqueleto para tartarugas. Tartarugas de pernas curtas precisam que a parte de baixo do casco seja totalmente plana, mas o Gömböc não tem faces planas. Veículos que andam em rampas também poderiam se beneficiar dessa propriedade.
Então é tipo o meu Vans?
https://en.wikipedia.org/wiki/Vans_challenge
O mais impressionante é que um objeto que parece desequilibrado acaba sendo extremamente estável. Esta forma nos faz repensar o significado de equilíbrio.
Não é simplesmente uma questão de as forças se igualarem; parece quase que ele sabe onde quer pousar toda vez.