Descoberta a primeira forma que não consegue passar por si mesma

• Matemáticos descobriram pela primeira vez uma forma tridimensional que não consegue passar por si mesma, uma descoberta que abala a intuição geométrica existente
• A maioria dos poliedros consegue fazer uma cópia de si mesma passar por seu interior por meio de uma combinação específica de rotação e translação chamada passagem de Rupert (Rupert passage), mas foi confirmado que esta nova forma torna isso impossível em qualquer direção
• Os pesquisadores geraram e verificaram algoritmicamente centenas de milhões de poliedros e encontraram uma passagem em quase todos os casos, mas há um número extremamente pequeno de exceções
• Inspirados por um vídeo no YouTube, dois matemáticos desenvolveram seu próprio algoritmo e, em um artigo de 2021, levantaram a hipótese de que um determinado poliedro seria impossível de atravessar; o novo estudo reforça essa possibilidade
• A descoberta aponta uma nova direção para as pesquisas sobre simetria geométrica e algoritmos de exploração espacial, sendo vista como um caso que revela limites fundamentais das formas matemáticas

---

Raridade das formas Nopert e processo de busca

• Os pesquisadores confirmaram que candidatos a Nopert (formas impossíveis de atravessar por si mesmas) são extremamente raros
  • Desde 2023, Murphy vem gerando centenas de milhões de poliedros para experimentos
  • Entre eles, há poliedros aleatórios, arranjos de vértices sobre a esfera, poliedros com estruturas simétricas e formas com alguns vértices intencionalmente deformados
• Seu algoritmo encontrava com facilidade a passagem de Rupert em quase todas as formas, mas em algumas delas nunca conseguiu localizar uma passagem
  • Ainda não está claro se essas formas excepcionais são Noperts genuínos ou apenas casos em que a busca pela passagem é particularmente difícil
• Esses resultados sugerem fortemente entre os matemáticos a possibilidade da existência de um Nopert real
  • No entanto, até agosto de 2024, não havia evidência conclusiva

“No Passage” — descoberta de uma forma sem passagem possível

• Steininger (30) e Yurkevich (29) são amigos e parceiros de pesquisa vindos da mesma tradição de olimpíadas de matemática e continuaram explorando problemas em aberto juntos mesmo após deixarem a academia
  • Em uma entrevista, resumiram sua paixão dizendo: “Há três horas estávamos comendo pizza e falando quase só de matemática”
• Há cinco anos, os dois ficaram fascinados pelo problema de Rupert ao verem um vídeo no YouTube em que um cubo passa através de outro cubo
  • Depois disso, desenvolveram seu próprio algoritmo de busca da passagem de Rupert e passaram a acreditar que algumas formas não podem ser atravessadas
• Em um artigo de 2021, levantaram a hipótese de que o rhombicosidodecahedron (rombicosidodecaedro) talvez não fosse uma forma de Rupert
  • Isso é visto como a primeira hipótese de um “sólido impossível de atravessar” anterior ao estudo recente de Murphy e Grimmer
• Steininger afirmou: “Foi um trabalho em que supusemos pela primeira vez que poderia existir um sólido sem essa propriedade”

Condições matemáticas para provar um Nopert

• Para provar que uma forma é Nopert, é preciso demonstrar que não existe passagem de Rupert para todas as combinações possíveis de direção e rotação
  • Cada direção pode ser representada como um conjunto de ângulos de rotação
  • Esse conjunto de ângulos pode ser expresso como um ponto em um espaço de parâmetros (parameter space) de alta dimensão
• Assim, o processo de prova se reduz ao problema de explorar todo o espaço de parâmetros para confirmar a ausência de passagem
  • Isso é computacionalmente muito complexo e, para uma prova completa, seria necessário considerar combinações infinitas de direções
• Até agora, os resultados se baseiam na verificação de casos finitos viável por exploração computacional, e uma prova matemática completa ainda está em andamento

[GN⁺]

Comentários do Hacker News

• É interessante a abordagem de não tentar testar todos os casos, mas escolher um e excluir muitas possibilidades ao redor dele
  Recentemente vi um vídeo muito bom sobre o tema Rupert/Nopert, e foi uma coincidência divertida ele ter saído mais ou menos na mesma época desta pesquisa
  • Na verdade, não é tanta coincidência assim. O artigo também menciona tom7, e no fim do vídeo dele ele cita diretamente este artigo. Ou seja, o tom7 também estava tentando provar o mesmo problema
• O título é um tanto enganoso. Mais especificamente, outras formas como a esfera já são conhecidas há muito tempo; a novidade aqui é que este é o primeiro poliedro que não consegue passar por si mesmo
  • Mais precisamente, trata-se de um poliedro convexo. Ainda assim, a crítica ao título é válida
  • Uma esfera pode ser aproximada por um poliedro. Em geral, parece que esses poliedros teriam a propriedade de Rupert, mas este Nopert é diferente porque os vértices perto dos planos superior e inferior têm ângulos mais suaves em relação ao eixo vertical.
    Fico pensando se um tetraminó em forma de T conseguiria passar por si mesmo
  • Do ponto de vista de um leigo, talvez o título ficasse mais claro como algo tipo “descoberta a primeira forma sem curvas”
  • Não entendo por que uma esfera não conseguiria passar por si mesma. Quando projetada como sombra, ela teria um tamanho igual ao diâmetro, então parece que deveria ser possível
• Como tem duas faces planas, não serviria como dado de D&D. Eu continuo torcendo pelo rhombicosidodecahedron
• Gostei do nível de detalhe do artigo. Foi suficiente para realmente entender a pesquisa sem se perder em detalhes matemáticos
• Eu só conhecia o Prince Rupert pelas “Prince Rupert’s drops” que levam o nome dele, mas pelo visto ele foi uma figura ativa em várias áreas
  Dá para ver mais na Wikipedia
• Não acredito que ainda não exista um termo como anisotransient para esse tipo de propriedade
• Se foi tão difícil encontrar uma, então o próximo resultado provavelmente será algo como “quase todos os poliedros convexos não conseguem passar por si mesmos”
• Será que precisa mesmo passar em linha reta? Também dá para imaginar casos em que passa girando, como em quebra-cabeças de blocos ou ao virar um sofá numa esquina
  O artigo limita a discussão à passagem em linha reta, e a maior parte da análise também usa técnicas de projeção de sombra, então o critério é linear. Mas a aposta original era simplesmente “passar uma cópia através dele mesmo”, então acho que rotação também poderia ser uma abordagem válida
  • Mas como o problema está restrito a poliedros convexos, não parece que a rotação ajudaria
• Fico me perguntando por que se gasta tempo com esse tipo de pesquisa. É só curiosidade, ou isso acaba tendo algum valor prático? Parece mais algo próximo da arte
  • O problema em si pode não ser prático, mas as técnicas desenvolvidas para resolvê-lo podem ser aplicadas em outras áreas.
    Além disso, pesquisar movido apenas por curiosidade também já tem valor por si só
  • Por exemplo, durante décadas estudaram matemática abstrata como transformações matriciais e normais de superfície, e nos anos 1980 isso acabou virando tecnologia central em computação gráfica
  • Às vezes pesquisas assim também levam a invenções práticas como Velcro ou mecanismos de travamento automático. Quando alguém encontra uma conexão, isso pode mudar o mundo aos poucos
• Para um leigo, parece que os candidatos a Nopert vão se tornando formas cada vez mais próximas de uma esfera. E a esfera não pode ter um túnel de Rupert, certo?
  • Sim. Quanto mais faces, mais ela se aproxima visualmente de uma esfera. Mas a esfera é trivialmente non-Rupert, e a pergunta mais interessante é se um poliedro convexo pode ser non-Rupert
  • Tenho curiosidade sobre até que ponto ainda é possível passar ao continuar adicionando faces. Pode ser que isso seja possível infinitamente, que Noperts apareçam de vez em quando, ou então que eles se tornem cada vez mais comuns e difíceis de encontrar. Queria experimentar isso pessoalmente
  • Mas o importante é que eles não são uma esfera