O quanto os dias estão ficando mais longos rapidamente

 (joe-antognini.github.io)
1 pontos por GN⁺ 2025-03-20 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • No hemisfério norte, a duração do dia aumenta mais rapidamente logo após o equinócio de primavera, e mesmo uma diferença de um único dia gera uma percepção muito diferente do aumento de luz solar dependendo da latitude
  • A duração do dia pode ser calculada obtendo o ângulo horário (hour angle) no nascer do sol a partir da latitude do observador e da declinação do Sol
  • No equador, o dia tem 12 horas o ano todo e, nos equinócios de primavera e outono, ele tem 12 horas independentemente da latitude, mas a partir de cerca de 66,55° do Círculo Polar Ártico surge a exceção de o Sol não se pôr no solstício de verão
  • Na prática, o nascer e o pôr do sol duram mais do que no modelo simples por causa do tamanho do disco solar e da refração atmosférica, gerando até 6 minutos e 40 segundos adicionais de luz do dia no equador mesmo no equinócio
  • É possível refletir com mais precisão a excentricidade da órbita da Terra e a obliquidade da eclíptica, mas, exceto perto do Círculo Polar Ártico, o efeito da órbita elíptica sobre a duração do dia é de no máximo cerca de 10 segundos

Por que os dias ficam mais longos rapidamente após o equinócio de primavera

  • No hemisfério norte, depois do equinócio de primavera, os dias ficam mais longos rapidamente
  • A experiência de ver a janela ao fundo de um amigo que mora em Stavanger, Noruega, passar de escura por meio ano a iluminada entre reuniões levou à pergunta de quanto o tempo de luz solar aumenta a cada dia
  • É possível comparar a duração do dia e a variação diária por latitude em um gráfico interativo
  • As linhas verticais pontilhadas do gráfico indicam o solstício de verão, o solstício de inverno, o equinócio de primavera e o equinócio de outono
    • Nas latitudes do hemisfério norte, o dia é mais longo no solstício de verão e mais curto no solstício de inverno
    • Nos equinócios de primavera e outono, o dia tem exatamente 12 horas independentemente da latitude, e é também quando a duração do dia muda mais rapidamente
    • No entanto, regiões muito próximas de 66,55° do Círculo Polar Ártico são uma exceção
  • Quanto mais perto do Círculo Polar Ártico, mais a duração do dia se aproxima de um padrão em zigue-zague, aumentando quase em linha reta do solstício de inverno ao de verão e depois diminuindo novamente

A matemática básica para calcular a duração do dia

  • Para obter quanto tempo o Sol fica acima do horizonte em uma data específica, usa-se o ângulo horário (hour angle) da astronomia esférica
  • O ângulo horário é o ângulo entre um astro e o meridiano; ao convertê-lo em unidade de tempo, é possível saber quanto falta para o astro cruzar o meridiano
  • O tempo do nascer ao pôr do sol é calculado como o dobro do tempo entre o nascer do sol e a passagem pelo meridiano
  • Há dois valores principais necessários para o cálculo
    • a latitude (\lambda) do observador
    • a declinação do Sol (\delta), isto é, o ângulo que indica quão distante o Sol está do equador celeste
  • Se considerarmos 0 como a altitude do Sol no momento do nascer, a seguinte equação do nascer do sol resulta da lei dos cossenos esférica

[ H = \arccos (-\tan \lambda \tan \delta) ]

  • O Sol se move ao longo da eclíptica, um grande círculo no céu, e em primeira aproximação pode ser considerado quase uniformemente móvel
  • A declinação solar pode ser aproximada por uma senoide simples

[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]

  • Aqui, (\epsilon) é a obliquidade da eclíptica, ou inclinação do eixo de rotação da Terra, de cerca de (23.45^\circ), e (T) é o número de dias transcorridos desde o equinócio de primavera
  • Dadas a latitude e a data, a duração do dia pode ser estimada aproximadamente pela fórmula abaixo

[ t_{\textrm{daylight}} \approx \frac{2}{15^{\circ}} \arccos \left(-\tan \lambda \tan \left(23.45^{\circ} \times \sin \frac{2 \pi T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) , \textrm{hr} ]

Como a duração do dia varia com a latitude

  • No equador, como a latitude (\lambda) é 0, a fórmula se simplifica, e a duração do dia é exatamente 12 horas o ano todo
  • No equinócio de primavera, temos (T = 0), então a duração do dia é 12 horas
    • como (\cos(x+\pi)=\cos x), o mesmo resultado vale no equinócio de outono
    • nos equinócios de primavera e outono, o dia tem exatamente 12 horas independentemente da latitude
  • A função arcocosseno só é definida quando o valor de entrada está entre (-1) e (1)
  • No solstício de verão, o termo (\sin T) passa a ser 1 e, se (\tan \lambda \tan 23.45^\circ) ultrapassar 1, a expressão deixa de ser definida
  • Essa condição ocorre para latitudes de (90^\circ - 23.45^\circ = 66.55^\circ) ou mais, e essa latitude define o Círculo Polar Ártico
  • No Círculo Polar Ártico e acima dele, no solstício de verão o Sol não se põe, então a fórmula da duração do dia deixa de se aplicar
  • No Polo Norte, o Sol nasce uma vez por ano no equinócio de primavera e permanece visível até o equinócio de outono

Variação da duração do dia de um dia para o outro

  • Uma vez obtida a fórmula da duração do dia, quanto ela muda a cada dia pode ser calculado por derivação
  • Convertendo para minutos por dia, a forma fica assim

[ \frac{dt_{\textrm{daylight}}}{dT} = \frac{576 \epsilon \cos 2\pi \widetilde{T} \tan \lambda \sec^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}{73\sqrt{1 - \tan^2 \lambda \tan^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}} , \frac{\textrm{min}}{\textrm{day}} ]

  • (\widetilde{T}) representa a fração do ano transcorrida desde o equinócio de primavera

Fatores que tornam o nascer e o pôr do sol reais mais complexos

  • Disco solar e refração atmosférica

    • O cálculo simples considera como nascer do sol o instante em que o centro do Sol toca o horizonte, mas na realidade ele é visto antes disso
    • O Sol tem um tamanho aparente de cerca de 0,5 grau, então, quando seu centro está no horizonte, metade do disco solar já está acima dele
    • Na prática, deve-se considerar o instante em que a borda superior do Sol toca o horizonte
    • Quando o observador percebe que o Sol nasceu, a posição real do Sol ainda pode estar abaixo do horizonte
    • Devido à refração atmosférica, a luz solar se curva para cima e o Sol parece mais alto do que realmente está
    • Para levar a refração atmosférica em conta, a altitude solar deve ser tomada não como 0, mas como um pequeno valor negativo
    • Considerando juntos a largura do disco solar e a refração atmosférica, a altitude do Sol no nascer e no pôr é em média cerca de (-50')
    • A refração atmosférica pode variar bastante por causa das condições meteorológicas perto do horizonte
    • Nesse caso, a equação do nascer do sol fica mais complexa, como abaixo

    [ H = \arccos \left(-\tan \lambda \tan \delta - \frac{\sin a}{\cos \lambda \cos \delta} \right) ]

    • Embora a diferença de (-50') pareça pequena, ela cria uma diferença nada desprezível na duração do dia
    • Na latitude de Los Angeles, (34^\circ), isso gera cerca de 8 minutos adicionais de luz do dia
    • Por causa da atmosfera, falando com rigor, o nome equinox é impreciso
    • Mesmo no equador, no equinócio de primavera há 6 minutos e 40 segundos adicionais de luz do dia, então o dia fica mais de 13 minutos mais longo que a noite
    • Em latitudes altas, o efeito da refração atmosférica é ainda maior
    • Como a eclíptica passa quase paralela ao horizonte, para o Sol se mover um pouco na vertical ele precisa se mover muito mais na horizontal
    • Em Stavanger, perto dos solstícios, esse efeito acrescenta quase 20 minutos ao dia
    • Até pouco antes de se chegar muito perto do Círculo Polar Ártico, o impacto desse efeito sobre a variação diária da duração do dia é relativamente pequeno

  • Obliquidade da eclíptica e excentricidade da órbita terrestre

    • O modelo simples aproxima a declinação solar por uma senoide

    [ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]

    • Essa aproximação é razoável, mas tem duas limitações
    • A primeira é que ela não reflete com exatidão a geometria esférica
    • Num caso extremo em que a eclíptica fosse inclinada em (90^\circ), a declinação solar aumentaria linearmente de (0^\circ) a (90^\circ) e depois diminuiria
    • A fórmula mais precisa é a seguinte

    [ \delta = \arcsin \left(-\sin \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) ]

    • A aproximação simples equivale a usar as aproximações de pequeno ângulo (\sin x \simeq x) e (\arcsin x \simeq x)
    • Como a obliquidade da eclíptica (\epsilon) é relativamente pequena, a diferença em relação ao valor real é no máximo (1.5^\circ), e seu efeito sobre a variação diária da duração do dia é relativamente pequeno
    • A segunda limitação é que o modelo simples assume que o Sol se move com velocidade angular constante ao longo do ano
    • Como a órbita da Terra é uma elipse, o Sol se move mais rápido que a média no início de janeiro, perto do periélio, e mais devagar no início de julho, perto do afélio
    • Para refletir a excentricidade da órbita terrestre, é preciso usar a equação de Kepler
    • Ao resolver a equação e obter a eccentric anomaly, e depois convertê-la em true anomaly, obtém-se a longitude eclíptica do Sol real, e não do Sol médio
    • O efeito total da forma elíptica da órbita terrestre sobre a duração do dia é muito pequeno
    • Como o Sol se desloca gradualmente de oeste para leste em relação às estrelas de fundo, o dia solar é cerca de 4 minutos mais longo que o dia sideral, que corresponde a uma rotação completa de (360^\circ) da Terra
    • Perto do periélio, o Sol se move mais rápido que a média e o dia fica um pouco mais longo; perto do afélio, fica um pouco mais curto
    • Mesmo no ponto máximo, essa variação da duração do dia é de cerca de 10 segundos
    • No entanto, o Círculo Polar Ártico e regiões muito próximas dele são exceções

Código de cálculo

Leituras relacionadas

1 comentários

 
GN⁺ 2025-03-20
Comentários do Hacker News

  • O autor só percebeu isso e escreveu o texto depois de fazer um stand-up com um colega norueguês, mas eu, como muçulmano, sinto isso na pele todos os anos durante o Ramadã
    Este ano, o primeiro dia do Ramadã foi 1º de março e, na minha localização perto de Los Angeles, foram 12 horas e 45 minutos de jejum desde a primeira luz da madrugada até o pôr do sol. Hoje são 13 horas e 15 minutos; por volta do último dia do Ramadã, no fim de março, serão 13 horas e 37 minutos
    Como o Ramadã segue um calendário lunar cerca de 10 dias mais curto que o calendário solar, no hemisfério norte o Ramadã de inverno é curto e fácil; os dias mais curtos virão em 2031, e em 2047 ele cairá no auge do verão, tornando-se o mais difícil
    Em lugares onde o sol não se põe, há diferentes interpretações sobre quando fazer o suhur e o iftar, mas em geral se seguem os horários de nascer e pôr do sol de uma região de referência mais realista. Meu cunhado, que estava na Suécia alguns anos atrás, usava o horário de Meca

    • Vivendo um período em que a Quaresma e o Ramadã se sobrepõem entre muçulmanos e católicos, no começo li o título como “como os dias de jejum estão ficando mais longos” e pensei: “é isso mesmo”
    • Quem não é muçulmano talvez não pense nisso, mas como o Ramadã recua cerca de 10 dias a cada ano no calendário ocidental, muita gente tem poucas oportunidades ao longo da vida de lembrar o Ramadã caindo no auge do verão ou no pleno inverno
    • No fim das contas, é preciso planejar a rotina de acordo com as regras do Ramadã, e a interpretação delas também varia conforme o local e o ano?
    • É interessante como uma prática religiosa de jejuar da madrugada ao pôr do sol faz um fenômeno astronômico parecer muito mais imediato e pessoal
    • Estou indo agora a um café do bairro. Só nesta época eles fazem Special Ramadan Phirni e nem revelam a receita exata
      Já implorei várias vezes para venderem o ano inteiro ou pelo menos me darem a receita

  • Morando em Estocolmo, passei a apreciar os vários estágios do crepúsculo e da escuridão, em vez de dividir rigidamente o dia e a noite
    Também é muito bonito o modo como o sol, baixo perto do horizonte, espalha luz por todo o céu, e isso dura muito mais do que os nasceres e pores do sol da Austrália onde cresci

    • Talvez por eu ter crescido em uma latitude parecida com a de Estocolmo, até visitar uma região tropical no ano passado eu não tinha percebido que meu inconsciente associava calor e noites longas
      Como estou acostumado a um ambiente em que, no verão, dá para ler do lado de fora até às 23h, foi muito estranho estar no calor dos trópicos e ficar completamente escuro às 18h
    • Eu tive uma experiência parecida, mas provavelmente mais extrema
      Sou originalmente de São Paulo, no Brasil, e o Trópico de Capricórnio praticamente corta a cidade. O nascer e o pôr do sol são eventos muito rápidos: mesmo sentando para assistir, em cerca de 30 minutos acabam, e logo escurece
      Mesmo depois de mais de 10 anos vivendo na Suécia, os longos nasceres e pores do sol daqui ainda me deixam maravilhado. Dá para ver cores, sombras e formas mudarem por horas, e uma das minhas coisas favoritas é comer e beber com amigos à beira de um lago no verão, observando um crepúsculo sem fim
    • No Chile também, especialmente no sul, os dias ficam mais longos ou mais curtos, mas a sensação é menos de medir a luz do sol com precisão e mais de uma transição gradual em que a tarde e a noite se misturam
      Por isso surgem expressões como “8 de la tarde” (8 da tarde) e “6 de la noche” (6 da noite), dependendo da estação
    • A Austrália cobre algo em torno de 40 graus de latitude
      Na região da Austrália onde estou, no solstício de verão ainda está claro até as 22h; no solstício de inverno, quase não há sol digno de nota

  • É bem chocante perceber que, no equador, fica perto de “nascer do sol às 6h, pôr do sol às 18h” o ano inteiro.
    Outro fato que pode contrariar a intuição é que, numa aproximação razoável, qualquer lugar da Terra recebe o mesmo número de horas de luz ao longo de um ano inteiro.

  • Existe uma regra prática conveniente chamada regra dos doze avos, usada em navegação, navegação marítima e cálculo de marés. Acho que ela pode ser aplicada como modelo mental útil para qualquer coisa que circule como uma senoide, como o sol, as estações etc.
    Se você dividir metade do ciclo, isto é, do ponto máximo ao ponto mínimo, em unidades apropriadas como 6 horas ou 6 meses, a variação no eixo y em cada unidade ao descer do máximo ou subir do mínimo será de 1/12, 2/12, 3/12, 3/12, 2/12, 1/12 da diferença total entre máximo e mínimo.
    Para nós, o máximo e o mínimo são 21 de junho e 21 de dezembro, e a unidade do eixo x é 1 mês. Se assumirmos que a diferença entre o maior e o menor comprimento do dia é de 2 horas, então 1/12 são 10 minutos.
    Portanto, agora, no fim de março, estamos no meio do trecho em que a redução ou o aumento é mais rápido: o dia aumenta 30 minutos por mês, e o pôr do sol é empurrado para cerca de 1 minuto mais tarde a cada dia.
    Referência: https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_twelfths; a ilustração explica bem melhor.

    • Reformulando matematicamente, isso quer dizer que sin(30 graus) = 1/2 e que sin(60 graus) não fica tão longe de 5/6.
    • Foi uma aproximação de sin() curiosamente boa.

  • Também notei a parte em que, ao se aproximar do círculo polar ártico, a duração do dia parece um zigue-zague, subindo direto do solstício de inverno ao de verão e depois descendo de novo, e fiquei curioso se as linhas eram realmente retas.
    Pensei que talvez desse para provar isso facilmente com identidades trigonométricas, mas não é o caso. Mesmo ignorando a refração atmosférica, as linhas não são exatamente retas; são apenas uma aproximação muito boa.

  • A duração do dia calculada subestima bastante a luz real em latitudes altas ou baixas. Por exemplo, na latitude 60°, a noite no auge do verão tem nominalmente cerca de 4 horas, mas, mesmo sem o disco solar estar visível, há luz forte o suficiente para que, na prática, não escureça

    • Isso se chama crepúsculo. A seção “Atmospheric refraction and the solar limb” traz uma equação modificada do nascer do sol com a variável “a” e uma explicação sobre a correção de 50 minutos de arco
      Se você trocar 50 minutos de arco por 6 graus, obtém o “crepúsculo civil”, isto é, aproximadamente o período em que não é necessária iluminação do lado de fora. No auge do verão a 60° N, a menor altitude do Sol é de cerca de -6,5°, então quase toda a noite nominal é crepúsculo civil
      12 graus é o “crepúsculo náutico”, período em que o horizonte é claramente visível, e 18 graus é o “crepúsculo astronômico”, quando o céu fica escuro o bastante para todas as observações astronômicas
      Também é possível que esses valores sejam definidos como 6 graus + 50 minutos de arco
    • Também não é simplesmente algo como “pôr do sol + X minutos”, com X constante. No inverno, esse X é muito mais curto do que no verão
      No meu caso, X é um valor “móvel”: no inverno fica a 1/3 do caminho entre o pôr do sol a 0° e o crepúsculo civil a -6°, e no verão sobe até 2/3 do caminho. Calculo isso pelo momento em que as persianas descem
      Para esse cálculo, uso https://astral.readthedocs.io
    • O crepúsculo acontece mais por causa da dispersão do que da refração. A luz do sol se espalha pela atmosfera e mantém o céu sem ficar preto mesmo depois do pôr do sol
    • Acabei de procurar Whitehorse, no Yukon, na linha de 60° N, e realmente, no dia mais longo do ano é praticamente dia o tempo todo: https://www.timeanddate.com/sun/canada/whitehorse
      O crepúsculo civil dura quase 5 horas e, pelos meus critérios, crepúsculo civil ainda é dia
    • Mesmo no Reino Unido, perto de 51–52° N, em algumas noites por volta do auge do verão não escurece de verdade. Pelo menos não fica mais escuro que o crepúsculo náutico

  • Sou da Islândia, então a latitude é de cerca de 64,15°. O formato extremo do gráfico explica muito bem como o humor das pessoas sobe e desce ao longo do ano
    Perto do solstício de verão, no auge do verão, as pessoas ficam quase maníacas, aproveitando a luz do dia sem fim e tentando tirar o máximo de cada dia. À medida que o solstício de inverno se aproxima, tudo fica mais contido, e também um pouco mais melancólico
    É bem difícil viver ali, especialmente nos dias mais curtos do inverno, mas o verão é tão incrível que, no fim, parece valer a pena

  • No norte da Finlândia, os extremos sazonais da duração do dia são tão grandes que o ciclo de noite e dia parece mais próximo de um ciclo de 365 dias do que de um ciclo de 24 horas
    Como resultado, uma criança de cinco anos pode passar o verão inteiro sem ver o céu escuro, a menos que fique acordada até tarde por causa de encontros tradicionais do solstício de verão

    • Fico curioso para saber como viram o filme Insomnia, com Al Pacino e Robin Williams

  • Sou do centro da Suécia e me lembro de ter ficado surpreso, na primeira vez que passei uma noite de solstício de verão no sul, em Lund, com o fato de que a noite realmente ficava escura
    Minha cidade natal fica bem abaixo do Círculo Polar Ártico, mas junho ainda é quase uma luz do dia incessante

  • À noite, deixo meu iPhone em modo de espera com um mapa-múndi aberto em que a área diurna é mostrada como uma onda senoidal
    Foi divertido ver o formato da área diurna se aproximando cada vez mais da parte de cima do mapa e, depois do equinócio, atravessando o topo do mapa e ficando invertido pelos 6 meses seguintes
    Observar ao longo de um ano a mudança no formato da área iluminada pelo Sol no mapa me fez entender muito melhor o que é o equinócio, por que a duração do dia muda e onde estamos dentro do Sistema Solar