- O problema do quadrado inscrito, proposto por Toeplitz em 1911, é um problema em aberto que pergunta se toda curva contínua fechada necessariamente contém quatro vértices de um quadrado, e a versão mais simples com retângulos pode ser abordada com topologia
- Um retângulo surge quando dois pares de pontos têm o mesmo ponto médio e a mesma distância; assim, ao enviar todos os pares de pontos da curva para pontos no espaço tridimensional, auto-interseções correspondem a retângulos inscritos
- O conjunto de todos os pares de pontos sem ordem forma naturalmente uma faixa de Möbius, e os pares que escolhem o mesmo ponto duas vezes ficam em sua borda, localizada no plano da curva original
- Ao refletir essa faixa de Möbius para baixo do plano e colá-la, obtemos uma garrafa de Klein, cuja propriedade de não poder ser representada em 3D sem auto-interseção se torna a chave da prova da existência de retângulos
- O problema do quadrado é mais difícil porque exige rastrear também o ângulo entre pares de pontos, e, ao contrário do resultado de 2020 de Joshua Andrew Lobb para curvas suaves, curvas ásperas como fractais continuam sendo um desafio
O problema do quadrado inscrito e o problema mais simples do retângulo
- Uma curva contínua fechada pode ser desenhada sem tirar o lápis do papel e pode ser vista como um laço que retorna ao ponto inicial
- Se quatro pontos na curva forem vértices de um quadrado, então esse quadrado é um quadrado inscrito na curva
- Saber se toda curva contínua fechada necessariamente tem um quadrado inscrito é um problema em aberto levantado por Toeplitz em 1911, geralmente chamado de inscribed square problem
- Uma pergunta um passo mais simples é se todo laço fechado necessariamente tem um retângulo inscrito, e essa prova se baseia em uma ideia de Herbert Vaughan
- Em vez de procurar aplicações conhecidas, o foco está em mostrar como a estrutura de resolução de problemas é construída ao resolver um quebra-cabeça puramente matemático
Transformando retângulos em auto-interseções de uma aplicação em 3D
- A condição para quatro pontos formarem um retângulo pode ser reescrita como a condição de dois segmentos terem o mesmo ponto médio e o mesmo comprimento
- Se os dois segmentos tiverem o mesmo centro e o mesmo comprimento, seus quatro extremos formam um retângulo
- Para cada par de pontos na curva, registramos as seguintes informações
- as coordenadas x e y do ponto médio do par
- a distância d entre os dois pontos
- Esses três valores formam um ponto no espaço tridimensional, produzindo uma aplicação contínua do conjunto de pares de pontos da curva para o espaço 3D
- Se dois pares de pontos diferentes forem enviados ao mesmo ponto em 3D, então esses dois pares têm o mesmo ponto médio e a mesma distância, formando um retângulo inscrito
- Todos os pontos de saída possíveis formam uma superfície complicada no espaço 3D, e as auto-interseções dessa superfície correspondem a retângulos inscritos
- No caso do círculo, muitos pares de pontos se concentram em um ponto no topo de uma cúpula, e o círculo tem infinitos retângulos inscritos
- Ao deformá-lo em uma elipse, várias interseções aparecem como uma única linha vertical
- Aqui, auto-interseção não significa a aparência visual, mas sim a situação em que “pares de pontos diferentes são enviados à mesma saída”
Como o espaço dos pares de pontos se torna uma faixa de Möbius
- Se atribuirmos a cada ponto do laço uma coordenada de 0 a 1, então 0 e 1 representam o mesmo ponto do laço, então as duas extremidades precisam ser coladas
- Pares ordenados de pontos podem ser representados por um ponto no quadrado unitário
- a coordenada x é o primeiro ponto
- a coordenada y é o segundo ponto
- ao colar separadamente as bordas esquerda-direita e superior-inferior, a estrutura inteira se torna um torus
- Na prova do retângulo, a ordem dos pontos do par não importa
- Se considerarmos a,b e b,a como diferentes, surge uma duplicação sem sentido na condição de mesmo ponto médio e mesma distância
- Portanto, x,y e y,x devem ser vistos como o mesmo par de pontos
- Se dobrarmos o quadrado unitário pela diagonal e depois cortarmos e colarmos refletindo a identificação das bordas, o resultado é uma faixa de Möbius
- Essa faixa de Möbius não é uma forma arbitrária de brinquedo, mas um espaço natural que representa continuamente todos os pares de pontos sem ordem sobre o laço
- cada ponto da faixa corresponde a um par de pontos sem ordem no laço
- cada par de pontos sem ordem no laço também corresponde a um ponto da faixa
- se um lado se move um pouco, o outro também muda só um pouco, sem saltos bruscos
- A borda vermelha vinda da diagonal x,x é o conjunto de pares que escolhem o mesmo ponto duas vezes e, na aplicação 3D anterior, deve ir para o plano xy onde está o laço original
O papel da garrafa de Klein na prova
- Ao considerar uma aplicação contínua da faixa de Möbius para uma superfície em 3D, a borda da faixa deve estar no plano onde está o laço original
- À primeira vista, parece que seria necessária a intuição de que “não é possível colocar uma faixa de Möbius em 3D sem auto-interseção deixando sua borda no plano”, mas essa frase, do jeito que está, não é verdadeira
- O matemático Asimov construiu uma imersão da faixa de Möbius em 3D cuja borda é um círculo no plano
- Nessa construção, o interior da faixa passa tanto acima quanto abaixo do círculo
- A superfície construída a partir dos pares de pontos do laço usa a distância d como altura, então todos os pontos internos ficam acima do plano xy
- Portanto, a condição necessária toma a forma: “não é possível colocar uma faixa de Möbius sem auto-interseção com a borda no plano e o interior acima do plano”
- Se refletirmos essa superfície para baixo do plano e depois a colarmos à superfície original ao longo da borda, obtemos uma superfície fechada formada por duas faixas de Möbius
- A superfície obtida ao colar as bordas das duas faixas de Möbius pode ser vista como uma garrafa de Klein
- A garrafa de Klein é uma superfície não orientável representativa, na qual não se pode separar claramente interior e exterior
- Em 3D, ela não pode ser representada corretamente sem auto-interseção, embora possa existir com muito mais naturalidade em dimensões mais altas
- Como a garrafa de Klein não pode evitar auto-interseções em 3D, a superfície dos pares de pontos do laço e sua reflexão também devem ter auto-interseções
- Essa auto-interseção significa que dois pares de pontos diferentes têm o mesmo ponto médio e a mesma distância e, portanto, existe um retângulo inscrito
O problema do quadrado, suavidade e o papel da topologia
- Para obter um quadrado, é preciso rastrear não só o ponto médio e o comprimento de dois pares de pontos, mas também o ângulo dos segmentos
- Se dois segmentos tiverem o mesmo ponto médio, o mesmo comprimento e ângulos que diferem em 90 graus, eles formam um quadrado
- Como a informação passa a ser quatro valores, torna-se natural pensar em imersões da faixa de Möbius e da garrafa de Klein em um espaço quadridimensional
- Em 2020, Joshua Andrew Lobb estendeu esse resultado para curvas suaves
- Para curvas suaves, a existência de quadrados já era conhecida
- O resultado de Lobb mostra que, nesse caso especial, é possível encontrar retângulos com todas as razões de aspecto possíveis
- Nessa discussão, aparecem imersões da faixa de Möbius e da garrafa de Klein em um certo espaço 4D
- Em curvas suaves, há uma tangente bem definida em cada ponto
- Quando dois pontos do par se aproximam, o ponto médio e a distância apresentam um comportamento-limite limpo
- Mesmo ao rastrear o ângulo, à medida que os dois pontos se aproximam, o ângulo do segmento tende ao ângulo da tangente naquele ponto
- Em curvas ásperas como fractais, o ângulo pode não ter esse tipo de comportamento-limite
- A dificuldade do problema do quadrado inscrito está em que ele precisa incluir todas as curvas ásperas
- Na topologia, formas como a faixa de Möbius e a garrafa de Klein não são objetos estranhos por si só, mas funcionam como ferramentas lógicas para decidir o que é possível e impossível sob correspondências contínuas
1 comentários
Comentários do Hacker News
Adorei este vídeo. Fiz doutorado em topologia algébrica e também estudei bastante topologia, então o conteúdo me era familiar, mas não sei se eu teria conseguido explicar esses conceitos com tanta clareza ou conectar o mundo obscuro da topologia a um problema “prático” desse jeito.
Depois do doutorado, passei por vários empregos e hoje trabalho com IA como engenheiro de software de pesquisa. Muitas vezes sinto falta da matemática pura e às vezes me arrependo um pouco de ter deixado a academia, mas voltar para a matemática acadêmica parece quase impossível. Os vídeos do 3B1B sempre me lembram que a matemática é aberta a todos, e que dá para apreciá-la, aprendê-la e fazer novas descobertas mesmo sem estar empregado como matemático em uma universidade.
Para estar na fronteira da pesquisa em uma área específica, provavelmente é preciso trabalhar como matemático profissional, mas fora isso acho que, justamente porque os fundamentos da matemática não mudam, ela é acessível a qualquer pessoa com interesse e paixão suficientes.
Sinto falta dos meus antigos cursos e também dos tempos de juventude na universidade.
O 3B1B mostra o que é possível na educação matemática. Estou animado com o futuro dessa área, mas é uma pena que provavelmente leve muito tempo até que esse tipo de abordagem seja incorporado ao ensino de matemática.
Além disso, nós aprendemos vendo esse vídeo porque queremos aprender. No momento em que apertamos o play, já estamos envolvidos com o tema. Já em aulas de ensino médio ou universidade, a maioria assiste não porque quer, mas porque precisa, sem esse engajamento inicial. O professor também não consegue apontar imediatamente, como um vídeo faria, o aluno na terceira fileira de trás que começa a cochilar.
Funciona muito bem para quem quer aprender, mas também pode acabar deixando ainda mais para trás quem não quer dominar aquele conteúdo.
No fim das contas, sem a complexidade e a notação aprendidas no modelo educacional tradicional que está sendo criticado aqui, é difícil produzir uma explicação tão simplificada em grande escala. Dito isso, alunos talentosos muitas vezes já têm essas imagens na cabeça e uma intuição clara, e para trazer junto os alunos menos familiarizados ou menos talentosos, essa abordagem faz bastante sentido.
Fico feliz que tenham voltado a tratar desse problema. Alguns anos atrás, o vídeo original sobre esse tema me fez cair direto no 3B1B.
Conheço a fita de Möbius desde criança e, no começo da adolescência, já conhecia a ideia de provas de existência do tipo “uma função contínua necessariamente passa por algum ponto”.
Mas nunca me ocorreu que a fita de Möbius pudesse ser mais do que uma curiosidade inútil, e agora sinto que devo pedir desculpas a esse objeto por tê-lo desprezado com tanta facilidade. O papel dela nesta demonstração é surpreendente e dá uma coceira agradável no cérebro.
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
Não sei praticamente nada de matemática além do básico, mas esse tipo de conteúdo é fascinante, e preciso de figuras para entender. É um vídeo realmente excelente.
Quando, no vídeo, foi apresentado um método de mapear 2 dimensões em 3 dimensões, meu primeiro pensamento foi: “será que é assim que se mapeia 3 dimensões em 4 dimensões?”. Mais tarde ele mencionou a quarta dimensão. Isso eu não consigo nem visualizar nem entender direito.
Mesmo em 3 dimensões, dá para pensar em coisas como “dois objetos não podem existir no mesmo lugar e ao mesmo tempo”, “linhas paralelas se encontram no infinito” ou “linhas paralelas nunca se encontram”. Só que, em 3 dimensões, temos visualização e intuição, então não precisamos decompor tudo formalmente a cada vez.
Fiquei feliz em ver Lobb mencionado. Alguns anos atrás — na verdade, já faz bastante tempo — aprendi Álgebra Linear 1 com Lobb. Ele era um excelente professor, e ainda lembro, rindo, da expressão de desespero que fazia quando não entendíamos alguma coisa.
Senti que havia um problema a partir de 4:15 do vídeo. Parecia que ele pulava para a conclusão de que há apenas uma distância para cada ponto médio. Mas esse ponto médio é o resultado de escolher dois pontos na fronteira, e é fácil escolher outros dois pontos que tenham o mesmo ponto médio, mas uma distância diferente.
Esse ponto não foi tratado diretamente, e pelos 2 minutos seguintes essa ideia ficou martelando na minha cabeça. Como ele continuou seguindo naquela direção sem explicar, pausei o vídeo, pensando que talvez eu tivesse deixado passar algo, ou que espectadores de matemática mais inteligentes resolveriam essa questão em aberto em poucos segundos, e que eu talvez não tivesse inclinação matemática suficiente para ser o público-alvo.
Acho que um bom vídeo educativo é o resultado de um processo em que espectadores de teste levantam pontos como esse e o vídeo vai sendo refinado, até virar um vídeo final bom mesmo para quem questiona todos os pontos.
Não é preciso haver unicidade aqui. Pelo contrário, o ponto central é transformar a busca por um retângulo inscrito na busca por dois pares de pontos que tenham o mesmo ponto médio e a mesma distância, e ele diz exatamente isso 1 minuto e 15 segundos depois do momento que você apontou.
Mas, quando definida visualmente, é muito natural entender errado do jeito que você entendeu. Isso porque a figura parece o gráfico de uma função que recebe um ponto médio como entrada e devolve a distância correspondente a esse ponto médio; como você apontou, isso não é bem definido. Se for entendido assim, o restante do vídeo se perde completamente. Afinal, o resto do vídeo é dedicado a explicar que o domínio dessa função, visto como pares não ordenados de pontos {A, B}, vira uma faixa de Möbius.
No fim, quando não há uma versão 100% formal de uma proposição, algumas pessoas acabam fazendo interpretações diferentes da intenção. Isso independe de quão inteligente seja o público. A 3Blue1Brown também sabe disso e parece estar experimentando formatos alternativos; este vídeo também está disponível como um post de blog interativo em que a função é explicitada como “f(A, B) = (x, y, z)” e as variáveis também são explicadas: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
“Para um público suficientemente grande, mesmo que composto apenas de pessoas muito inteligentes, cada explicação informal gera interpretações diferentes” é uma dificuldade central no ensino de matemática. Em um ambiente interativo, é possível interromper a aula e fazer perguntas, mas isso cria um incentivo para dar mais atenção ao formalismo, e pode sobrar menos tempo para explicar visualizações e intuições.
Respondendo à pergunta específica: ele não pressupõe em momento algum que cada ponto médio tenha apenas uma distância. Ele não diz isso, e a visualização também não mostra isso.
Outra forma de ver topologia está em General Topology, de John L. Kelley, D. Van Nostrand, Princeton, 1955.
No conjunto dos números reais R, se x, y ∈ R e x < y, então (x,y) = { z | x < z < y } é um conjunto aberto; se x <= y, então [x,y] = { z | x <= z <= y } é um conjunto fechado. Um subconjunto de R que é fechado e limitado é compacto, e isso é uma propriedade poderosa em coisas como a integração de Riemann.
Conceitos desse tipo se estendem para espaços topológicos muito mais gerais do que a reta real e intervalos abertos e fechados. Imagino que seja por isso que o título do livro tenha “General”. Li Kelley no quarto ano da graduação em matemática e até dei aulas para o professor, mas hoje há outras definições de topologia.
Graças a este vídeo, entendi o que é topologia.
Mais alguém fica ansioso vendo isso? Parece que ainda resta algo como medo de fracassar ou uma ansiedade residual de overachiever.
Tenho doutorado em matemática e, em geral, me afastei das buscas acadêmicas. O que me fez aguentar o doutorado não foi o desejo de sucesso ou de realização acadêmica, mas o amor pela jornada. Depois que comecei a trabalhar, a matemática ficou sombria e assustadora por um tempo, e este vídeo foi como uma lufada de ar fresco.
Espero que você encontre uma fonte de alegria na qual possa se dedicar. É possível florescer a partir dessas raízes. Não precisa ser necessariamente trabalho. Na verdade, acredito que no fundo da ansiedade existe um mercado de trabalho perigoso. Minhas raízes não são minha carreira, mas a família que escolhi. Com essa sensação de estabilidade, a mente consegue vagar com mais facilidade, e dá até para se aventurar em quebra-cabeças como este problema em aberto. O começo é a curiosidade.
Certa vez, em uma conferência, John H. Conway admitiu para mim que, no início da carreira, sentiu exatamente o mesmo que você.
Falando de fracasso: tive uma ideia de abordagem para esse problema em aberto e escrevi às pressas um código para aplicá-la ao floco de neve de Koch. Enquanto eu anotava, percebi um problema óbvio na abordagem e, dizendo só a conclusão sem contexto, encontrei uma divisão por zero antes de escrever aquela linha de código. Como não havia motivo nenhum para aquilo dar certo, o fracasso foi divertido, e descobrir um bug antes de escrevê-lo é sempre satisfatório.