Adolescentes matemáticos encontram todos os nós dentro de um fractal impressionante

• Malors Espinosa, então pós-graduando da Universidade de Toronto, procurava um problema de pesquisa que até estudantes do ensino médio pudessem tentar provar, e perguntou se todos os nós poderiam caber dentro da Menger sponge
• A Menger sponge é um fractal formado por escavar repetidamente um cubo, e Karl Menger provou em 1926 que essa estrutura é uma curva universal capaz de conter todas as curvas
• Joshua Broden, Noah Nazareth e Niko Voth colocaram nós em uma malha usando arc presentation e criaram uma forma de evitar os buracos da sponge usando coordenadas do Cantor set
• Depois de alguns meses de reuniões semanais no Zoom, os três estudantes provaram que todo nó pode caber dentro da Menger sponge, e o artigo foi publicado no arXiv
• Na versão tetraédrica, eles mostraram que é possível acomodar o trefoil knot e também a família mais ampla dos pretzel knots, mas ainda está em aberto se isso vale para todos os nós

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Um teorema sobre nós e fractais nascido de um problema de pesquisa para estudantes do ensino médio

• No outono de 2021, Malors Espinosa procurava um problema de matemática que estudantes do ensino médio pudessem de fato provar e que ainda tivesse valor de pesquisa
• Ele vinha ensinando as ideias básicas de pesquisa matemática e de escrita de demonstrações em um workshop de verão para estudantes locais do ensino médio, e alguns deles já estavam prontos para lidar com problemas sem gabarito
• Depois de reencontrar a Menger sponge em um livro-texto de teoria do caos, isso levou a uma pergunta que combinava esse fractal com teoria dos nós

A Menger sponge e a curva universal

• A Menger sponge é feita dividindo um cubo como um cubo mágico de Rubik, removendo o pequeno cubo central e os pequenos cubos centrais das seis faces, e repetindo o mesmo processo infinitamente nos 20 cubos restantes
• À medida que a repetição avança, os buracos aumentam exponencialmente e, depois de infinitas repetições, o volume cai para 0 enquanto a área de superfície se torna infinita
• Ao definir essa sponge em 1926, Karl Menger provou que qualquer curva pode ser deformada e colocada em algum lugar da sponge sem auto-interseção
  • linhas e círculos simples
  • estruturas que parecem árvores ou flocos de neve
  • curvas parecidas com poeira fractal
• Por causa dessa propriedade, Menger chamou a sponge de universal curve

Todos os nós, que são homeomorfos a um círculo, também podem caber nela?

• A pergunta de Malors partia do fato de que o teorema de Menger não distingue curvas homeomorphic
• Um nó matemático é um laço fechado feito unindo as duas pontas de uma corda torcida e enredada, e para uma formiga caminhando sobre ele o trajeto volta ao ponto de partida como em um círculo
• Nesse sentido, todo nó é homeomorfo a um círculo, mas a demonstração de Menger garante apenas que o círculo cabe dentro da sponge
• O objetivo era mostrar que seria possível encontrar todos os nós dentro da Menger sponge preservando seus laços e entrelaçamentos

Colocando nós em uma malha com arc presentation

• Os três estudantes, Joshua Broden, Noah Nazareth e Niko Voth, trataram o problema representando nós em uma malha plana com arc presentation
• A arc presentation transforma a informação sobre quais segmentos do nó passam à frente ou atrás uns dos outros em um arranjo de pontos sobre a malha, com exatamente dois pontos em cada linha e em cada coluna
• Os pontos são conectados por segmentos horizontais e verticais, e quando dois segmentos se cruzam, o segmento vertical passa à frente do horizontal
• Todo nó pode ser representado nessa forma de grade, o que facilita estudar propriedades importantes dos nós

Evitando os buracos da sponge com coordenadas do Cantor set

• Os estudantes usaram a ideia de colocar as linhas horizontais da arc presentation em uma face da Menger sponge e as linhas verticais na face oposta
• A parte mais difícil era garantir que, ao conectar as duas faces pelo interior da sponge em cada canto da arc presentation, o caminho não caísse em um buraco
• Para isso, eles recorreram ao Cantor set, um fractal unidimensional
  • divide-se um segmento em três partes iguais e remove-se o terço do meio
  • repete-se infinitamente o mesmo processo nos dois segmentos restantes
  • no fim, sobra um conjunto disperso de pontos
• Se considerarmos que a Menger sponge e o Cantor set passaram pelo mesmo número de etapas de remoção, então em uma face da sponge não deve haver buraco em um ponto cujas duas coordenadas pertençam ao Cantor set
• Por causa da estrutura repetitiva da sponge, também não deve haver buraco logo atrás desses pontos, então o nó pode atravessar sem sair do material da sponge

A prova de que todos os nós cabem na Menger sponge

• A tarefa restante era mostrar que qualquer arc presentation de um nó podia ser comprimida ou esticada de forma que todos os seus cantos coincidissem com coordenadas do Cantor set
• Como esse processo de compressão e alongamento não altera a estrutura geral da arc presentation, o próprio nó representado não muda
• Broden, Nazareth e Voth provaram que qualquer arc presentation pode ser deformada de modo que os pontos de cruzamento entre linhas verticais e horizontais caiam dentro do Cantor set
• Esse resultado garantiu que um número maior de cantos também poderia ser ajustado ao Cantor set e, por fim, tornou possível colocar o nó dado em algum estágio iterativo da Menger sponge
• Os três estudantes mostraram que todos os nós podem caber dentro da Menger sponge

A extensão do problema para a sponge tetraédrica

• Depois de resolver a pergunta original, os estudantes começaram a investigar se todos os nós também poderiam caber na versão tetrahedral da Menger sponge
• Nesse caso, o método anterior, que usava faces exatamente opostas entre si, deixa de funcionar, o que torna o problema mais delicado
• Malors chegou a pensar que o trefoil knot não poderia caber dentro de um tetraedro, mas os três estudantes discordaram e encontraram uma nova forma de acomodá-lo
• Depois disso, também provaram que o mesmo é possível para toda a família mais geral de nós à qual o trefoil pertence, os pretzel knots
• Ainda segue em aberto se outros tipos de nós podem caber dentro da sponge tetraédrica

A possibilidade de ver a complexidade fractal por meio dos nós

• Malors acredita que o método dos estudantes pode se tornar uma forma mais ampla de medir a complexidade dos fractais
• Nem todo fractal pode conter todos os tipos de nós, então quais nós ele consegue conter e quais não consegue podem servir como critério para entender sua estrutura
• Em 2014, entusiastas da matemática criaram um Menger sponge finito de 200 libras com cartões de visita em um projeto mundial chamado MegaMenger
• Allison Moore acredita que esse resultado pode levar a uma nova arte matemática produzida com materiais físicos
• Os três estudantes já se formaram no ensino médio; apenas Broden continua trabalhando no problema do tetraedro junto com disciplinas universitárias, e os três consideram seguir carreira em matemática

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Comentários do Hacker News

• É um quebra-cabeça de navegador baseado em teoria dos nós; não sei o que aprendi jogando, mas foi divertido
  https://brainteaser.top/knot/index.html

  • Por algum motivo, isso me lembrou https://www.jasondavies.com/planarity/

• A Quanta parece ser uma revista realmente excelente. Foi a primeira vez que ouvi falar dela

  • Também tem alguns podcasts bons, e pessoalmente gosto bastante do Joy of Wh(y)

• Há uma explicação aqui sobre “todo nó é homeomórfico ao círculo”
  https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...

  • Isso não está correto. Um nó não é um espaço topológico, mas uma imersão (embedding), isto é, K:S^1 -> S^3 e, de forma mais geral, S^n -> S^n+2. Portanto, a noção de ser homeomórfico não se aplica diretamente
    O que o post original quer dizer é que, ao restringir-se à imagem, obtém-se um homeomorfismo do círculo para essa imagem. Isso acontece porque é uma imersão do círculo
    Se você olhar como um mapa entre espaços topológicos, e normalmente escolhemos a categoria suave ou linear por partes, então surgem mais restrições; a interpretação mais naturalmente próxima de “isomorfismo” é um par de homeomorfismos f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 que satisfazem Kf=gK. Isto é, corresponde a uma transformação natural ou a um quadrado comutativo
    Isso quase dá o que queremos, mas com um homeomorfismo é possível inverter a orientação do espaço ou a orientação do nó, e isso não corresponde ao fenômeno físico dos nós. Por isso, é preciso atribuir uma orientação ao espaço, e para isso acabamos indo para a categoria linear por partes/suave ou usando homotopia/isotopia
  • Intuitivamente, basta imaginar que você escolhe um ponto de partida no círculo e um no nó, e caminha por ambos em velocidades diferentes, retornando ao ponto inicial no mesmo instante
    Na prática, um nó é a imagem de um mapa do círculo para o nó, isto é, uma função contínua bijetiva. A resposta no link também diz isso
    Edit: revendo o artigo, vi que essa explicação intuitiva já estava lá usando a analogia da formiga

• Gosto muito da Quanta. Queria que houvesse uma edição impressa

  • Concordo. Eu pagaria com prazer uma assinatura impressa e talvez até doasse um exemplar extra para uma escola de ensino médio próxima
    Dito isso, talvez hoje em dia os adolescentes nem vão à biblioteca, então talvez fosse preciso espalhar a revista em banheiros, corredores e cafés
  • Isso me lembrou a Leonardo do MIT. Foi uma das coisas pelas quais fiquei obcecado por um tempo no segundo ano: https://direct.mit.edu/leon
  • Por outro lado, prefiro mais um meio moderno justamente porque ele pode incluir animações e coisas do tipo

• A “versão tetraédrica da esponja de Menger” é normalmente mais conhecida como tetraedro de Sierpiński, e é a versão 3D do triângulo de Sierpiński

• Não entendi por que usar um fractal. Não daria para usar simplesmente uma grade 3D? Uma grade com resolução adequada não faria exatamente o mesmo papel?
  Ou a ideia é mostrar que é possível fazer tudo mesmo dentro de um subconjunto tão restrito de uma grade 3D?

  • O resultado para a grade 3D já é bem conhecido e talvez até quase trivial. Em uma dimensão, daria para jogar fora tudo e deixar apenas 2 camadas
    Como você disse, a esponja de Menger é um subconjunto da grade 3D, então os estudantes precisaram encontrar uma construção que desviasse dos buracos. Pessoalmente, não acho o resultado surpreendente, mas é bonito
    Ainda assim, para mim, a parte realmente legal do artigo é o problema em aberto no final. Será que todos os nós podem ser imersos dentro de um tetraedro de Sierpiński?

• Gosto que a prova seja elementar e fácil de entender. Quase me lembra as demonstrações do teorema de Pitágoras, mas ainda assim parece poder ter bastante significado

• Muito legal. Eu gostaria que tivessem mostrado, com uma visualização parecida, como resolveram isso no gasket de Sierpiński