- A figura fractal (“wallflower”) que começou como um rabisco do autor no ensino fundamental tem uma estrutura única, gerada de uma forma diferente dos métodos usuais
- O texto investiga como as características desse fractal podem ser explicadas matematicamente por meio de L-systems e de uma codificação posicional baseada em matrizes
- Usando matrizes específicas com determinante ±5, é possível descrever de forma eficaz a mudança de escala e a rotação da figura, bem como sua disposição repetitiva no espaço
- O autor também tenta generalizações para 3D e 4D; em dimensões mais altas, o projeto das matrizes considerando simetria e eficiência de empacotamento se torna importante
- Ele descobre conexões entre fractais, álgebra linear e sistemas numéricos, e mostra que esse processo de investigação em si revela o valor da resolução criativa de problemas
Introdução: o segredo do fractal pendurado na parede
- Quando estava no ensino fundamental, o autor descobriu um rabisco em papel quadriculado em que copiava, rotacionava e preenchia quadrados (mais tarde chamado de “wallflower”) e manteve interesse nisso por muitos anos
- Como a estrutura era incomum, ele achava que havia um significado matemático profundo ali, mas não conseguiu analisá-la na época
- Depois, com mais conhecimento matemático, passou a investigar seriamente o problema deixado por seu eu do passado
Como desenhar o fractal
- Comece com um quadrado
- Faça uma cópia da figura atual e coloque uma à esquerda, uma à direita, uma acima e uma abaixo
- Em seguida, rotacione levemente o estado existente cerca de 27 graus no sentido horário e copie-o novamente nas quatro direções
- Repita os passos 2 e 3 até preencher o papel
- Dessa forma, surge um fractal que se espalha como uma flor
- Se esse processo for repetido infinitamente, assim como na Gosper Curve, ele também pode cobrir o plano inteiro
Geração do contorno do fractal com L-system
- Também é possível aplicar um L-system (regras de substituição de strings), usando apenas rotações de 90 graus para R (direita) ou L (esquerda)
- Regra inicial: começa com
RRRR; substituições: R→RLR, L→RLL
- O contorno implementado com L-system e o contorno gerado pelo método da época do ensino fundamental passam a apresentar diferenças relevantes a partir do 4º termo
- No método de arrastar e soltar, a disposição de cada cópia é diferente
- No método com L-system, a cópia na direção diagonal é a característica marcante
Características do wallflower sem imagem
- O wallflower gerado pelo método de arrastar e soltar não aparece com frequência em lugar nenhum da internet
- Há uma propriedade em que a direção se inverte repetidamente sob as regras de substituição
L→RLR, R→LLR
- Existe uma relação entre o ângulo de posicionamento das cópias (“27 graus”), a estrutura matricial e as regras de substituição do L-system
Como numerar (codificação posicional do fractal)
- Assim como na função de pareamento de Cantor, é possível atribuir números a cada quadrado dentro do fractal para entender o espaço de forma eficiente
- A cada iteração, surgem relações estreitas com múltiplos e potências de 5, então é usada a base 5 para uma codificação eficiente
- Observando os padrões de cópia à esquerda e à direita, o autor encontra uma conexão entre deslocamento geométrico e adição, como em “somar 200”
O significado espacial das matrizes e do fractal
- Vetores de posição podem ser expressos por multiplicação de matrizes, aplicando
matrix power em cada dígito conforme seu valor posicional
- Exemplo: com a matriz
M=[−2 1; 1 2], cujo determinante det(M)=-5, a direção se inverte repetidamente
- Se for gerado com
M′=[2 1; -1 2], uma matriz com det(M′)=5, surge uma estrutura semelhante aos fractais do tipo Gosper mais comuns
- O valor absoluto do determinante coincide exatamente com a taxa de crescimento da escala do fractal e com a eficiência de preenchimento espacial
- Se o determinante for grande, sobram espaços vazios; se for pequeno, ocorrem colisões
- Os vetores-coluna de cada matriz precisam necessariamente ser inteiros para se encaixar corretamente em toda a malha de coordenadas
- O cálculo do ângulo do vetor
|1,2|, arctan(2/1) ≈ 63.43 graus, explica por que ele fica “27 graus” afastado do eixo
Explorando a estrutura da adição por meio do fractal
- Não é possível prever todas as posições apenas com composição simples de vetores (por exemplo,
→2+→2≠→4)
- Os valores de 1 a 4 são interpretados como direções (cima, direita, baixo, esquerda), e aparece um tipo de “vai um” bidimensional
- Isso se conecta a generalized balanced ternary e leva a sistemas numéricos 2D/de dimensões mais altas e a estruturas sem ponto fixo
Possibilidade de generalização para dimensões mais altas (3D, 4D)
Tentativa de extensão para 3D
- Em uma matriz 3x3, cada vetor-coluna precisa ser inteiro, ter distância de Hamming 3 e determinante ±7
- Na visualização real, certas regiões ficam vazias, então um arranjo perfeito não é possível
- É possível compensar parcialmente com cópias adicionais (um “formato de mais” em novas posições), mas obter simetria completa é difícil
Extensão para 4D
- Em uma matriz 4x4, cada vetor-coluna deve ser inteiro e satisfazer a condição de três entradas ±1 e uma entrada 0
- Em 4D, torna-se possível uma nova estrutura fractal chamada “orthotopeflower”
- Também é possível visualizar eficientemente toda a estrutura no plano como uma grade 7x7 de grades 7x7
Limites da generalização para dimensões mais altas
- Considerando em conjunto as restrições das matrizes, as condições de crescimento de escala e os vetores inteiros, essa estrutura só é válida nas dimensões 1, 2 e 4
- Em dimensões superiores, não é possível construir matrizes inteiras que satisfaçam todas as condições
Conexões com outros sistemas numéricos
- Assim como a quater-imaginary base (sistema numérico de base
2i), é possível expandir o conceito para números complexos e quaternions em sistemas numéricos baseados em matrizes
- O autor explora a ideia de codificação de quaternions com uma matriz 4D (base:
i+j+k), mas deixa a verificação totalmente rigorosa para seu eu do futuro
Conclusão
- A longa investigação pessoal sobre fractais, sistemas numéricos e álgebra linear levou a uma descoberta matemática bela
- Um pequeno rabisco criativo e a curiosidade acabaram servindo de ponto de partida para revelar princípios profundos de verdade
- É um exemplo de como acaso, tentativa e erro e persistência no processo investigativo podem produzir novas ideias em matemática e computação
- O texto também enfatiza a atitude de aceitar visualizações imperfeitas ou erros nas regras como parte da própria investigação
1 comentários
Comentários do Hacker News
Obra impressionante e uma leitura prazerosa
Parece um texto extremamente perspicaz e cuidadoso; gostei especialmente da visualização em 3D, e isso me fez lembrar de um projeto que fiz alguns anos atrás usando decimação recursiva (
recursive decimation) para criar, a partir de qualquer imagem, um efeito parecido com fractais; dá para experimentar diretamente em https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ , e é possível gerar animações clicando algumas vezes em Blursort 2x2 e depois em Animate; também aceita copiar/colar imagens, funciona só no navegador sem backend separado, e eu não recomendaria em celularEu esperava uma leitura leve, mas acabou sendo um texto bem longo, então dei uma passada rápida enquanto trabalhava; pretendo voltar depois para testar várias coisas, é realmente um texto muito bem feito
O texto está muito bem escrito; gostaria de saber como você criou o sistema de numeração "middle out"; quando tento resolver problemas matemáticos sozinho, ideias inspiradas assim não costumam surgir com facilidade
Fiquei tão envolvido que imaginei um L-system para desenhar o fractal "wallflower"; dá para ver em https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... ; pensando melhor, talvez isso gere outro fractal
Belo texto; eu gostaria que houvesse uma foto da instalação do fractal na parede; o link para o vídeo do Knuth foi muito bom, mas me surpreende nunca ter visto isso antes
Será que um método parecido também poderia ser aplicado à criação de padrões de dithering com ajuste fino de detalhes?
Além de ter sido um bom texto, o Heighway dragon, famoso por Jurassic Park, também é bem legal: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve
Passa um pouco a impressão de uma hélice
Foi uma experiência divertida