Prova visual de `a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)`

 (futilitycloset.com)
1 pontos por GN⁺ 2024-12-16 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • Esta é uma breve nota de matemática que verifica visualmente a fórmula da diferença de quadrados a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • A ideia central é a identidade de fatoração que transforma a diferença entre dois quadrados no produto da soma e da diferença
  • O diagrama mostra a correspondência pela qual a área de a^2 – b^2 se torna igual a (a + b)(a – b)
  • Como disse Sophie Germain, destaca-se que álgebra e geometria podem representar a mesma relação de maneiras diferentes
  • Em vez de ser uma fórmula decorada apenas por meio de expressões, a identidade pode ser confirmada intuitivamente por meio da reorganização de áreas

Vendo a diferença de quadrados por meio de um diagrama

  • O material visual traz uma prova visual de a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
  • O objeto da prova é a identidade que expressa a diferença de quadrados como o produto da soma e da diferença de dois termos

A conexão entre álgebra e geometria

  • Sophie Germain disse: “Tem-se dito que a álgebra nada mais é do que geometria escrita, e a geometria nada mais é do que álgebra figurada”
  • Essa citação é usada no contexto de mostrar que fórmulas e diagramas podem representar a mesma relação de maneiras diferentes

Leituras relacionadas

1 comentários

 
GN⁺ 2024-12-16
Opiniões do Hacker News

  • Se você gosta desse tipo de coisa, há um livro que reúne apenas provas visuais https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr..., e a Wikipedia também tem um verbete relacionado https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
    Alguns anos atrás, redesenhei várias delas em LaTeX com minha orientadora de doutorado e um colega https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor..., e planejávamos imprimi-las como pôsteres para pendurar em um evento do Pi Day, mas o evento não pôde acontecer por causa da pandemia

    • Esse trabalho é realmente excelente. Também valeria considerar incluir fontes ou créditos no PDF
      Mesmo que as pessoas baixem o arquivo e depois esqueçam de onde o obtiveram, seria bom poder atribuir o mérito a quem é devido

  • Lembrei deste vídeo sobre por que é preciso ter cuidado ao ver provas visuais: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
    Ele inclui até uma “prova” de que π é exatamente 4. Também neste caso, como alguém apontou abaixo, há uma suposição não justificada; no mínimo, assume-se b < a

    • No 9º ano, meu professor de geometria insistia muito que nunca deveríamos presumir comprimentos e ângulos que não estivessem explicitados na figura
      Em especial, dizia que não deveríamos achar que a figura foi desenhada em escala; mesmo que um quadrilátero parecesse um quadrado, se não estivesse escrito que era um quadrado ou se não houvesse informação suficiente para concluir isso, deveríamos tratá-lo como um quadrilátero desconhecido. Nas provas, ele dizia que, se não fizéssemos isso, “tiraria mais pontos do que a questão valia”; e, de fato, uma vez deu uma figura que parecia uma pipa, mas com condições de ângulos que só eram possíveis em um paralelogramo que não era pipa, e descontou pontos extras dos alunos que a confundiram com uma pipa
    • O problema dessa prova é apenas assumir que o valor no limite é igual ao valor no infinito
      Se definirmos pi(n) como uma função em N ∪ {inf}, atribuindo o valor que “pi” tem na n-ésima etapa do processo, e definirmos pi(inf) como o valor no círculo real, então ela é simplesmente uma função em que lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf). Para todo n finito é 4, e no infinito é 3,1415...
      Também dá para reformular isso sem usar “infinito”, mas pensar assim é mais claro. Não é muito diferente da função delta de Kronecker delta(t), que vale 1 em t=0 e 0 no restante. lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t)
    • b < a pode ser assumido sem perda de generalidade
    • Sim, mas isso depende de repetir o ajuste do perímetro infinitamente. Aqui, rearranjar algumas caixas não envolve infinito
    • Se retângulos com área negativa não te incomodam, continua valendo

  • Uma prova visual do teorema de Pitágoras está aqui: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
    O teorema de Pitágoras não é imediatamente intuitivo para mim, então essa me parece muito mais “útil”. A prova do post original parece bastante redundante, já que segue diretamente de a(b+c)=ab+ac. Construir intuição para a propriedade distributiva da multiplicação é muito importante no ensino de matemática, mas sinto que a intuição sobre por que ela é verdadeira se forma melhor sem depender da geometria

    • Eu já tive absoluta certeza de que, ao dividir uma linha em 3 partes, também seria possível traçar linhas a partir de um ponto e trisecar um ângulo de 60 graus em três ângulos de 20 graus, mas na prática não era verdade
    • Essa prova visual não parece completa. Também é preciso provar que o quadrilátero da figura à direita é um quadrado
    • Não acho que isso seja mais redundante do que o teorema de Pitágoras. Afinal, também se pode dizer que o teorema de Pitágoras segue diretamente da definição de produto interno

  • É preciso ter cuidado. Se você acredita em “provas” visuais, pode acabar acreditando em coisas como esta: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

    • Aquilo parece ter sido feito para enganar
      Quem desenhasse pensando no problema teria mostrado que, numa figura dessas, a intenção era que os dois ângulos fossem iguais; ou então deixaria claro que um triângulo tem inclinação 8/3 e o outro 5/2, portanto as inclinações são obviamente diferentes
      Uma boa prova visual apenas expressa álgebra real com linhas e formas em vez de símbolos, e o resultado, em certo sentido, ainda deve ser algébrico. O exemplo linkado e a famosa prova de Pitágoras são assim também. Se você tira a régua para começar a medir, já se perdeu. Todos os resultados devem ser algébricos, não visuais; mas representar essa álgebra com desenhos em vez de letras é perfeitamente aceitável
    • Não entendo o que quer dizer “acreditar”. Está insinuando que o exemplo apresentado não é verdadeiro? Ele é muito verdadeiro
      Para quem vê, pode ser confuso no começo. É difícil distinguir a diferença entre 3/8 e 2/5, e se assume que os dois triângulos têm a mesma inclinação. Mas essa prova visual de fato mostra honestamente que eles não são iguais

  • Um método parecido também é útil para cálculo mental envolvendo quadrados. Por exemplo, 1005² é 1000² mais dois blocos de 5×1000 e mais um pequeno bloco de 5², então dá 1.010.025
    Por outro lado, 995² é 1000² menos os mesmos dois blocos de 5×1000 e mais 5², então dá 990.025

  • Como alguém que é fraco em geometria e bom em álgebra, isso é realmente surpreendente. Não consigo nem começar a entender como essa figura mostra que a fórmula vale, até mesmo para essas caixas específicas
    Mas a relação da multiplicação que faz a álgebra funcionar fica muito nítida. Não quero dizer que o exemplo seja ruim ou bom, e sim que é incrível como as pessoas pensam de maneiras tão diferentes

    • Na primeira figura à esquerda, dá para ver que a largura e a altura do quadrado grande são a, então sua área é a×a, ou seja, a²
      O quadrado pequeno dentro dele tem largura e altura b, então sua área é b². Essencialmente, remove-se o quadrado pequeno do quadrado grande, resultando em a² - b². Na última figura à direita, um lado tem comprimento (a-b) e o lado superior é (a+b), então a área é (a-b)(a+b). Portanto, a² - b² = (a + b)(a - b), e as etapas intermediárias mostram visualmente o processo de mover a área
    • Fico curioso em que ponto das cinco figuras a compreensão se perde
    • Qual parte é difícil de entender?

  • Aquilo parece mostrar apenas que existem alguns a e b para os quais a igualdade vale. Não mostra que ela vale para todos os valores de a e b

    • Além da condição de serem positivos, que restrições essa prova exige de a e b?
    • Sério? Mesmo com a=0 ou b=0, continua sendo verdade

  • O Futility Closet tinha um podcast encantador e interessante. Sinto saudades. Ainda assim, fico feliz que o blog continue ativo

    • Eu gostava muito de ouvir aquele podcast. Ainda não encontrei nada que o substitua

  • Gosto de assistir a alguns vídeos do Mathologer no YouTube, e eles frequentemente trazem ótimas provas visuais
    https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (soma de dois quadrados de Fermat)
    https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (teorema de Ptolomeu)
    https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (números irracionais)

  • https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html também vale a pena ver
    Tem muitas visualizações legais, incluindo uma das minhas provas favoritas do teorema de Pitágoras
    https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...