Problemas de ensino em matemática avançada
(susam.net)- Explicações fracas na matemática do ensino básico e médio podem afastar os alunos da disciplina, fazendo com que só permaneçam os estudantes com motivação muito forte
- Muitas demonstrações em livros de matemática avançada estão mais próximas de um panorama de alto nível do que de uma prova completa, exigindo que o aluno preencha por conta própria a justificativa de cada linha
- Em Galois Theory, de Stewart, levou-se dois dias para destrinchar o argumento de um caso específico, e mesmo matemáticos profissionais acharam obscuras as etapas intermediárias
- Se todos os detalhes fossem incluídos, um livro de 200 páginas poderia virar 2000 páginas, então as omissões são inevitáveis, mas a quantidade e o tamanho dessas omissões chegam a ser dolorosos
- Há necessidade de materiais que expandam argumentos difíceis em demonstrações rigorosas e intuição, como as notas suplementares de boas universidades, e há planos de criar notas auxiliares começando por alguns temas
Lacunas de explicação expostas no ensino de matemática avançada
- Explicações fracas no ensino de matemática básico e médio podem fazer com que o aluno se afaste da matemática para o resto da vida, deixando apenas os estudantes com motivação forte seguirem em frente
- A matemática é tratada como uma disciplina que oferece rigor no raciocínio, clareza de pensamento e treinamento para construir argumentos a partir de primeiros princípios
- Um problema parecido continua existindo também na matemática avançada, e muitas demonstrações em livros de nível de pós-graduação estão mais próximas de um panorama de alto nível do que de uma prova completa
- Quando o livro não mostra suficientemente as etapas intermediárias, o aluno precisa fazer um grande esforço para entender e justificar cada linha
- Um argumento de 10 linhas em certo livro pode virar 10 páginas quando reescrito como uma demonstração realmente convincente
Omissões nos livros e necessidade de complementação
- Mesmo refinando as etapas intermediárias de um livro com matemáticos profissionais, os passos intermediários de certas demonstrações continuaram obscuros até para eles
- Em Galois Theory, de Stewart, levou-se dois dias para destrinchar o argumento complexo de um caso específico, e o resultado precisava satisfazer ao mesmo tempo precisão, completude e acessibilidade para um estudante suficientemente motivado
- Piadas como 'proof by obviousness' e 'proof by intimidation' fazem sentido porque essas situações aparecem com frequência em livros reais
- O problema não é apenas o nível de omitir resultados básicos de graduação, como teoria dos grupos ou teoria dos corpos; mesmo supondo que todo o conteúdo de graduação seja conhecido, muitas vezes os livros de pós-graduação não deixam suficientemente claro por que suas demonstrações funcionam
- Como os alunos precisam aprender os temas dentro de prazos limitados, quando a explicação do livro é insuficiente eles podem não ter tempo de transformar cada argumento de 10 linhas em uma prova de 10 páginas por conta própria, e assim talvez nunca aprendam o motivo exato
- Em artigos de pesquisa o problema é ainda mais sério, mas aqui o foco está nos livros
- Também há grandes limitações práticas para que livros avançados justifiquem todos os argumentos
- Se todos os detalhes fossem incluídos, um livro de 200 páginas poderia virar 2000 páginas
- Nem alunos nem professores têm tempo ou paciência para ler milhares de páginas de argumentos técnicos pouco interessantes
- Os autores tendem a se concentrar nas partes interessantes e esperam que o aluno preencha o que foi omitido
- Ainda assim, a quantidade e o tamanho das omissões presentes em livros comuns chegam a ser dolorosos
- Muitas boas universidades oferecem notas suplementares que expandem argumentos difíceis em demonstrações rigorosas e ajudam na intuição, e isso parece ser uma boa prática
- Livros de nível de pós-graduação são muito melhores do que não existir material algum, já que tornam os temas visíveis para o mundo, mas também têm a limitação de frequentemente serem difíceis de acessar
- Se houvesse tempo ilimitado, seria desejável criar materiais auxiliares que destrinchassem em detalhe todos os argumentos desses livros, mas isso é inviável na prática
- Ainda assim, há o plano de começar notas auxiliares pelos temas em que a qualidade da explicação parece especialmente importante, com exemplos como s-arc transitivity de grafos e temas ligados a extensões de corpos
1 comentários
Opiniões no Lobste.rs
Ah, isso dói. Como anedota pessoal e desabafo, um dos motivos pelos quais acabei indo para engenharia de software em vez de matemática/ciência da computação foi porque a diferença na minha compreensão de matemática entre ouvir em sala de aula e estudar sozinho por um livro era enorme
Eu preciso de um tempo anormalmente grande para entender um teorema escrito, e no fim fico muito insatisfeito ao perceber que, na verdade, algo fácil tinha sido explicado de um jeito péssimo para o meu gosto
Mas meu diagnóstico é um pouco diferente. Não acho que falte detalhe; acho, na verdade, que faltam motivação e visão geral. As demonstrações sempre parecem escritas exatamente ao contrário. A pessoa passa um tempão pensando no problema até encontrar a prova, depois apaga esse processo mental e começa a escrever a partir da etapa final
Por exemplo, a prova normalmente começa com algo como “escolha ɛ = n^2 / 36”, e aí você precisa ler uma vez para entender por que esse épsilon é mecanicamente necessário, depois pensar de novo para entender a ideia por trás desse artifício técnico, então fazer uma prova informal na cabeça com essa ideia e, por fim, reler a prova com essa ideia em mente para ver se a formalização está correta. A formalização é útil, mas não é o mesmo que compreensão
Reed-Solomon também serve de exemplo. A Wiki poderia dizer “um polinômio de grau N pode ser interpolado em N+1 pontos. Se você transmitir K pontos redundantes, pode perder alguns e ainda recuperar os coeficientes”, mas em vez disso vem uma explicação longa e obscura (previously)
Um exemplo recente é o Teorema 1.5.8 de Analysis, do Tao, que diz que em conjuntos compactos toda cobertura aberta tem uma subcobertura finita. Ele entra direto em “escolha y, escolha V_a, há uma bola, há um raio r...” — não está errado, mas é difícil ver por que ele faz isso
Só depois de absorver a forma é que a ideia central aparece. Como queremos uma subcobertura finita, parece natural escolher gulosamente o “maior” conjunto, mas então precisamos definir o que significa ser o maior. Se fixarmos um ponto, podemos escolher o maior conjunto em relação àquele ponto, e então aumentar uma bola até sobrar apenas um elemento da cobertura. As bolas não podem ficar infinitamente pequenas; nesse caso usaríamos compacidade para escolher um ponto com uma bola de raio 0. Portanto, as bolas têm largura mínima ɛ, e então basta seguir escolhendo o maior conjunto para cada ponto ainda não coberto. Se terminar em um número finito de etapas, ótimo; se não, obtemos uma sequência de pontos separados por ɛ, o que contradiz a compacidade
A ideia central é sempre muito mais simples que a formalização, e, depois que você a entende, parece óbvio que alguma formalização vai funcionar se você ajustar as desigualdades o bastante. A formalização continua sendo necessária — afinal, você pode sem querer depender de algo como o axioma da escolha. Mas como meio de transmitir a ideia, ela é péssima. É como reconstruir quicksort a partir de código assembly
Acho que a forma correta de apresentar matemática é tratar o teorema não como ponto de partida, mas como resultado, e explicar no modo “como alguém poderia ter descoberto isso?”
Claro, não nego que às vezes existam argumentos que você precisa “sacudir até realmente acreditar que isso prova o que afirma”, mas dentro da matemática relativamente comportada com que tive contato isso é raro
Os teoremas do livro-texto são como a foto do bolo pronto num livro de receitas, e a demonstração é a receita. A bagunça que acontece ao fazer o bolo de verdade quase não aparece
O que falta é que, para assar o mesmo bolo, você ainda precisa de entendimento e habilidade de confeitaria. A receita pode não dizer qual consistência a massa deve ter ou como corrigir quando algo dá errado. E conhecer os “primeiros princípios” da confeitaria também não te transforma imediatamente em confeiteiro. Você pode ter as ideias básicas, mas ainda precisa combiná-las para assar o bolo
Acho que matemática é como qualquer outra disciplina moderna. A vitrine está cheia de bolos, e os melhores confeiteiros recebem financiamento para assar mais bolos. Se você quiser virar confeiteiro por conta própria, precisa fazer estágio na padaria, aprender os truques e começar a assar seus próprios bolos em vez de só usar a receita do chefe. Isso exige tempo, esforço e um pouco de sorte
https://betterexplained.com/articles/…
Uma sequência de DNA pode ser uma descrição extremamente precisa de um gato, mas você não consegue imaginar o animal na cabeça só a partir disso
Nesse formato, verificação e correção ficam mais eficientes, e isso é chamado de perspectiva BCH de R-S. Só que BCH também é toda uma classe de códigos
Mesmo assim, concordo que, mesmo depois de ler bastante sobre isso para implementar, os artigos da Wikipedia sobre R-S e BCH continuam em grande parte incompreensíveis. Sem a ótima biblioteca gf256 em estilo de programação letrada, especialmente gf256::rs, acho que eu não teria avançado
Dito isso, pela minha experiência, alguns teoremas são mais fáceis de provar que outros. Em uma disciplina de Algebra I, uma das provas era demonstrar um teorema aleatório escolhido na hora pelo professor. Pode parecer intimidador, mas depois de passar muito tempo provando coisas já demonstradas, você começa a enxergar padrões. Além disso, também acaba decorando mais teoremas usados em outras provas
Não estou dizendo que é fácil, mas, quando você estuda matemática nesse nível, parece que alguma coisa se abre na sua cabeça e isso passa a ser possível. A formalização pode parecer excessiva, mas também é o que permite aos matemáticos chegar a conclusões que outras pessoas não conseguem ver
Pela minha experiência pessoal nas ciências físicas, muito disso vem de como artigos acadêmicos são escritos, publicados e avaliados
O processo de escrita e publicação de artigos na verdade não incentiva explicar a ciência; incentiva dizer coisas que pareçam plausíveis e um pouco convincentes sem “desperdiçar” tempo demais com detalhes. Esse viés que aparece nas demonstrações me parece muito parecido
É preciso tirar as editoras da ciência
Se você quiser explicar “como encontrou isso”, precisa fazer afirmações vagas e grosseiras que não são totalmente justificadas nem precisas. Os revisores, mesmo quando o veículo é uma conferência com autopublicação mas indexada, ou um overlay journal, não gostam que frases meio falsas permaneçam na versão final aceita
Então, mesmo que houvesse uma explicação intuitiva no primeiro envio, ela pode acabar sendo removida
Às vezes é pior ainda. Um coautor meu, que escreve ótimas introduções e é bom em otimizar artigos para aceitação, costuma explicar que geralmente há um trade-off na hora de escolher a versão de uma proposição. A versão com mais chance de ser aceita muitas vezes é a pior possível para as pessoas que mais gostariam do artigo e o citariam. Isso mesmo quando todas as versões são verdadeiras e podem ser provadas com o mesmo nível de qualidade
Então os incentivos ficam desalinhados. Mas, nesse caso, talvez a culpa não seja tanto das editoras, e sim da estrutura em que os acadêmicos são recompensados por métricas de publicação, e não pelo trabalho que realmente deveriam fazer
Sobre livros-texto, não concordo necessariamente com a tese do texto. Uma boa omissão pode tornar a prova mais legível e também levar o leitor a pensar. No pior caso, dá para consultar outro livro-texto ou a fonte original. Mas encontrar uma prova incompleta em um artigo de pesquisa pode ser profundamente irritante. Aí começa a surgir a dúvida sobre quem de fato tem a prova completa, e quando você percebe pode ter passado uma semana, um mês ou um ano
Como pós-graduando em matemática, acho que há dois lados nessa questão. Às vezes a prova apresentada está num nível bem alto e é irritante quando você realmente não entende uma etapa específica, mas, por outro lado, preencher as lacunas muitas vezes é mais útil para evoluir do que receber tudo mastigado
Se uma prova vai da proposição 1 para a proposição 2 e você não entende imediatamente, isso primeiro te dá uma intuição sobre o que o autor — e mais amplamente a comunidade matemática daquela área — considera óbvio. Isso tem valor porque mostra quais resultados você precisa internalizar profundamente para ganhar intuição
Em segundo lugar, quando você completa as etapas intermediárias e se convence de que o argumento é sólido, tende a lembrar muito melhor dessas etapas do que se apenas as tivesse lido na página
Para mim, o “ponto ideal” é quando leva de 30 segundos a 5 minutos para justificar uma etapa da prova. Mais do que isso e fica fácil se frustrar e aprender menos
Espere até ver as demonstrações em artigos de verdade
Falando mais seriamente, claro que existem livros de matemática mal escritos e pouco pedagógicos. Mas acho que uma prova média em nível de pós-graduação simplesmente não pode escrever todos os detalhes. Ficaria penoso de ler e extremamente tedioso
Espera-se que o matemático preencha os buracos da prova mentalmente, e essa é uma habilidade que precisa ser aprendida
Tenho algumas histórias pessoais sobre preencher lacunas
No ensino médio, depois de discutir sobre o nível de detalhe necessário, chegamos a um acordo de que eu escreveria provas com o mínimo possível de omissões. Se eu conseguisse mostrar que sabia preencher as lacunas, então muitos textos que eu dizia serem mais esquemáticos do que o esperado seriam aceitos como suficientes para demonstrar o entendimento necessário
Lembro que usei parênteses aninhados umas três camadas de “isto na verdade não precisa de prova explícita, mas como combinamos...”. Em um dos parênteses mais internos estava algo como “vamos provar por indução que 2^n>0”. A proposição no topo provavelmente era sobre limites. Vale dizer que concordávamos entre nós que aquelas provas exageradas do nível mais baixo eram de fato exageradas
No ensino médio e na faculdade, ao fazer anotações, eu às vezes escrevia antes um resumo do que obviamente viria a seguir, para ganhar tempo quando a parte seguinte exigia anotações mais detalhadas. Anos depois, já como pós-doc, eu estava ouvindo um colega explicar algum problema e o interrompi com algo como “essa parte você pode pular, já vejo qual lema você vai enunciar e como vai prová-lo”
Só que eu estava errado. Ele não estava afirmando um resultado; estava fazendo uma pergunta. Mas a prova que saiu da visão geral que eu imaginei acabou entrando no artigo deles mesmo assim
Entre nós que fazemos matemática concreta, existe todo um mundo tentando corrigir o problema dos detalhes com assistentes de prova como Lean, Agda e Coq. Mas imagino que quase ninguém use assistentes de prova para o ensino de matemática “geral”. Por quê?
Em matemática contínua, existe uma certa incompatibilidade de representação entre a notação padrão e os assistentes de prova baseados em lógica de ordem superior. Para ir longe o bastante com uma formalização em teoria dos conjuntos de primeira ordem, você precisa de definições necessárias que, ao que parece, ainda não foram organizadas em uma coleção consistente