Educação matemática dos 3 aos 7 anos
(thepsmiths.com)- Math from Three to Seven, de Alexander Zvonkin, mostra, por meio do registro de um círculo de matemática para crianças em idade pré-escolar, que mesmo crianças pequenas conseguem se dedicar por muito tempo à exploração de problemas reais, e não apenas a exercícios no estilo escolar
- Na cultura matemática russa e soviética, os círculos de matemática eram menos uma preparação para provas e mais uma comunidade informal em que participantes de níveis diferentes se reuniam para discutir e enfrentar juntos problemas difíceis
- Enquanto o exercise da matemática escolar e da matemática competitiva é um treino curto com solução intencional, o problem do círculo se distingue por ser uma investigação em que não há garantia de possibilidade de solução, técnica necessária ou tempo exigido
- Zvonkin reapresentava a mesma estrutura combinatória para crianças de 3 a 4 anos em intervalos de meses, usando contas, coloração, rotas de táxi, caixas de fósforo e bolas, para que elas descobrissem as conexões
- No grupo de crianças da idade de sua segunda filha, Evgenia, o mesmo método não funcionou, revelando que aptidão e interesse variam de criança para criança e que é difícil reutilizar os registros e técnicas pedagógicas tal como estão
A força soviética em matemática e os círculos de matemática
- Durante a Guerra Fria, a União Soviética manteve por muito tempo um nível semelhante ao dos EUA em termos militares e tecnológicos, apesar de ter população menor, PIB mais baixo e um sistema econômico menos eficiente
- Nos anos 1990 e 2000, continuou sendo comum a experiência de ver imigrantes de origem russa super-representados em áreas técnicas nos torneios de xadrez, competições de matemática, Wall Street, Silicon Valley e departamentos de matemática da Ivy League nos EUA
- Hipóteses como a maior proporção de judeus, a pobreza relativa da União Soviética e sua alocação de capital humano, ou o “maximalism” da cultura russa, também são mencionadas, mas o elemento que reaparece repetidamente em entrevistas com matemáticos e cientistas soviéticos é o dos mathematical circles
- Os círculos de matemática são uma prática que começou antes mesmo do período do Império Russo e se espalhou por toda a União Soviética: grupos informais em que jovens e adultos que gostam de matemática se reuniam regularmente para pensar longamente e conversar
- Como em um time esportivo, pode haver uma cultura interna, um alto nível de dedicação e um “técnico” competente ou famoso
- Em vez de uma liga ou competição entre equipes, o funcionamento se parece mais com um conjunto musical de bairro improvisando junto enquanto resolve problemas de matemática
- O nível dos participantes pode ser bastante variado
A diferença entre exercise e problem
- A matemática escolar e parte da matemática competitiva nos EUA são compostas principalmente de exercises
- Um exercise é um problema criado por alguém com objetivo pedagógico
- Um aluno esperto em geral consegue resolvê-lo em até 5 minutos, ele se relaciona ao capítulo atual do material, e é razoável supor que exista uma técnica definida para resolvê-lo
- É possível reconstruir a resposta retroativamente pela intenção de quem elaborou, pela eliminação de alternativas e por reconhecimento de padrões
- No centro do círculo de matemática está o problem resolvido em conjunto
- Um problem é uma pergunta interessante que surge quando alguém realmente tenta fazer alguma coisa
- Pode ser que os participantes, o orientador, ou até ninguém consiga resolvê-lo
- Mesmo que tenha solução, ela pode levar semanas ou meses, e a técnica necessária pode não estar clara ou até ser desconhecida
- O orientador às vezes escolhe um problema um pouco mais difícil que a capacidade dos participantes, mas em outras ocasiões o grupo inteiro encara um problema cuja resposta ninguém sabe
- Essa experiência mostra que até pessoas brilhantes podem travar e ser derrotadas por um problema, criando uma cultura de gostar do difícil
- Quando o grupo se cansa, entram em cena problemas famosos do passado e histórias sobre matemáticos, e a matemática também passa a funcionar como uma cultura com narrativas compartilhadas e piadas internas
O círculo de matemática pré-escolar de Zvonkin
- Math from Three to Seven é o registro de uma aplicação do círculo de matemática a crianças em idade pré-escolar
- Alexander Zvonkin, no papel de orientador, era matemático profissional e começou o círculo para seu filho Dmitry e as crianças vizinhas
- A maioria das crianças tinha de 3 a 4 anos
- Segundo experimentos de Piaget, nessa idade alguns módulos cognitivos ligados a número e volume ainda estão em fase de desenvolvimento
- Zvonkin conhecia a pesquisa em psicologia do desenvolvimento e conectava a falta de intuição numérica das crianças a ideias mais profundas como tamanho de conjuntos e correspondência
- O livro se parece menos com uma teoria pedagógica organizada e mais com um diário quase sem edição
- Havia ideias brilhantes de quebra-cabeças, mas também fracassos repetidos em que as crianças gritavam ou vomitavam
- Ao longo de 4 anos de círculo, sucessos e fracassos são registrados juntos
- O objetivo inicial era quase uma reprogramação inversa da matemática escolar
- Zvonkin detestava o fato de a escola apresentar a matemática como um conjunto de fórmulas a seguir
- Ele se opunha fortemente à prática de tirar pontos porque a resposta não foi escrita no formato esperado ou porque a criança usou uma técnica que “ainda não deveria ter aprendido”
- Mais tarde, porém, depois de ensinar um currículo experimental de matemática em escolas públicas de Moscou, ele passou a entender melhor as limitações enfrentadas por professores e administradores
Repetir um mesmo problema de combinatória em várias formas
- Cerca de um ano após o início do círculo, Zvonkin apresentou às crianças o primeiro problem de verdade
- Era um problema de combinatória que perguntava de quantas maneiras é possível escolher 2 objetos entre 5 sem considerar a ordem
- Zvonkin entendia que esse tema já havia sido ensinado a alunos mais velhos, mas acabou retirado por ser considerado difícil demais
- Ele queria que crianças em idade pré-escolar descobrissem isso sozinhas, quase sem pistas
- A abordagem consistia em reapresentar o mesmo problema em várias formas disfarçadas ao longo de alguns meses
- Como as crianças ainda não tinham ferramentas de raciocínio formal e simbólico, ele adotou formas táteis e concretas
- A primeira forma foi o problema das contas
- As crianças tinham de montar correntes possíveis com 2 contas vermelhas e 3 contas azuis
- Surgiu uma discussão sobre se uma corrente girada em 180 graus deveria contar como a mesma ou como outra diferente
- Zvonkin respondeu que é possível definir a regra, e que isso divide um único problema em dois problems diferentes
- Depois, ele entregou folhas com cinco círculos e pediu que encontrassem as maneiras de colorir apenas dois deles
- As crianças percebiam vagamente a semelhança com o problema anterior das contas, mas ainda não faziam a conexão de modo claro
- Alguns meses depois, apresentou um problema em que uma grade 4x3 era explicada como um mapa de cidade, e perguntava quantos caminhos um táxi poderia fazer do canto inferior esquerdo ao superior direito sem voltar para trás
- Zvonkin marcava os movimentos para a direita na rota com círculos vermelhos e os movimentos para cima com círculos azuis, dando uma pista para que as crianças ligassem isso ao problema das contas
- As crianças descobriram o isomorfismo segundo o qual problemas aparentemente diferentes têm a mesma estrutura
- Por fim, ele colocou cinco caixas de fósforo vazias e duas bolas, perguntando de quantas maneiras diferentes as bolas poderiam ser colocadas nas caixas
- As crianças perceberam rapidamente que isso era igual ao problema das contas
- A resposta para todos esses problemas é 10, mas como provar que não existe nenhum outro caso e como a resposta mudaria se o conjunto original tivesse 4 ou 6 elementos continuava sendo outra montanha a escalar
O pensamento infantil e os limites do método pedagógico
- A homunculus theory, que vê a criança como um “adulto em miniatura”, parte de uma premissa errada
- A criança não é apenas alguém menos inteligente e menos informado que o adulto, mas algo mais próximo de uma inteligência situada em um ponto diferente da do adulto
- Crianças pequenas pensam de maneira mais concreta, e não se deve concluir que sua capacidade geral de pensar é inferior só porque ainda não dominam o raciocínio simbólico e proposicional
- Um método que Zvonkin usou de forma eficaz tanto com crianças quanto com adultos foi o da repetição com espaçamento
- O mesmo problema era reapresentado várias vezes, em intervalos longos, cada vez por um ângulo diferente
- Trata-se de uma forma de explorar a interação entre pensamento focado e pensamento difuso
- O autor do texto acrescenta que já usou esse método para fazer uma criança de 5 ou 6 anos entender por que a soma de uma linha do triângulo de Pascal é uma potência de 2
- A lição final do livro é que o mesmo método nem sempre pode ser reproduzido
- Zvonkin registrou os sucessos e fracassos dos primeiros 4 anos do círculo e iniciou um segundo círculo com crianças da idade de sua segunda filha, Evgenia
- Ele achava que já sabia o que funcionava e o que não funcionava, mas o segundo grupo tinha aptidões e interesses diferentes, e suas anotações anteriores quase não serviram para nada
- Cerca de um ano depois, ele desistiu, e o diário termina de forma abrupta
- Essa experiência mostra de forma extrema algo comum para pais com mais de um filho
- Mesmo criando os filhos do mesmo jeito, as diferenças entre eles aparecem muito cedo
- O comportamento dos pais só pode influenciar de maneira periférica o tipo de pessoa que a criança se tornará
- Educar e criar não é programar uma criança, mas algo mais próximo de observar o processo pelo qual um novo ser revela o que vai se tornar
- Ao mesmo tempo, os pais podem aliviar um pouco a pressão e compartilhar atividades prazerosas com os filhos, como livros, filmes, esportes, trilhas e reflexão
- Em alguns casos, essa atividade pode ser justamente o pensamento difícil de lutar com um problem
1 comentários
Opiniões do Hacker News
O texto é surpreendentemente interessante e bem escrito; então seria bom não olhar só os comentários aqui, mas ler também o artigo em si
Não sei bem se “exercícios escolares banais” quer dizer que eles são desnecessários ou que são necessários, mas não suficientes
Meu filho, que está entrando na adolescência, antes gostava de matemática e também gostava de conversar sobre problemas matemáticos, mas agora parece entediado com os exercícios da escola e perdendo o interesse; fico me perguntando se há alguma forma de reacender essa chama
Bons professores mostravam não só o “o quê”, mas como e por quê; e o momento em que vi o seno surgir diante dos meus olhos ao percorrer o círculo unitário de 10 em 10 graus e marcar num gráfico a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa de triângulos retângulos foi mágico
Outro professor nos fez montar uma caixa de papel, calcular o volume e depois mostrou, usando cálculo, como encontrar as dimensões da caixa de volume máximo para a mesma área de papel; foi a primeira vez que senti que matemática não era perda de tempo, mas algo útil
O 3Blue1Brown no YouTube também é bom, mas pode ser um pouco longo e difícil; o Numberphile é bom porque tem muitos vídeos curtos e ainda mostra pequenas demonstrações
Livros de histórias matemáticas interessantes ou de quebra-cabeças, como os de Martin Gardner ou Ian Stewart, também funcionam; e ajuda mais os pais parecerem genuinamente interessados em matemática do que terem a postura de tentar fazer a criança querer algo
Vejo que o problema das escolas daqui é focarem mais nas notas do que no interesse da criança. Quando a pressão é grande demais, a diversão desaparece
Especialmente descontar pontos porque a criança usou uma “técnica que ainda não deveria ter aprendido” é realmente ruim; mesmo quando a repetição é necessária, se a criança sente que está melhorando, consegue manter o interesse
Mesmo que haja uma certa repetição trabalhosa, é preciso dar material suficiente para que a matéria em si pareça interessante; e ter pais interessados que consigam responder às perguntas ajuda muito
Até antes do 8º ano, matemática era entediante para mim, mas eu não sabia por quê; percebi quando, por um erro administrativo, entrei numa turma de álgebra em vez de pré-álgebra
Tive de condensar um ano de conteúdo em um mês de revisão para acompanhar, precisei me esforçar pela primeira vez e fiquei com média C, mas depois, quando o ritmo voltou a ficar lento, percebi que eu gostava de matemática em si e detestava aulas lentas que tentavam nivelar todo mundo
Seguindo minha curiosidade e criando uma coisa atrás da outra, acabei “descobrindo” bastante das partes úteis de trigonometria, álgebra linear e estatística; e a intuição que ganhei naquela época certamente ajudou depois na matemática da universidade
A Axiom Maths está tentando trazer o conceito de círculos de matemática para o Reino Unido e oferece apoio e materiais para que escolas possam operar seus próprios círculos
Ela é tocada por uma equipe com profunda experiência em educação matemática, como o diretor fundador da King’s Maths School; essa escola é uma das sixth forms públicas de melhor desempenho no Reino Unido
https://axiommaths.com/how-we-work/
https://nrich.maths.org/about-nrich
Também há o https://parallel.org.uk/ de Simon Singh, mas ele mira aproximadamente crianças de 10 anos ou mais
O livro de Rozhkovskaya tem atividades muito boas https://www.amazon.co.uk/gp/product/1470416956
O livro de Zvonkin tratado no texto é motivador por seus relatos francos, como aulas que deram completamente errado ou ele recortando pedaços de papel tarde da noite, mas acho bem difícil usá-lo como material didático de fato
A diferença cultural central está no fato de que, nos EUA, direito e negócios são mais valorizados do que matemática e física
O lugar que uma criança inteligente ainda mira é a Harvard Law School; o MIT vira objetivo quando ela é boa e realmente apaixonada por essa área
Na França, entrar na Polytechnique, a escola de engenharia criada por Napoleon, é visto como o caminho de maior prestígio, o que culturalmente empurra as crianças para o estudo de matemática
Se a criança não tem aptidão nem gosto por matemática, será que a empurram para a ENA?
O maior problema no ensino de matemática é que, depois de aprender a teoria, não se volta a ensinar como montar um plano para resolver problemas na prática
Por exemplo, mesmo aprendendo várias técnicas para resolver integrais, não se constrói junto uma estratégia prática para decidir, diante de um problema, qual ferramenta usar
Por isso, a principal emoção que os alunos associam a problemas de matemática não é confiança, mas medo. Cada problema parece algo como “será que vai dar, ou vou ficar horas perdido sem nem encontrar a resposta?”
Se o professor precisa sentar o aluno e explicar exatamente em quais situações aplicar cada fórmula para técnicas básicas de integração, então acho que ele não aprendeu direito
Tirando grandes macetes como substituição por u, ensinar diretamente procedimentos mecânicos específicos de integração provavelmente teria sido, para mim, uma forma de aprendizagem desconfortável
Quando meu filho tinha três anos, descobri este livro maravilhoso e, embora o autor avise várias vezes que aquilo é “um diário, não um guia”, comecei a lê-lo tentando fazer algo parecido.
Infelizmente, não por causa do livro em si, mas porque me distraí com outras coisas, não consegui terminar; agora meu filho já passou dos sete anos.
Ainda assim, a parte que li foi realmente prazerosa.
Outros currículos de círculos de matemática, mesmo sendo menos inspiradores, são bem mais fáceis de acompanhar.
Acho equivocada a premissa básica de que qualquer coisa era melhor na União Soviética.
Eles despejavam uma proporção muito maior do PIB nas áreas militar e espacial, e a vida na Rússia era miserável.
Tinham tanques, armas nucleares e foguetes, mas não havia empresas que tornassem a vida das pessoas melhor; foi isso que sustentou a Guerra Fria e, no fim, levou ao colapso.
Se a premissa básica está errada, não adianta procurar pistas em lugar nenhum.
Já apareceu aqui há 6 e 10 anos, com alguns comentários.
https://hn.algolia.com/?q=Math+from+Three+to+Seven
Este livro e a cultura por trás dele tiveram bastante influência, então quem já fez atividades “avançadas” provavelmente já encontrou muitas das atividades do livro.
O exemplo mais famoso talvez seja fazer programação introdutória do Scratch JR / code.org com papel e lápis.
Math from Three to Seven: The Story of a Mathematical Circle for Preschoolers [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=17018583 - May 2018 (20 comments)
Math from Three to Seven: Chapters One and Three [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=8811334 - Dec 2014 (21 comments)
A União Soviética de fato era o país que mais lia livros no mundo.
Segundo uma pesquisa mundial de 1966, os cidadãos soviéticos liam livros, jornais e revistas em média cerca de 11 horas por semana, aproximadamente o dobro das pessoas no Reino Unido, na América do Norte e na França.
Para o objetivo de formar talentos científicos, ler romances talvez ajude tanto quanto assistir TV.
Às vezes, quando comparo entrevistas de rua antigas com entrevistas de rua atuais, a diferença é completa.
Até bêbados da classe trabalhadora em bares no período do colapso, no fim dos anos 80, pareciam falar melhor e ser mais intelectuais do que as pessoas de hoje.
Seja por causa de Putin, da emigração ou do capitalismo, acho que houve uma regressão séria das massas.
O final do texto acaba compensando bastante o restante.
No segundo círculo de matemática, as crianças eram diferentes, com aptidões e interesses diferentes, então as anotações anteriores se tornaram todas inúteis, e as primeiras aulas que ele tentou fracassaram.
Zvonkin, que cresceu em uma sociedade comunista e acreditava na maleabilidade absoluta da natureza humana, parece ter ficado bastante chocado ao ver que as diferenças apareciam desde uma idade muito precoce.
Lendo nas entrelinhas, o primeiro grupo de crianças teve bastante sorte, o segundo era muito mais difícil de ensinar e, cerca de um ano depois, ele desistiu, com o diário terminando abruptamente.
“Um professor comum que tira pontos porque a resposta não foi escrita no formato definido” — o professor de matemática dos meus filhos é exatamente assim, e isso é realmente frustrante.
Mas, na prática, acabam obrigando-as a usar cada um dos métodos predefinidos, mesmo quando eles não têm nada a ver com a tarefa.
Se a criança se desvia do método especificado para aquele problema, está errado, e não é permitido criar sua própria variação de método.
No fim, parece que os professores aprenderam que as crianças devem usar métodos diferentes, mas não aprenderam por quê.