Reflexões sobre o que funcionou em um círculo de matemática

 (buttondown.email)
3 pontos por GN⁺ 2023-08-28 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • Em um círculo de matemática realizado por cerca de 7 meses com 7 crianças de 7 a 8 anos, ficou clara uma grande diferença entre os temas que os adultos imaginavam ser interessantes e aqueles em que as crianças realmente mergulharam
  • Atividades visuais e manipulativas como SET, quebra-cabeças de dobrar e cortar, tesselações, flexágonos e construções com régua e compasso não funcionaram tão bem quanto o esperado, enquanto problemas com narrativa, como os quebra-cabeças de mentirosos, tiveram uma reação forte
  • Só formas geométricas ou padrões numéricos faziam o interesse esfriar rapidamente, mas em situações com suspeita e pistas, como “quem é o mentiroso?”, as crianças passaram a analisar possibilidades e contradições, desenvolvendo uma intuição de prova
  • O problema das Seven Bridges começou como uma história, mas, ao tentarem encontrar por conta própria o menor problema impossível de pontes, as crianças vivenciaram a simplificação do problema e a retomada gradual da complexidade
  • Deixar a matemática falar por si pode funcionar para grupos que já têm interesse, mas para crianças sem apreço prévio pela área é preciso mais enquadramento narrativo envolvente

Diferenças de interesse reveladas em 7 meses de círculo de matemática

  • O grupo era formado por 7 meninos e meninas entre 7 e 8 anos, e após cerca de 7 meses de círculo de matemática houve uma reflexão sobre o que de fato funcionou
  • Havia uma grande distância entre os temas matemáticos que pareciam atraentes do ponto de vista adulto e os temas nos quais as crianças realmente se concentravam

Atividades que, ao contrário da expectativa, não funcionaram bem

  • As atividades abaixo pareciam promissoras, mas na prática chegaram perto de fracassar
  • Geometria em especial teve pouca receptividade, e problemas sobre a área de figuras arbitrárias ou regiões sombreadas eram difíceis de envolver em uma história interessante
  • As tesselações não pareceram bonitas para as crianças, e nas atividades de dobrar-cortar e de flexágonos houve muita frustração por falta de habilidade manual para cortar e dobrar papel com precisão suficiente

Temas que fizeram sucesso de forma inesperada

  • Houve atividades que se imaginava que as crianças não gostariam, mas que na prática provocaram grande reação
    • Knights and Knaves puzzles, além de temas de lógica proposicional como os blue-eyed islanders
    • montar manualmente a tabela de partidas de um torneio esportivo em formato round-robin e reduzir o tempo total de atraso do torneio
      • No começo o cenário era um torneio de futebol, mas como a criança que mais gostava de futebol faltou naquela semana, virou uma competição de dança e ficou mais divertido
    • o problema das Seven Bridges e encontrar o menor problema de pontes “impossível”
    • decidir quem é melhor em pênaltis a partir do número de acertos e erros
    • construir diretamente padrões do tipo triângulo de Pascal
  • Também houve atividades que agradaram como já se esperava
    • jogo da Function Machine: adivinhar uma função que pode ser consultada como uma caixa-preta
    • variações de Nim
    • The Turing Tumble
    • divisão justa de bolo usando cookies reais e coberturas distribuídas de forma desigual
    • jogos de teoria dos jogos como o dilema do prisioneiro e Chicken
    • preparar um mocktail para 3 pessoas com base em uma receita para 1 copo e outra para 5 copos
      • Era um exercício com frações, e as unidades de medida eram em quartos de onça

Como a estrutura de história gerou participação

  • Em Attention spans for math and stories, texto escrito em 2019, foram reunidas experiências de usar storytelling para fazer as crianças participarem e se sentirem acolhidas no grupo
  • Ao ler a literatura sobre círculos de matemática, o autor passou a aceitar a ideia de que “a matemática deve falar por si”, e em algumas sessões o storytelling não funcionou bem
  • Nessa abordagem, o facilitador começa com um mistério aberto, como “será que dá para desenhar uma figura perfeita?”, e depois espera em silêncio até que os participantes façam perguntas e explorem por conta própria
  • Essa abordagem pode servir para alunos mais velhos ou que já tenham algum interesse por matemática
  • Na prática, o grupo era formado por crianças típicas de classe média alta que iam ao círculo de matemática depois do treino de futebol e, quando ficavam entediadas, começavam a fazer bagunça ou brincar de luta
    • As crianças nunca tinham jogado “Among Us”, mas viviam chamando coisas de “sus”
    • Mesmo padrões numéricos não despertavam muito interesse se não fossem envolvidos em um formato mais imersivo

Como Knights and Knaves ajudou a criar uma intuição de prova

  • O cenário de “uma das duas pessoas é um mentiroso descarado e é preciso descobrir quem é com base nas pistas do que foi dito” funcionou muito bem
  • O primeiro quebra-cabeça de Knights and Knaves foi conduzido escrevendo as falas de Alice e Bob em papel e prendendo-as em canudos plásticos, como se fossem placas
    • Alice: Bob is a liar!
    • Bob: Neither of us are liars
  • As crianças imediatamente disseram quem parecia mais “sus”, e no início acharam Alice suspeita por ter acusado Bob
  • Ao longo da discussão, perceberam que as falas de Alice e Bob eram contraditórias, então os dois não podiam estar dizendo a verdade ao mesmo tempo
    • As crianças não conheciam a palavra “contradição” e frequentemente chamavam isso de “opposites”
  • Ao analisar os casos possíveis, inicialmente pensaram que havia 2, mas chegaram à conclusão de que eram 4
    • ambos são mentirosos
    • Alice é mentirosa, Bob fala a verdade
    • Alice fala a verdade, Bob é mentiroso
    • ambos falam a verdade
  • Depois de examinar cada caso, chegaram a um consenso de que a única possibilidade era Alice dizer a verdade e Bob mentir
  • Quando se tentou passar ao próximo quebra-cabeça, as crianças perguntaram se tinham acertado o primeiro, e ao ouvir “vocês acham que acertaram?” demonstraram falta de confiança
  • Depois disso, decidiram continuar pensando até que todos tivessem certeza pela prova, e mais tarde uma criança chegou a dizer: “Não, esse caso a gente já provou!”

Mudanças posteriores vistas em Seven Bridges e nos flexágonos

  • O problema Seven Bridges of Königsberg começou com uma história, mas as crianças rapidamente deixaram a narrativa de lado e focaram no desafio em si
  • Em sessões posteriores, quiseram revisitar o problema e tentar encontrar o “menor problema impossível de pontes”
  • Elas não conseguiram resolver o problema original, mas ficou claro o movimento de simplificar o problema, torná-lo menor e, a partir de um ponto resolvível, voltar a acrescentar complexidade
  • A atividade de fazer flexágonos foi mal recebida, mas no presente de encerramento da sessão foi entregue um hexaflexagon baseado em template, com imagens coloridas e bem distintas em cada face
  • Algumas semanas depois, o pai de uma criança contou que ela estava obcecada por aquele hexaflexagon e que só recentemente havia descoberto a sexta face
  • Se o movimento de um flexágono também for desenhado como um mapa, assim como o diagrama das Seven Bridges, fica mais fácil ver com clareza todo o espaço de configurações

A abordagem necessária ao iniciar um novo grupo

  • Com o tempo, esse grupo também está se acostumando pouco a pouco a apreciar matemática pela própria matemática
  • Se fosse para recomeçar com um novo grupo de crianças sem apreço prévio por matemática, seria necessário planejar com mais intenção a apresentação dos problemas dentro de histórias envolventes

Leituras relacionadas

1 comentários

 
GN⁺ 2023-08-28
Comentários do Hacker News

  • Essas crianças são realmente extremamente sortudas por terem contato com esses conceitos e problemas, numa idade tão jovem, por meio de um professor motivado.
    Mesmo entre pessoas que trabalham como professores de matemática no K-12, provavelmente não há muitas que conseguiriam ensinar bem esse currículo; pelo blog do autor, parece que ele não fez isso por muito dinheiro — fez de graça — e, na verdade, tentou convencer outros pais a fazer seus filhos participarem: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
    Na educação matemática existe uma grande lacuna de privilégio que não é muito conhecida por quem está fora da matemática. Um aluno que segue apenas o currículo padrão ou acelerado tende a estar menos preparado para uma carreira em matemática do que um aluno que, desde cedo, teve contato com esses conceitos não padronizados por meio de aulas particulares, escolas para superdotados ou pais matemáticos.
    O currículo padrão, até mais ou menos o segundo ano da universidade, é quase todo focado em cálculos decorados e, de repente, muda para problemas em aberto e provas; já o mundo em que vivem os matemáticos profissionais exige a capacidade de aplicar lógica de forma criativa. Alunos que recebem esse tipo de exposição desde cedo passam por essa transição com muito mais facilidade e também começam cedo a acumular ativos para uma carreira em matemática, como artigos e resultados em competições.
    Outros pais podem não saber disso, mas o OP está oferecendo um serviço muito valioso, difícil de encontrar em algumas regiões e pelo qual alguns pais estariam dispostos a pagar caro.

    • Só quando fui para a universidade e, depois, para um doutorado em uma área adjacente à matemática, e passei a estar cercado por pessoas que tinham feito atividades avançadas no estilo de círculos de matemática durante toda a infância, é que pensei pela primeira vez que meu ambiente de crescimento havia sido desfavorável.
      Eu não era ruim em matemática, mas também não era especialmente precoce; representei minha escola do ensino fundamental II algumas vezes em competições regionais de matemática, mas sem grandes resultados. Olhando para trás, parece um pouco estranho que não houvesse absolutamente ninguém me ajudando a me preparar.
      Nos últimos um ou dois anos, passei a pensar mais nisso e transferi uma parte considerável das minhas doações para programas do tipo círculo de matemática. A verificabilidade é menor do que nas causas de altruísmo eficaz anteriores ao longtermismo, mas acho que esse pensamento matemático é extremamente valioso e difícil de adquirir sem programas assim.
    • A ideia de que um aluno que segue apenas o currículo padrão ou acelerado fica menos preparado para uma carreira em matemática pode variar conforme a cultura.
      Lembro de uma história na França em que perguntaram a um aluno do segundo ano quanto era 2×3, e ele, conhecendo apenas a propriedade comutativa da multiplicação, respondeu “3×2”.

  • Se você quiser participar de um círculo de matemática online como pai/mãe ou potencial instrutor, veja https://theglobalmathcircle.org.
    Jeremy, o autor deste texto, também se formou no programa de treinamento deles.

  • O jogo da máquina de funções eu vi no HN e testei quando meu filho tinha 6 anos; ele adorou.
    Quando ele aprendia operações matemáticas mais avançadas, eu as adicionava à caixa de ferramentas; ao invertermos os papéis, se ele conseguia responder corretamente às minhas consultas, eu sabia que ele havia entendido o conceito.

  • Se esse tipo de atividade despertou seu interesse, há algumas opções pagas semelhantes, embora não muitas.
    Equipe de matemática pós-aula para crianças de 7 a 11 anos em San Francisco: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
    Círculos de matemática no contraturno em algumas escolas do SFUSD: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
    Organização remota sem fins lucrativos 501(c)(3) que oferece sessões semanais online de matemática competitiva para alunos do ensino fundamental e médio: https://mrmathonline.com/
    Se você procura algo entre aulas e círculos, vale dar uma olhada na Engaging Math Circles(https://emc.school) ou na Russian School of Math(RSM).

  • Para saber mais sobre círculos de matemática, há este material: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf

  • Como observação paralela, posso recomendar Mammoth Math para crianças.
    https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...

  • Embora a faixa etária seja diferente, já consegui despertar o interesse de alunos do ensino médio usando mineração de Bitcoin como tema.
    Foi uma atividade de cerca de 15 minutos em um seminário de criptografia, depois de uma aula sobre blockchain.
    Originalmente, o algoritmo de prova de trabalho do Bitcoin consiste em alterar uma entrada intermediária do hash para que o resultado comece com vários zeros binários; isto é, encontrar um x tal que sha256(sha256(a || x || b)) < H. Simplifiquei isso para x^2 % N < 10^H, permiti o uso de calculadoras e computadores, e deixei que N e H fossem alterados livremente.
    Os alunos se divertiram muito; acho que foi porque, em comparação com quebra-cabeças antigos, o tema era atual, havia competição entre eles, a recompensa era meio aleatória — dando vantagem a equipes mais rápidas ou mais espertas —, a recompensa eram “Bitcoins físicos” na forma de moedas de chocolate, e, embora fosse quase possível vencer por força bruta, havia muitos atalhos a descobrir.

  • É uma pena que as construções com régua e compasso não tenham despertado o interesse das crianças.
    Como agora estou digitalizando uma tradução hebraica dos Elementos de Euclides, eu esperava que o lado físico, quase como uma aula de artes, fosse mais interessante do que o conteúdo teórico, e que o fato de ser independente de números também parecesse menos intimidador do que uma aula comum de matemática.
    Acho que os Elementos de Euclides têm valor educacional além de sua importância histórica, mas talvez eu estivesse errado em pensar que, para a maioria das crianças, eles seriam mais divertidos em um contexto educacional.
    Se houver crianças interessadas em um esporte específico, uma atividade para decidir quem bate melhor pênaltis com base no número de gols e erros é uma boa forma de ensinar álgebra linear. "Who's #1? - The Science of Rating and Ranking" trata em detalhe de vários métodos de avaliação e ranqueamento, e foi uma das leituras obrigatórias do meu mestrado em ciência de dados.

    • Se você tiver interesse e ainda não conhecer, há uma digitalização visualmente bonita dos Elementos de Euclides: https://www.c82.net/euclid/#books
      Só não sei se é a melhor opção para estudar. Em geral, o essencial é interagir ativamente com o material, fazendo as construções por conta própria, sem modelos, mas as regras que funcionam com crianças podem ser diferentes.
      Fico até contente que as crianças tenham se interessado por lógica proposicional, porque isso pode servir de base para um pensamento consistente. Eu também, como o autor, esperava que elas fossem gostar mais de atividades manuais.
    • Pela descrição do texto linkado, parece que falta uma “história” matemática à geometria euclidiana.
      Para começar, qual era a motivação original das construções com régua e compasso? Ideias como completude, simetria e construtibilidade são todas bastante abstratas.
      https://www.euclidea.xyz/ foi divertido, mas eu também gosto de desenhar padrões Girih e não tenho 8 anos.
    • Só fui perceber a beleza das construções com régua e compasso no começo do ensino médio; aos 7 anos, acho que eu não teria entendido plenamente a beleza de extrair um sistema enorme a partir de axiomas.
      Para mostrar Euclides às crianças de um jeito divertido, lembro que o jogo Euclidea era bom: https://www.euclidea.xyz/
    • Lembro de ter aprendido geometria hiperbólica e geometria esférica no ensino fundamental II, e foi bem legal.
      Não tanto pelo aspecto axiomático, mas pelas perguntas que abalavam pressupostos matemáticos, do tipo “quantas retas podem passar por dois pontos? Como você quiser!”, e pelos diagramas interessantes. O modelo do plano projetivo de Fano e o modelo do disco de Poincaré também eram interessantes, e havia animações e software interativo.
      Mesmo assim, depois de mais ou menos uma semana enjoei. Uma sessão de umas 2 horas dedicada a várias geometrias e construções parece uma boa medida.
      A geometria axiomática no estilo dos Elementos de Euclides é interessante e pode fazer sentido no ensino médio. Antes de aprenderem álgebra, é difícil que os alunos tenham uma boa noção de como partir de pequenos pontos iniciais para chegar a equações ou provas, e a geometria analítica é muito mais prática. Além disso, há coisas que simplesmente não são construtíveis com régua e compasso.
    • Não sei exatamente como as construções com régua e compasso foram conduzidas, mas um jogo chamado Euclidea pode ser interessante.
      A progressão de fases, o sistema de pontuação e a forma de resolver demonstrações para abrir novas “ferramentas” eram muito bem feitos.
      https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...

  • Gostaria de acrescentar contar até 1000 com os dedos como atividade para ensinar crianças de idade parecida.
    Para programadores isso é natural, mas há elementos centrais que ajudam no ensino de matemática.
    A pergunta “você sabe contar até 1000 com os dedos?” parece mágica ou superpoder para as crianças, então elas acham divertido. No começo, mostro como contar até mais ou menos 20, passando rapidamente pelo 4 e pelo 6. Depois peço que prevejam uma configuração específica dos dedos que ainda não foi mostrada e, se falharem, mostro de novo.
    Quando elas pegam o padrão, faço um quiz perguntando qual é o número com todos os dedos estendidos. Em geral travam, mas, se dou a dica “e se houvesse mais um dedo, e só esse dedo estivesse estendido enquanto todos os outros estivessem dobrados, que número seria? Dá para descobrir outro número a partir disso?”, elas quase sempre resolvem, mesmo levando algum tempo.
    A beleza está na baixa barreira de entrada. A criança só precisa saber multiplicar por 2 e conhecer os nomes dos números até 1024. Ao mesmo tempo, isso permite ensinar múltiplas representações, formalização voltada a um objetivo e a sensação de ganhar um “superpoder” ao sair das expectativas comuns das pessoas.
    O quebra-cabeça acima também mostra que encontrar padrões ajuda a resolver problemas melhor. Em vez de usar uma abordagem de força bruta somando o valor de cada dedo, dá para usar um ponto de referência, já que a posição da dica está apenas a uma distância da posição desejada. Ponto de referência é um conceito muito importante em matemática e está na raiz de muitas soluções famosas de problemas.
    Indo mais fundo, também dá para falar de provas e projeto de algoritmos. Dá para explicar o algoritmo como uma prova por indução. No passo inicial, a palma da mão fica voltada para o usuário e todos os dedos ficam dobrados; começando pela direita, incrementa-se o dedo mais à direita. No enésimo passo, começando pela extremidade direita, se o dedo estiver dobrado, ele é estendido; se estiver estendido, ele é dobrado e então o próximo dedo à direita é incrementado recursivamente sob a mesma condição.
    Para qualquer “jogo”, funcionava bem tomar como centro aquilo de que a criança mais gostava. Se ela tinha dificuldade em um jogo, eu usava outro jogo em que ela era boa para ensinar o jogo difícil. No fim, matemática é uma linguagem, e muita coisa pode ser reformulada.
    Vejo uma das dificuldades no fato de muita gente internalizar a matemática como algo rígido demais. Quando se ensina “este é o jeito certo” e não se reconhecem outros métodos, a capacidade de generalizar conceitos diminui. Problemas com enunciado tentam resolver isso, mas parecem uma abordagem de força bruta mais próxima de ensinar uma máquina do que uma pessoa.
    Soma-se a isso o fato de que, muitas vezes, em uma idade jovem, aprende-se com pessoas que não têm paixão por matemática. Essa indiferença passa do professor para o aluno. Muita gente deve se lembrar do frescor que foi ter a sorte de encontrar um professor que amava matemática e incentivava seu lado criativo. Eu também era bom em matemática e estava em turma avançada, mas a detestava até encontrar uma aula assim no segundo ano do ensino médio.

    • É preciso tomar cuidado ao brincar desse jogo com crianças. Meus filhos começaram a gritar “645!” uns para os outros.

  • No ano passado, ensinei SET junto com minha filha para a turma de 1º ano dela. Eu fiz a maior parte do planejamento pedagógico, mas as crianças conseguiram aprender e também demonstraram interesse
    Não era um ambiente de círculo de matemática, e sim uma aula para a turma inteira; seria interessante observar quais são as diferenças

    • SET é um jogo de que gosto desde mais ou menos os 5 anos, e me lembro de tê-lo levado para a sala de aula no 1º ano, no “dia do jogo de tabuleiro favorito”. Por isso, achei realmente surpreendente que as crianças não tenham gostado
      Também há muita matemática que dá para fazer com esse jogo. Dá para começar por aritmética modular simples e trabalhar o conceito de abstrair atributos como 0, 1 e 2. Indo um pouco além, também dá para falar de teoria dos grupos e de como o jogo corresponde a Z3^4, ou seja, quatro cópias de Z3
      Se houver interesse por teoria dos grupos, dá para imprimir e usar jogos de cartas parecidos que representem outros grupos, e abordar os axiomas de grupo, como o jogo representa um grupo e por que isso faz sentido
      Também dá para apresentar um pouco de programação. Usando a propriedade invariante de que a definição de um conjunto é sum c_i = 0 para todo i, dá para explicar como ensinar esse jogo ao computador. Também é fácil generalizar a duração do jogo adicionando ou removendo características como a cor de fundo das cartas
      De todo modo, esse jogo é excelente
    • Joguei Set com meu filho quando ele tinha cerca de 6 anos e meio, e ele gostou de cara
      Depois de algumas partidas, ele passou a encontrar sets tão rápido quanto nós, mas sua habilidade e seu interesse variavam conforme a distração ou o cansaço
      Se você quiser um jogo de Set para jogar sozinho, há uma boa versão open source: https://playset.netlify.app/
      Ali, a “IA” encontra respostas aleatoriamente. No modo fácil, a cada 2 segundos ela escolhe aleatoriamente duas cartas visíveis e verifica se a carta necessária para completar o set está na tela
      Se uma criança estiver tendo o primeiro contato com Set, talvez seja bom ajustar o intervalo para cerca de 5 segundos. Claro que Set é mais divertido quando se compete com outras pessoas