Prólogo de ‘Calculus Made Easy’: cálculo pode ser aprendido com mais facilidade do que parece
(calculusmadeeasy.org)- Este prólogo parte do fato de que muitas pessoas conseguem fazer cálculos de cálculo, e afirma que aprender os mesmos métodos não precisa ser necessariamente difícil nem entediante
- Em cálculo, coexistem métodos muito simples e partes muito difíceis, e faz a distinção de que não é preciso encarar tudo como difícil desde o início
- Critica os livros didáticos de matemática avançada por tratarem os cálculos fáceis de forma complexa, como se quisessem exibir a esperteza do autor, em vez de mostrá-los de maneira simples
- O narrador se descreve modestamente como um “remarkably stupid fellow” e diz que mostrará aos leitores na mesma situação as partes que não são difíceis que ele próprio removeu do caminho
- Ao dominar bem as partes fáceis, o restante também pode ser acompanhado, e a frase “What one fool can do, another can” enfatiza a possibilidade de aprender
O grau de dificuldade do cálculo segundo o prólogo
- Cálculo não é um campo em que todas as partes sejam igualmente difíceis; há métodos fáceis e métodos muito difíceis
- O fato de muitas pessoas conseguirem fazer os cálculos serve como base para a ideia de que outras também podem aprender os mesmos métodos de cálculo
- Os livros didáticos de matemática avançada são criticados por tenderem a tratar de forma complexa as partes fáceis, em vez de explicá-las com simplicidade
A atitude de estudo recomendada ao leitor
- O narrador diz que ele mesmo passou por um processo de remover as dificuldades
- Este livro adota a posição de que se deve aprender primeiro as partes que não são difíceis e, quando essa base estiver suficientemente sólida, o restante também virá
- A frase final, “What one fool can do, another can”, condensa a ideia de que aquilo que uma pessoa consegue fazer, outra também pode aprender
1 comentários
Opiniões no Hacker News
Cerca de 10 anos depois de sair da escola, voltei a me interessar por aulas de física, peguei um livro de mecânica clássica e também acabei revisando álgebra linear básica
Mas fiquei surpreso ao ver que vários livros didáticos tratavam apenas do procedimento para calcular o produto interno de vetores, e quase não falavam por que ele é importante — por exemplo, por ser útil para avaliar a semelhança entre dois vetores
Só depois de conversar com o ChatGPT sobre o significado é que aquilo fez sentido para mim, e hoje gosto de poder diminuir o ritmo em relação à época da faculdade e segurar bem os conceitos antes de seguir em frente
A maioria dos livros de matemática que leio tende a mostrar procedimentos mecânicos, mais do que o significado geral, então passei a me perguntar onde encontrar livros que ofereçam explicações semânticas melhores dos conceitos
Lembro de ter aprendido o procedimento para calcular autovetores, mas de nunca ter ouvido uma palavra sobre por que alguém iria querer aquilo
Para explicar direito, talvez os objetivos das disciplinas precisem ser definidos com mais humildade, em vez de algo como “ensinar cálculo, álgebra linear e mecânica quântica”
Depois daquele dia, perdi a motivação por matemática; anos mais tarde, quando descobri que integrais têm relação com a área sob a curva e o quanto elas são úteis, fiquei com raiva de novo
A maioria dos professores provavelmente se esforça com boas intenções, mas certamente há também pessoas tão ruins que nunca deveriam voltar a entrar numa sala de aula
Até então, era apenas mais um conceito abstrato ligado a outros conceitos abstratos que eu precisava memorizar para passar na prova
Ainda hoje, quando leio artigos sobre coisas como relações de álgebra abstrata, fico frustrado quando eles apenas listam relações simbólicas, sem sequer uma ou duas frases sobre como pensar intuitivamente naquele conceito
Dentro do jogo da matemática, esse ponto de vista deve se tornar natural, mas muitas pessoas aprendem matemática com motivações adicionais e querem uma perspectiva que mostre a utilidade prática ou a conexão com a realidade
Só mostrar um exemplo concreto de um conceito abstrato já permitiria que muito mais leitores inteligentes e interessados entendessem artigos de matemática
Só fui entender cálculo de verdade depois de ler o excelente livro Infinite Powers, de Steven Strogatz; ele explica não apenas o porquê, mas também a história por trás desse porquê
Para mim, é um livro nota 10
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
Os livros de física de nível introdutório que vi apresentavam o produto interno tanto pela definição geométrica quanto pela definição algébrica, e mostravam que as duas eram iguais em 2 ou 3 dimensões
Se o “como” é a definição algébrica, o “porquê” corresponde à definição geométrica
Em física, o produto interno é importante não para medir semelhança, mas porque informa comprimentos e ângulos; em espaços mais abstratos, o produto interno às vezes se torna a própria definição de comprimento e ângulo
Em aprendizado de máquina, é preciso ter uma definição de semelhança, e ela pode ser formulada como um ângulo pequeno entre dois vetores, daí essa perspectiva entrar
Uma medida de semelhança mais tradicional é o comprimento da diferença, isto é, a distância, e isso também é calculado com o produto interno
Lido com cálculo há 20 anos, na escola, no trabalho e como hobby, e sempre fico contente e sorrindo quando vejo textos assim
Quando a exposição é bem feita, parece que uma intuição acumulada ao longo de anos consegue ser transmitida em poucos minutos
Explicações como “(dx)^2 é um pedacinho minúsculo de x dentro de outro pedacinho minúsculo” também se tornaram um pilar central para meu sofrimento recente de dezenas de horas tentando entender cálculo estocástico ao menos no básico
Ao ver materiais assim, penso que a humanidade está progredindo, porque as novas gerações têm acesso a esse tipo de informação e podem aprender mais rápido
Mesmo hoje, parece difícil que isso mude muito
Parte disso tem relação com antigas controvérsias, muitas vezes filosóficas e teológicas, em torno do status ontológico dos infinitesimais
O quociente de diferenças se tornou a formalização oficial do cálculo diferencial, mas na prática quase nunca é usado desse jeito; no mundo real, o cálculo é usado daquela outra forma
Na prática, ainda se usa a notação improvisada de infinitesimais, mas ela é um objeto estranho com regras próprias, e poucas pessoas de fato conhecem essas regras
A análise não padrão permite tratar infinitesimais quase segundo as regras algébricas comuns, mas não sei se ela é menos usada por causa de problemas técnicos e filosóficos fundamentais ou simplesmente por conservadorismo
Cálculo estocástico é realmente esquisito; por exemplo, nunca entendi a formulação “correta” do filtro de Kalman em tempo contínuo
Se você olhar como um limite em que o intervalo de tempo vai a zero, dá para obter o resultado correto com alguns ajustes, mas entendo que, formalmente, isso não é exato
Para quem está fazendo cálculo no processo de ingresso na universidade, esse tipo de panfleto de aprenda cálculo facilmente parece irritantemente batido
A parte difícil não são os conceitos de nível mais alto, mas sim o conhecimento de base necessário para resolver problemas reais de cálculo
Para mim, a parte mais difícil é, primeiro, ter um domínio realmente sólido dos pré-requisitos, o bastante para resolver problemas inesperados que vão de completar quadrados e divisão longa de polinômios até equações com derivadas
Segundo, é entender e aplicar corretamente a notação e as técnicas gráficas, da notação de Leibniz ao esboço de curvas
É por isso que existem livros grossos e cursos que tratam só de cálculo introdutório, sem nem arranhar a superfície da matemática mais avançada
A menos que você tenha lido só a página HTML, trata-se de um livro em volume único publicado em 1910 por Silvanus P. Thompson, bem avaliado o suficiente para ter sido reeditado por Martin Gardner em 1998, e cuidadosamente recomposto em TeX por voluntários para virar um site
Ele atende a uma necessidade clara e não é simplesmente um panfleto “batido”
Dito isso, há quem não recomende a edição de Gardner por achar que duas personalidades fortes entram em choque nela
Pessoalmente, recomendo a Khan Academy, e acho bom refazer todo o currículo de matemática do ensino médio
Quando eu estava numa situação parecida, assisti ao material da Khan que havia no YouTube; minhas notas no ensino médio eram boas, mas a escola não era boa e eu tinha pulado muita base, então não estava nem um pouco preparado para estudar matemática de verdade
Sempre que um professor ou monitor mostrava, numa expressão complicada, “aquele truque óbvio que você conhece de álgebra”, muitas vezes era a primeira vez na vida que eu via aquilo
Ao aprender cálculo, não há muito caminho além de estudar por conta própria álgebra, geometria e trigonometria de novo
Se sua habilidade em álgebra é fraca, você não consegue lidar com equações de cálculo, e a solução não está em “cálculo fácil”, mas em “álgebra fácil”
No ensino médio eu resolvia problemas de cálculo bem, mas quase não entendia o que limite realmente era
Foi um choque enorme na universidade quando entendi a definição de limite e os teoremas fundamentais construídos sobre ela
Para a maioria das pessoas que não precisa resolver problemas matemáticos complexos todos os dias, o ponto central de aprender matemática não é a capacidade de resolver problemas mecanicamente, mas entender conceitos e ideias matemáticas que formam a capacidade de pensar como um todo
Que parte da álgebra é necessária? Você precisa descobrir por conta própria
Esse é um grande obstáculo quando se aprende matemática de trás para frente: a cada esquina aparece uma peça faltando, e essa peça leva a outra peça faltando
O caminho de subir dos fundamentos ao avançado é frustrante porque os músculos matemáticos crescem devagar demais; o caminho de descer de cima para baixo também é lento e frustrante
Só entender conceitos não faz você ficar bom em matemática, e é fácil se enganar achando que “entendeu” antes de resolver alguns problemas
Só depois de repetir problemas de níveis mais baixos o suficiente para transformá-los em memória muscular é que dá para subir ao próximo nível
Ainda assim, em algum momento chega um ponto de inflexão em que a dor e a sensação de toca de coelho diminuem bem rápido; a prática repetida começa a compensar, e o próximo conjunto fica um pouco mais fácil
Com programação é a mesma coisa: só conhecer o conceito de laços não faz você escrever de forma eficiente um código para ordenar arrays; é preciso usar bastante a sintaxe e os laços e depois praticar algoritmos de ordenação repetidamente até incorporar
Ao passar por esse processo, os mesmos conceitos aparecem repetidos em variações diferentes e começam a ser assimilados em cada vez menos tempo
É por isso também que muita gente simplesmente desiste e aceita que não tem genes para matemática
Outro livro para ler sobre cálculo é The Calculus: A Genetic Approach, de Otto Toeplitz
Ele segue um percurso parecido, e achei uma leitura agradável
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
Eu “sabia” cálculo o suficiente para tirar boas notas nas matérias de matemática do ensino médio e da engenharia, mas só senti que realmente sabia cálculo depois de ler livros como “A Course of Pure Mathematics”, de 1908
Esse livro parte da teoria dos números e constrói o cálculo a partir daí, e, se me lembro bem, o teorema fundamental do cálculo aparece mais ou menos no meio do livro
Aprender assim torna difícil esquecer
A meu ver, a razão pela qual hoje não se ensina desse jeito é que o sistema de provas e as salas de aula grandes incentivam memorizar temporariamente fórmulas centrais e saber onde aplicá-las mecanicamente, em vez de uma compreensão profunda e duradoura do significado
Também contribui o fato de que o professor de matemática muda todo ano, fazendo com que o nível de compreensão dos pré-requisitos para a disciplina do ano seguinte varie muito entre os alunos, e que o começo de cada unidade precise ser gasto com revisão e integração
Para obter uma compreensão rica que dure a vida toda, provavelmente bastaria gastar só 10% a 20% mais de tempo, mas valoriza-se mais a compressão e resultados imediatamente mensuráveis do que o aprendizado real
Encontrar materiais assim me deixa muito feliz, mas também é amargo perceber como é lamentável o estado comum da pedagogia moderna
Nos últimos meses venho estudando fundamentos de álgebra pelo canal do YouTube do Professor Leonard[0]
O objetivo é preencher as lacunas do meu conhecimento antes de voltar a olhar para cálculo
Fazer direito leva bastante tempo, mas hoje tenho muito mais confiança na minha capacidade do que antes, e isso por si só é gratificante e motivador
Antes de começar, eu não fazia ideia de que os buracos no meu conhecimento de álgebra eram tão grandes
O objetivo final é acompanhar sem grandes problemas “Neural Networks: Zero to Hero”[1], de Andrej Karpathy
É pesado começar praticamente do “0” e aprender os pré-requisitos antes de estudar por conta própria aquilo que eu realmente quero aprender, mas acho que pegar um atalho acabaria levando à frustração
Então, aos 38 anos, estou assistindo a aulas de álgebra no YouTube
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
Sempre confundo este livro com Calculus for the Practical Man, que Feynman estudou
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
Acho que, logo no começo, talvez fosse preciso mencionar diretamente o autor Silvanus P. Thompson[1]
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
O link não leva à primeira página onde aparece o nome do autor
Eu achava que o autor estava só usando de propósito um tom exageradamente fofo
O título diz que torna o cálculo fácil, mas, no fim das contas, não há teoria das categorias
Quase dá para ouvir alguém perguntando: “Como isso é possível?!”
O livro foi escrito em 1910, e a teoria das categorias surgiu 50 anos depois, então não tinha como ser diferente
Mesmo assim, não precisa se preocupar
Existe um livro que desenvolve a diferenciação e a integração usuais usando categorias
Não sei o que poderia ser mais fácil que isso, mas, se eu encontrar, aviso
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
Agradeço o esforço, mas, lendo só algumas páginas, sinto que, para alguém aprendendo cálculo pela primeira vez, este não seria o material que eu gostaria de usar
Também não é perfeito para revisão
O autor identifica corretamente os problemas da maioria dos livros “adequados”, mas corrige demais o rumo, o que acaba tornando a compreensão desnecessariamente complicada e talvez até mais difícil do que em alguns livros-texto formais
É prolixo demais, informal demais e bastante difícil de ler e acompanhar
Não preciso de referências a poemas de Dean Swift ou à “época da Rainha Elizabeth”; só quero saber o que é cálculo, por que ele é necessário e como fazê-lo na prática
Isso vale mesmo seguindo uma abordagem de engenharia, que parece mais fácil; e, se for seguir uma abordagem minimamente matemática, acho que ainda é preciso algum grau de formalidade
Matemática é uma área em que é muito fácil achar que entendeu sem ter entendido de fato, e aí você pode ficar sem reação diante de uma falsa prova paradoxal ou de um pedido para provar algo diretamente
Para distinguir uma dedução válida de uma inválida, no fim das contas são necessárias definições formais
Na verdade, os fundamentos formais em si não são nada difíceis de entender
Qualquer pessoa concorda facilmente que x² cresce mais rápido que x e, ao introduzir o conceito de limite, dá para ver por que (dx)² pode ser ignorado em comparação com dx
Para isso, não é preciso comparar semanas e minutos, e esse tipo de analogia pode até desviar a atenção
Acho que ler algumas definições formais exige muito menos paciência do que várias páginas de verborragia “à moda inglesa antiga”
Edit: ah, não era uma “estilização”, era um texto antigo de verdade
Ainda assim, o ponto principal não muda: há materiais modernos muito melhores para aprender cálculo