- Artigo acadêmico que documenta em detalhe a precocidade matemática de Terence Tao, nascido em 1975, por meio de três avaliações diretas realizadas em 1983, registrando como uma criança de 7–8 anos adquiriu de forma autodidata matemática de nível universitário
- Aos 7 anos, frequentava aulas de matemática e física do 11º ano e obteve 60/60 no ACER Operations Test, resultado muito acima da pontuação esperada de 53/60 para alunos médios do 12º ano
- Aos 8 anos, já havia aprendido sozinho a definição de grupo (group) e corpo (field), os princípios e regras do cálculo e até integração por frações parciais; também ficou em 19º lugar entre cerca de 2.000 participantes na olimpíada nacional de matemática do 11º ano da Austrália do Sul
- Demonstrava preferência por resolução de problemas analítica e não visual; no teste de visualização espacial também alcançou 27/30 (média do 12º ano: 24/30), mas apresentou alguma dificuldade em manipular imagens visuais complexas
- Sob uma orientação educacional cautelosa e flexível dos pais, estava planejado seu ingresso no curso de matemática da Flinders University aos 9 anos, em setembro de 1985, enfatizando a importância de um modelo educacional que equilibre as necessidades intelectuais, sociais e emocionais de crianças superdotadas
Introdução e contexto
- Em 27 de abril de 1983, Terence Tao foi apresentado na capa do jornal diário de Adelaide Advertiser com o título "TINY TERENCE, 7, IS HIGH SCHOOL WHIZ"
- Passava 2/5 do horário escolar na Blackwood High School, assistindo a aulas de matemática e física do 11º ano, e o restante na Bellevue Heights Primary School
- Aos 2 anos, aprendeu a ler e escrever sozinho assistindo ao Sesame Street; os professores avaliavam sua capacidade acadêmica como equivalente à de um jovem de 16 anos, mas sua maturidade como a de uma criança de 7
- O professor de matemática do ensino médio comentou que Terence se adaptava muito bem às aulas e terminava as tarefas duas aulas antes dos outros alunos
- Seus hobbies eram computação, kits de eletrônica e leitura de romances de ficção científica (The Restaurant at the End of the Universe, entre outros)
- Seu pai, Dr Billy Tao, era um pediatra nascido na China, e sua mãe, Grace Tao, era formada em física e matemática e nascida em Hong Kong; ambos estudaram na University of Hong Kong e emigraram para a Austrália em 1972
- Terence tinha dois irmãos mais novos, Trevor e Nigel
1ª avaliação (16 de julho de 1983)
- A avaliação começou com uma visita à casa um dia antes do 8º aniversário de Terence
- Ao chegar, Terence estava lendo em um canto do quarto um livro de capa dura intitulado Calculus e, mesmo para uma criança de 7 anos, tinha porte pequeno
- Obteve 60/60, pontuação máxima, em 60 questões do ACER Operations Test
- Segundo o ACER, a pontuação média esperada para alunos do 12º ano era 53/60
- Entre alunos do ensino fundamental muito talentosos testados anteriormente, nenhum havia ultrapassado 57/60, e Terence era a criança mais nova a fazer o teste
- Antes do início do teste, ao ser avisado de que "vai ficando mais difícil conforme avança", Terence respondeu: "Os problemas não vão perceber se eu rir, porque eles não têm ouvidos"
Resolução oral de questões de Krutetskii
- Foram apresentadas por escrito 8 questões retiradas de Krutetskii (1976), pedindo que resolvesse de cabeça e explicasse oralmente seu raciocínio
- Questão 1 (se dois círculos se cruzam): respondeu corretamente, explicando com gestos com as mãos que, se não se cruzassem, a distância entre os centros teria de ser pelo menos 5
- Questão 2 (ângulo girado pelo ponteiro das horas em 20 minutos): "1/3 × 1/12 = 1/36, e 1/36 de 360° é 10°"
- Questão 3 (peso de uma lata de querosene): montou uma equação algébrica e chegou corretamente a 7 kg de querosene e 1 kg para a lata vazia
- Questão 4 (problema de horário): "1 unidade + 3 unidades = 12 horas, 1 unidade = 3 horas, então 3 da tarde"
- Questão 5 (problema de ultrapassagem): primeiro respondeu 35 minutos, depois corrigiu sozinho para 15 minutos
- Questão 6 (comprimento dos lados de um triângulo retângulo): observou que "o terceiro lado seria 1 cm... mas, pelo teorema de Pitágoras, deveria ser √8, então é impossível"
- Questão 7 (contagem de triângulos): respondeu corretamente 8
- Questão 8 (distribuição de cadernos): julgou que não havia informação suficiente para resolver e apresentou várias combinações possíveis
- Concluiu oralmente as 8 questões em apenas 9 minutos; foi o primeiro aluno do ensino fundamental a acertar todas
Definições algébricas e compreensão conceitual
- Ao resolver o ACER Operations Test, mostrou o hábito de anotar leis relevantes como a associatividade em cada etapa algébrica
- Explicou corretamente as propriedades associativa e comutativa da adição nos números reais
- Enunciou corretamente a definição de grupo (group) como "um conjunto mapeado em si mesmo por uma operação binária, no qual vale a associatividade, existe um elemento identidade e cada elemento tem inverso"
- Respondeu imediatamente que um grupo abeliano (Abelian group) satisfaz a comutatividade
- Sobre a definição de corpo (field), respondeu que "não sabia" (mais tarde supriria isso por estudo autodidata antes da 2ª avaliação)
- Explicou corretamente a propriedade distributiva, dando exemplos de multiplicação distribuída sobre adição, e disse que a adição distribuída sobre multiplicação ocorre "apenas na álgebra booleana"
- Impressionava o fato de uma criança de 7 anos usar com liberdade linguagem e notação matemática altamente sofisticadas
Resolução escrita de problemas
- Fez imediatamente um esboço do gráfico de y = x² + x e calculou por diferenciação o vértice (-1/2, -1/4) em cerca de 20 segundos
- Completou em cerca de 1 minuto um esboço do gráfico de y = x³ − 2x² + x, mesmo ainda sem ter estudado cálculo na escola
- Perguntas adicionais confirmaram que já compreendia a matemática escolar tradicional até o nível do 11º ano, além dos princípios básicos e regras da diferenciação
- De modo geral, mostrava clara preferência por métodos analíticos e não visuais de resolução
Ambiente familiar e modo de estudo
- Sua mãe, Grace Tao, tinha experiência docente em ciências, física, química e matemática em Hong Kong e na Austrália
- Ela orientava e estimulava os estudos matemáticos de Terence, mas não lhe dava ensino direto, porque Terence "não gosta que lhe digam o que fazer em matemática"
- Numa noite de 1983, quando Terence refletia sobre um problema de fração contínua, Grace deu a dica "tente uma equação quadrática"; ele imediatamente o transformou em x² − x − 2 = 0 e obteve x = 2 pela condição de positividade
- Depois da escola, passava 3 a 4 horas por dia estudando sozinho, lendo livros de matemática
- Aprendeu sozinho a linguagem BASIC em um computador Commodore (por livros) e escreveu seus próprios programas matemáticos, como "Euclid's algorithm", "Fibonacci" e "Prime Numbers"
- O programa sobre Fibonacci incluía um jogo para adivinhar o ano de nascimento de Fibonacci e a impressão da sequência de Fibonacci, revelando um temperamento bem-humorado e criativo
- Esses programas foram escritos no início de 1982 (aos 6 anos)
2ª avaliação (20 de agosto de 1983)
- Cinco semanas depois, houve nova visita; Terence agora tinha 8 anos
- Havia alcançado o 19º lugar entre cerca de 2.000 participantes na olimpíada nacional de matemática do 11º ano da Austrália do Sul (feita aos 7 anos)
- O resultado é ainda mais notável considerando que a maioria das escolas só envia seus melhores alunos de matemática
Prova sobre corpo (field)
- Ao ser perguntado se S = {a + b√2 : a, b ∈ R} forma um grupo sob adição, ele apresentou a prova imediatamente
- Em seguida, perguntado se (S, +, ×) é um corpo (field), depois de ter dito cinco semanas antes que não sabia o que era um corpo, mostrou que havia estudado por conta própria e expôs o seguinte:
- (S, +) é um grupo abeliano
- A associatividade e a comutatividade da multiplicação valem pelas propriedades dos números reais
- O elemento neutro da multiplicação é 1 + 0√2
- O inverso multiplicativo é obtido por racionalização (exceto para 0)
- Vale a distributividade
- O grau de refinamento e concisão dessa prova era equivalente ao de um estudante universitário de matemática
Conhecimento de integração
- Respondeu corretamente as primitivas de x², √x, sin x, sec²x, 1/(1+x²) e 1/√(1−x²)
- Sobre a primitiva de 1/x, respondeu que "ainda não tinha lido até essa parte"
- Na integral de 1/(1−x²), usou a substituição x = cos θ para transformá-la em uma forma com -cosec θ, mas ainda não conhecia decomposição em frações parciais → disse que provavelmente aprenderia isso sozinho nas semanas seguintes
- Resolveu imediatamente e corretamente um problema de área sob o gráfico de sin x, obtendo 2
- Calculou corretamente a integral imprópria da área entre y = 1/x² e o eixo x para x ≥ 1, obtendo 1
Teste de visualização espacial
- Obteve 27/30 no Monash Space Visualization Test (média do 12º ano: 24/30)
- Parte das 3 questões erradas pareceu decorrer de dificuldade em manipular imagens visuais complexas
- Ao explicar oralmente os métodos usados após o teste, confirmou-se fortemente sua preferência por métodos analíticos e não visuais em vez de visuais
- Ex.: em vez de imaginar a dobra de uma figura, verificava cada forma pela lei da reflexão
- Segundo o estudo de Burden and Coulson (1981), quem prefere métodos analíticos tende a obter resultados mais altos em testes espaciais
- Krutetskii (1976) argumentava que capacidade espacial ou visualização de relações matemáticas abstratas não são componentes essenciais do talento matemático
Registro de leituras e tarefa aberta
- Foi confirmada uma lista de 22 livros de matemática lidos nos dois anos anteriores, incluindo Flatland, International Mathematical Olympiads 1959-1977 e Calculus: Pure and Applied
- Tinha tendência a ler livros inteiros, não apenas partes; segundo o pai, possuía memória surpreendente para o que lia
- Realizou uma tarefa aberta sobre sequências definidas pela soma dos quadrados dos dígitos (cerca de 20 minutos)
- Verificou rapidamente que 4, 5, 6, 8 e 9 geram sequências do mesmo tipo que 2 e 3
- Conjeturou que não existiriam sequências além de dois tipos, mas não apresentou prova
- Levantou a questão interessante de saber se padrões semelhantes valem em bases numéricas diferentes da decimal
- Não considerou números naturais com mais de dois dígitos; esperava-se análise mais profunda, e o resultado ficou aquém do esperado
Problema de combinações de moedas
- Dr Max Stephens perguntou quantas somas diferentes podem ser formadas com as 6 moedas australianas
- Terence respondeu primeiro 720 e depois acrescentou: "todas dariam o mesmo valor"
- Quando a pergunta foi reformulada, respondeu imediatamente: "com 6 moedas, há 2⁶ − 1 = 63 maneiras"
- À pergunta adicional se algumas combinações não poderiam produzir a mesma soma, argumentou na hora que isso era impossível porque "cada moeda vale mais do que a soma de todas as moedas menores"
Problema de adição criptográfica
- Resolveu com rapidez e precisão o problema A + MERRY + XMAS = TURKEY (K=3), explicando oralmente seu raciocínio
- Confirmou-se mais uma vez uma estratégia analítica e lógica, baseada em montar e resolver equações simultâneas
Grade escolar (3º trimestre de 1983)
- Frequentava tanto a Bellevue Heights Primary School (5º ano) quanto a Blackwood High School
- Ensino médio: formação geral do 8º ano, física do 11º ano e matemática do 12º ano
- Ensino fundamental: ortografia, leitura, preparo físico, estudos sociais, educação física, teatro, arte, música e poesia
- Como já havia aprendido todo o conteúdo de matemática do 11º ano, no 3º trimestre passou para aulas de matemática do 12º ano
- Sua mãe, Grace, fazia pessoalmente o transporte entre as escolas
Relatórios de psicólogos
- Aos 4 anos e 7 meses (fevereiro de 1980): funcionamento intelectual no nível de 8 a 10 anos, com necessidade de manejo cuidadoso para atender suas necessidades intelectuais, sociais e emocionais na escola
- Aos 5 anos e 9 meses (maio de 1981): no teste Raven's Controlled Projection Matrices, ficou na faixa do 95º percentil para crianças de 11 anos
- Aos 6 anos e 4 meses (novembro de 1981): na escala Wechsler para crianças, atingiu pontuação máxima ou próxima do máximo, sem diferença entre inteligência verbal e de desempenho (não verbal); idade mental global de 14 anos (faixa superior para uma criança de 6 anos)
3ª avaliação (17 de setembro de 1983)
- Visita realizada com o tutor sênior Dr Tom van Dulken, da Faculdade de Matemática e Ciências da Flinders University, para discutir a possibilidade de ingresso antecipado
- Encontrou corretamente as primitivas de x sin x e eˣ cos x
- Resolveu a integral de sin x/(sin x + cos x) por um método original: decompondo em ½ − (cos x − sin x)/2(sin x + cos x), obteve ½x − ½ln|sin x + cos x| + C
- Confirmou-se que agora já sabia que ln|x| é a primitiva de 1/x, algo que não sabia na avaliação anterior
- Ao ser perguntado sobre o termo constante de (2x − 4/x)¹⁰, tentou resolver construindo diretamente o triângulo de Pascal, por ainda não ter estudado suficientemente o binômio; algumas semanas depois, já autodidata no tema, calculou rapidamente pelo binômio o termo constante de (2x − 5/x)¹⁰ como 252 × (−10)⁵ = −25.200.000
Análise do caderno de estudos em casa
- No caderno emprestado, confirmou-se que resolvia sozinho 3 a 5 páginas de problemas de matemática por dia
- Exemplos incluídos:
- Problema de valor inicial para a equação diferencial ordinária de 2ª ordem d²y/dx² − 6dy/dx + 5y = 0, resolvido pela equação característica, obtendo y = 4eˣ − e⁵ˣ
- Integração usando a substituição de Weierstrass (t = tan ½x)
- Integração por decomposição em frações parciais: 3(x+1)/x²(x²+3) → em contraste com a 2ª avaliação, quando ainda não conseguia fazer frações parciais em 1/(1−x²), provando a velocidade extremamente alta de aprendizagem
Planos futuros de escolarização
- Em 1984, não cursaria matemática na escola, estudando em casa, por conta própria, estruturas algébricas, probabilidade e estatística, computação e análise
- Durante todo o ano letivo de 1984, seu tempo escolar seria passado na Blackwood High School: humanidades do 8º ano, geografia dos 10º–11º anos, química do 11º ano e física do 12º ano
- Se o interesse por matemática continuasse e ele estivesse social e emocionalmente preparado, o plano era ingressar em matemática na Flinders University em 1985
- Dr van Dulken avaliou que, mesmo começando a universidade aos 9 anos, Terence estaria matematicamente muito à frente da maioria — talvez de todos — os colegas do 1º ano
Programa de números perfeitos — primeira publicação
- Programa para buscar números perfeitos, escrito por Terence em BASIC, com algoritmo desenvolvido por ele próprio
- Utilizava a condição demonstrada nos Elementos de Euclides de que 2^(p-1)(2^p − 1) é perfeito quando 2^p − 1 é primo
- Composto de duas partes: um programa para testar primalidade e outro para calcular números perfeitos
- Calculava até 10¹³ e imprimia 6, 28, 496, 8128, 33,550,336 etc.; para números muito grandes, fornecia apenas valores aproximados devido ao limite do computador
- Foi aceito para publicação no jornal estudantil de matemática da Austrália do Sul, Trigon 21(3), edição de novembro de 1983, tornando-se a primeira publicação acadêmica de Terence
- Escrito em 26 de agosto de 1983
Reflexões sobre a educação, as aspirações e as características de aprendizagem de Terence
- Sua educação matemática não foi planejada de forma sistemática de antemão; ele se deslocava entre temas conforme seus próprios interesses e fatores externos de orientação
- A orientação contínua mais importante vinha de sua mãe, Grace, formada em matemática, que observava a ordem em que os temas de estudo surgiam
- Seu pai, Billy Tao, mesmo sendo um pediatra muito ocupado, investia muito tempo em buscar os melhores conselhos para a educação de Terence
- Não existe um único melhor método para educar crianças excepcionalmente capazes; a abordagem da família Tao — buscar os melhores conselhos, mas no fim permitir que Terence siga por conta própria temas que lhe interessem e o desafiem — mostrou-se bem-sucedida
- A opinião de que Terence deveria passar o tempo escolar apenas com crianças da mesma idade é irrealista
- Em novembro de 1983, fez informalmente o exame Mathematics I de ingresso universitário da comissão pública de exames da Austrália do Sul (destinado ao 12º ano, com 3 horas de duração), terminando em menos de 2 horas; pontuação informal de 93%, equivalente à faixa máxima
Dez características de aprendizagem reveladas nas avaliações
- Memória de longo prazo extraordinária para definições, demonstrações e ideias matemáticas
- Capacidade espacial bem desenvolvida, mas clara preferência por pensamento verbal-lógico em vez de visual na resolução de problemas
- Capacidade de compreender textos matemáticos com terminologia e símbolos sofisticados
- Preferência especial por análise (cálculo), estruturas algébricas, teoria dos números e computação
- Capacidade de compreender conceitos abstratos rapidamente, mesmo sem apoio concreto
- Capacidade de formular estratégias adequadas para problemas novos e desafiadores, embora no momento apreciasse ainda mais mergulhar no mundo da matemática
- Aprendizado em velocidade notável: em 1983, assimilou a maior parte da matemática dos 11º–12º anos e parte considerável da matemática do 1º ano universitário
- Quando desconhecia uma área matemática de interesse, procurava livros e estudava sozinho, aprendendo bem mesmo sem professor
- Não gostava de revisar a solução depois de concluí-la e tendia a passar logo ao problema seguinte
- Não se preocupava muito em organizar a solução para comunicá-la a outros, registrando apenas o suficiente para mostrar que conseguia resolver o problema
Planos futuros
- Esperava-se que, nos 10 anos seguintes, Terence se integrasse plenamente à família, à comunidade local e à vida australiana
- Ao mesmo tempo, considerava-se a possibilidade de desenvolver ao máximo seu talento raro, incluindo a chance de obter um doutorado na Flinders University por volta dos 17 anos
- O campus da Flinders University ficava muito perto da casa da família Tao, permitindo deslocamento sem grande perturbação da vida familiar
- Após o doutorado, poderia fazer pesquisa de pós-doutorado em universidades de ponta nos Estados Unidos, Europa ou Austrália
- Esse plano era provisório, reconhecendo-se que Terence teria cada vez mais voz sobre seu próprio futuro
- Em um teste SAT-M informal, marcou 720 pontos aos 8 anos e 6 meses
1 comentários
Comentários do Hacker News
Como pai de uma criança de 8 anos, essa história me emocionou de verdade
Está claro que o Terence tinha um talento extraordinário inato, mas acho que os pais dele, Billy e Grace, também tiveram um papel enorme ao cultivar isso bem e, ao mesmo tempo, preservar uma infância feliz
Eu também tive um colega de ensino médio que ganhou medalha de ouro na Olimpíada Internacional de Matemática, e os pais dele agiam de forma parecida
Fico pensando se Terence Tao teria alcançado esse nível de sucesso se não fosse esse tipo de pessoa moldada para a escola
Por outro lado, provavelmente há muitas crianças talentosas que não conseguiram desenvolver seu potencial por não se encaixarem no sistema escolar
Isso me lembrou a infância de John Stuart Mill
Dizem que ele aprendeu grego aos três anos, estudou Platão aos seis e começou latim aos oito
Mais detalhes estão na biografia da Wikipédia
Também acho interessante que Jeremy Bentham frequentava a casa deles desde cedo
As conquistas foram impressionantes, mas o preço foi alto
Há material sobre isso no texto original da autobiografia de Mill
Ele diz que não era uma criança especial e que todas as suas conquistas vieram da força motriz do pai
Também conta que foi protegido de conviver com os colegas, então nem percebia que seus feitos eram extraordinários
Livros de matemática, química etc.; eu não entendia, mas tinha uma curiosidade pelo conhecimento muito forte
Por isso fico um pouco cético com essa história de estudar Platão tão cedo
O diferente, no caso de Mill, eram os idiomas que ele aprendeu
Link do programa
Eles falam sobre a infância dele e sobre a relação afetuosa com o pai
Cultivar a paixão pela matemática de uma criança é quase uma arte
Uma ferramenta moderna que eu uso com meus filhos é um jogo chamado Prodigy Math
A dinâmica é divertida porque, ao resolver problemas de matemática, você ganha poderes mágicos, e os pais recebem por e-mail quais questões a criança errou e exercícios de reforço
Era um jogo de cartas em que você somava, subtraía, multiplicava e dividia quatro números para chegar a um número-alvo
Só de pensar naquelas cartas eu já sorrio
Já tentei usar Dragon Box com meu filho, mas faltavam recursos de relatório para os pais
Também experimentei Khan Academy Kids, mas ele já estava avançado demais e não ajudou muito
Li Conversations with Walter Murch e havia um trecho parecido com o que Tao parece sentir pela matemática
A frase “se você continuar fazendo ao longo da vida aquilo que mais amou entre os 9 e os 11 anos, as chances de ser feliz são maiores” me marcou bastante
Há exceções, como nas artes, mas a maior parte das pessoas descobre o que gosta bem mais tarde
Talvez exista algum estudo longitudinal comparando o que as pessoas gostavam de fazer na infância com o que fazem quando adultas
Eu, por acaso, vi arquivos BAT pelo XtreeGold e acabei me apaixonando por programação, e trabalho com isso até hoje
Como pai ou mãe, talvez o melhor conselho seja expor a criança a várias experiências sem forçar nada
É a história clássica de um gênio matemático que fazia integrais aos 7 anos e lia livros universitários de matemática aos 8
Eu também prefiro uma abordagem lógica e analítica para resolver problemas
Isso me parece muito mais claro do que o pensamento visual
Quando era pequeno eu brincava montando estruturas com Lego
Estou pensando em como treinar o pensamento analítico para conseguir terminar um curso de engenharia
Ao ler essa história, lembrei do começo de Flowers for Algernon
É a história de um protagonista que passa por um tratamento para aumentar a inteligência e vai escrevendo um diário em que sua escrita se torna cada vez mais fluente
Fiquei impressionado com o programa que Terence fez sozinho aos seis anos, aprendendo por um livro de BASIC
Havia uma linha de saída como “(brmmmm-brmmmm-putt-putt-vraow-chatter-chatter bye mr. fibonacci!)”
Eu também aprendi Applesoft BASIC sozinho aos seis anos e costumava colocar saídas engraçadas nos programas
Só que eu não fazia ideia do que era a sequência de Fibonacci
Aos 8 anos eu já conseguia desmontar rádios com habilidade
Levei mais alguns anos até conseguir montá-los de volta
Eu não sabia como criar uma nova pasta
Minha mãe chegou a mencionar isso até no leito de morte
É interessante como a inteligência parece ser muito mais influenciada por fatores ambientais do que normalmente se pensa
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