- Embora a matemática tenha sido usada como a linguagem da física, agora a intuição da física também funciona como uma fonte para abrir problemas difíceis e novas estruturas da matemática
- Físicos estão menos presos a provas rigorosas do que matemáticos em suas explorações rápidas, podendo descobrir primeiro novos conceitos e conexões que matemáticos verificarão depois
- A teoria das cordas, por meio das variedades de Calabi-Yau, K3 surface e M-theory, cria relações inesperadas entre geometria algébrica, topologia diferencial, teoria de grupos e topologia
- Mesmo teorias físicas descartadas podem permanecer por muito tempo na matemática; a vortex theory de Lord Kelvin desapareceu, mas sua matemática levou ao desenvolvimento da teoria dos nós e à compreensão de moléculas emaranhadas, como o DNA
- À medida que a fronteira entre física e matemática fica menos rígida em grandes problemas como o Langlands program, a Riemann hypothesis e a Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, aumenta a possibilidade de surgirem novos avanços
A inversão do fluxo em que a matemática ajudava a física
- Albert Einstein considerou uma “verdadeira vitória” da matemática o fato de que, na teoria da relatividade geral de 1915, a matemática pura desenvolvida mais de meio século antes descrevia com precisão a estrutura do espaço-tempo
- A matemática foi originalmente criada para medição, cálculo e compreensão do mundo físico, e os Sumerians da Mesopotamia deixaram tábuas de argila com tabelas de multiplicação para contar bens e propriedades
- Depois, a matemática, que era uma ferramenta para governos e comércio, expandiu-se para áreas altamente abstratas e continuou sustentando grandes avanços da física
- Recentemente, a direção se inverteu, e leis e padrões da física vêm movimentando áreas da matemática que estavam estagnadas há muito tempo
Como físicos varrem o terreno matemático
- Timothy Gowers considera que físicos, por estarem menos presos a provas rigorosas do que matemáticos, conseguem explorar o terreno matemático mais rapidamente
- Se matemáticos medem uma pequena área em profundidade, físicos podem varrer rapidamente amplas regiões inexploradas e descobrir primeiro conceitos ou relações poderosas
- Depois, matemáticos voltam a essas descobertas para tentar prová-las ou refutá-las
- Esse fluxo se repete há muito tempo
- Archimedes deixou registrado que leis da mecânica levaram a descobertas matemáticas importantes
- Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o cálculo ao tentar entender o movimento de corpos em queda
A ruptura em meados do século 20 e a ponte de Michael Atiyah
- Em meados do século 20, o fluxo de nova matemática vinda da física praticamente secou, e tanto matemáticos quanto físicos passaram a mostrar pouco interesse pelo campo um do outro
- Na matemática, o Bourbaki group tentou tornar a matemática tão precisa quanto possível e reconstruir várias áreas desde o início
- Na física, ideias como o Standard Model avançaram, mas para muitos físicos a matemática era uma ferramenta conveniente, e havia pouco interesse pela visão rigorosa de matemática ao estilo Bourbaki
- A partir de meados da década de 1970, Michael Atiyah passou a ver a física teórica como a fonte mais promissora de novas ideias e promoveu a interação entre as duas áreas
- Tratou de problemas matemáticos propostos por físicos
- Provou resultados de matemática pura usando ideias da física
- Transmitiu a físicos partes importantes da matemática moderna com as quais eles não estavam familiarizados
As conexões matemáticas criadas pela teoria das cordas
- Edward Witten conheceu Atiyah em 1977, tornou-se seu colaborador de longo prazo e depois se tornou um pioneiro da teoria das cordas
- A teoria das cordas é a ideia de que os componentes fundamentais do universo não são partículas do Standard Model, mas pequenas cordas unidimensionais vibrantes
- Na física, ela ainda não se tornou uma “teoria de tudo”, mas deixou grande impacto em áreas abstratas da matemática, como geometria algébrica e topologia diferencial
- Witten e outros teóricos das cordas criaram conjecturas precisas que matemáticos mais tarde provaram
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Variedades de Calabi-Yau e geometria enumerativa
- Em 1991, Philip Candelas, Xenia de la Ossa e colegas aplicaram a teoria das cordas a um problema antigo da geometria enumerativa
- A geometria enumerativa é a área da matemática que conta quantas soluções existem para problemas geométricos
- Ela lida com perguntas como: há uma única reta que passa por dois pontos em um plano, ou oito círculos tangentes a três círculos dados
- Eles usaram ferramentas da teoria das cordas para tratar do problema de contar o número de certas curvas dentro de uma variedade de Calabi-Yau
- O resultado conectou symplectic geometry e complex geometry, que matemáticos estudavam separadamente havia décadas
- Quando duas áreas vistas como não relacionadas se conectam, ferramentas de uma podem resolver problemas da outra, o que é considerado um resultado profundo na matemática
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M-theory e duality
- Em 1995, Witten propôs que as cinco teorias das cordas que exigem 10 dimensões eram aspectos diferentes de um único conceito em 11 dimensões, a M-theory
- A M-theory ainda não foi provada, mas descobertas matemáticas surpreendentes surgem no processo de rastrear correspondências entre teorias diferentes
- Yang-Hui He considera que a teoria das cordas fornece aos matemáticos novas estruturas de uma forma sem precedentes
K3 surface e estruturas matemáticas inesperadas
- Yang-Hui He e Federico Carta descobriram uma nova relação ao estudar a K3 surface, a mais simples variedade de Calabi-Yau
- Essa relação é entre homotopy groups, usados na topologia para classificar formas, e o grupo de simetria Matthieu 24
- Também se revela uma conexão inesperada entre topologia e teoria de grupos, áreas diferentes da matemática pura
- He considera que há infinitos padrões e estruturas que matemáticos podem estudar, mas aqueles que vêm da realidade são objetos sobre os quais é possível ter algum nível de intuição
- Nigel Hitchin também considera que a pesquisa matemática não funciona no vácuo, e que novas ideias precisam se condensar em torno de alguma sensação de realidade, ou da sensação de realidade de alguém
Quando uma física “ruim” gera boa matemática
- A física pode fornecer à matemática uma motivação mais forte e um foco de exploração
- Quando há intuição sobre como o mundo real deve funcionar e um destino plausível, matemáticos conseguem avançar mais rapidamente em um problema
- Nesse enquadramento, teorias físicas descartadas também podem produzir boa matemática
- A vortex theory de William Thomson, isto é, Lord Kelvin, via átomos como anéis rotativos complexamente entrelaçados e associava cada nó a um elemento químico
- A teoria foi descartada após a descoberta do elétron, mas sua matemática levou ao desenvolvimento da teoria dos nós
- A teoria dos nós tornou-se uma área rica de pesquisa em matemática pura
- Ela também tem aplicações inesperadas na hidrodinâmica e na compreensão de moléculas emaranhadas, como o DNA
O cérebro humano, o mundo físico e a beleza matemática
- Atiyah relacionou a conexão entre física e matemática à evolução do cérebro humano
- Humanos são produto de uma longa evolução, e cérebros poderosos favoreceram a sobrevivência e o sucesso no mundo físico
- Isso leva à interpretação de que o cérebro humano evoluiu para resolver problemas físicos e, para isso, precisou desenvolver tipos adequados de matemática
- Um estudo de neuroimagem de 2014, do qual Atiyah participou, concluiu que a experiência da beleza matemática estimula as mesmas regiões cerebrais que a beleza da música, da arte e da poesia
- A matemática que surge do estudo da realidade pode ser o tipo de matemática que o cérebro humano prefere
As leis físicas também são inevitáveis como teoremas matemáticos?
- Em um artigo de 2023, Daniele Molinini tratou de “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics” em resposta ao ensaio de 1960 de Eugene Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”
- Sua resposta é que algumas leis físicas podem ser tão irrefutáveis quanto teoremas matemáticos
- Em geral, filósofos veem verdades matemáticas como verdades necessárias, que devem ser verdadeiras em todos os mundos possíveis, e fatos empíricos sobre a natureza como verdades contingentes, que poderiam ser diferentes
- Molinini considera que princípios de conservação podem ser candidatos a leis físicas necessárias
- Na física, algumas propriedades de um sistema, como energia ou momento, não mudam
- Um ciclista descendo uma ladeira converte energia potencial gravitacional em energia cinética, mas a energia total da pessoa e da bicicleta permanece igual
- Se a conservação for necessária, isso pode explicar como Archimedes conseguiu inferir com sucesso a verdade de uma prova geométrica por meio de considerações mecânicas
Os limites da visão de que o universo é feito de matemática
- A visão expressa por Galileo no início do século 17 e apoiada por muitos matemáticos é a ideia de que o universo está escrito na linguagem da matemática
- Essa ideia tem origens antigas que remontam a Pythagoras e seus seguidores
- A mathematical universe hypothesis de Max Tegmark é mais extrema
- O universo não é apenas descrito pela matemática, mas é feito de matemática
- Nosso universo é um entre infinitos universos paralelos, e todas as possibilidades matemáticas se realizam em algum lugar
- Mark Colyvan considera que há uma conexão íntima entre as ciências empíricas e a matemática, e que se pode chegar à conclusão de que o próprio mundo é, de alguma forma, matemático
- Porém, a matemática da física conhecida é uma parte ínfima de toda a matemática, portanto essa visão por si só tem dificuldade para explicar suficientemente por que a matemática que vem da física é excepcionalmente rica
A direção inversa que é difícil explicar por mapping
- Molinini desafia o mapping, uma forma filosófica popular de explicar a aplicabilidade da matemática
- O mapping corresponde conceitos físicos como massa ou distância a objetos matemáticos, como equações da lei da gravitação de Newton, e depois corresponde os resultados dos cálculos de volta a propriedades físicas
- Quando se tenta inverter esse processo para explicar como a matemática surge da física, o mapping não funciona bem
- Filósofos se concentraram até agora em por que a matemática pode ser aplicada às ciências empíricas, mas agora também se torna uma questão importante por que a física é eficaz na matemática
Física e matemática cada vez mais próximas
- Yang-Hui He considera que a física moderna oferece muitas novas ferramentas e pistas inesperadas aos matemáticos, e que as duas áreas precisam colaborar mais estreitamente para resolver grandes problemas da matemática pura
- O Langlands program é uma dessas áreas
- Concebido por Robert Langlands na década de 1960, é chamado de “grand unified theory da matemática”
- Diz-se que uma ramificação, o geometric Langlands, foi recentemente resolvida por uma prova em 5 artigos e 800 páginas
- Parte central dessa prova se baseia em insights vindos da conformal field theory, uma das bases da teoria das cordas
- Matemáticos já tentam usar a física para avançar também na Riemann hypothesis e na Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
- He considera que a aliança entre as duas áreas pode ser essencial para abrir esses problemas gigantescos
- Física e matemática estão voltando a ficar próximas de uma só área, como na época de Newton e Gauss, e algumas das ferramentas matemáticas mais exóticas e sofisticadas talvez ainda nem tenham sido inventadas
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Um físico, voltando para casa à noite, vê um colega matemático olhando para o chão sob um poste de luz e pergunta: “Aconteceu alguma coisa?”. O matemático responde: “Deixei minha chave cair”. O físico, querendo ajudar, pergunta: “Mais ou menos onde?”. O matemático aponta para o outro lado e diz: “Ali”. O físico pergunta: “Então por que você não procura ali?”. O matemático responde: “Porque aqui está mais claro”
Para deixar claro, eu sou matemático
O entrevistador pergunta: “Agora é a mesma situação, mas o martelo está no chão. O que você faz?”. O matemático responde: “Coloco o martelo do chão sobre a mesa e reduzo o problema a um problema já resolvido”
Uma piada relacionada a este texto é que o matemático passa o tempo projetando a topologia de um casaco para uma pessoa com três braços, e o físico encontra essa pessoa
Minha piada favorita é a do filho de um matemático, que no primeiro dia de aula ouve a professora perguntar: “Quem sabe quanto é 1+2?”. O menino se levanta e responde: “Não sei quanto é, mas sei que, no monoide dos números naturais, a adição satisfaz a comutatividade, então é igual a 2+1”
Para deixar claro, eu sou desenvolvedor de software
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
O físico deixa cair a chave. Matemático: “Eureka!”
A fala de Hitchin de que “a pesquisa em matemática não funciona no vácuo” parece chegar perto do ponto central. Não é só a física que conduz matemática interessante, e essa relação também não surgiu recentemente
Na minha humilde opinião, a matemática é a linguagem específica de domínio definitiva. É uma ferramenta usada para modelar alguma coisa, e muitas vezes esse modelo depois também se torna interessante por si só
Quando tentamos modelar novos objetos, por exemplo um novo conceito de realidade, surgem modelos interessantes de novas maneiras ou modelos existentes são recontextualizados, e isso exige reconstrução, condensação e generalização, fazendo o campo avançar
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
É fácil pensar que a matemática descreve o próprio terreno subjacente, mas, na prática, ela opera sobre os modelos que compartilhamos desse terreno. Então, quando passamos a considerar outras coisas, a matemática acompanha
Na universidade, um professor de física comentou de passagem que a distinção entre física e matemática é uma ideia do século XX. Que no século XIX ou antes não existia essa distinção, e que no século XXI ela parece estar desaparecendo de novo
Hoje, essa distinção está ficando borrada pelo motivo exatamente oposto. As pessoas acham que qualquer coisa concebida com matemática sólida deve ser verdadeira, e a observação foi jogada para o banco de trás
A matemática não tem essa exigência, nem precisa modelar fenômenos naturais. Esse professor de física soa como um platonista
O desenvolvimento fundamental do cálculo no fim dos anos 1600 permitiu reunir esses temas sob um mesmo método de pesquisa e análise, e é isso que hoje chamamos de física
Grande parte da matemática moderna também vem da linhagem do cálculo, então a fronteira entre o objeto modelado e a ferramenta de modelagem naturalmente fica borrada, mas durante todo esse período a distinção existiu com bastante força. Basta olhar para probabilidade ou álgebra: embora muitos pesquisadores perseguissem tanto a física quanto a matemática, sabiam que os dois temas eram distintos
No século XXI essa distinção não pode desaparecer. A matemática já não está presa ao mundo físico. Matemática é gerar teoremas independentemente de os axiomas e teoremas se aplicarem ao mundo físico ou não
A matemática usada na física é apenas uma parte muito pequena do total de matemática possível
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
Se você tentar criar um produto de software inovador sem trocar uma palavra com os usuários, dá para entender por que a física é boa em criar nova matemática
A física também é excelente para aprendizado de máquina, embora a abordagem possa ser bastante contraintuitiva. Por exemplo, passagem de mensagens e propagação de crença para modelar variáveis latentes em árvores e grafos costumam ser ensinadas com a analogia de janelas e probabilidade marginal de tempo chuvoso, decompondo equações bayesianas e estatísticas em subcomponentes pela regra da cadeia da marginalização
Já os físicos tendem a ensinar isso com o modelo de Ising e spin magnético, uma analogia completamente diferente
Modelos generativos de aprendizado de máquina mais recentes também usam bastante abordagens baseadas em equações diferenciais ou na distribuição de Boltzmann, e formulações estatísticas como modelos de espaço de estados ou modelos baseados em energia foram quase inteiramente emprestadas da física estatística e da mecânica estatística e conectadas a redes neurais e sistemas de diferenciação automática
Talvez o melhor exemplo seja o algoritmo de Metropolis-Hastings, criado por pesquisadores ligados à área nuclear
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
Um dos meus professores de física dizia: “matemática é física sem propósito”
Ele tinha sido um físico bastante bem-sucedido, então talvez eu seja enviesado
Não sou nenhum gênio da física nem da matemática, mas me parece que a relação entre as duas é mais um ciclo virtuoso
Acho que li que o século XX foi revolucionário por causa da união entre física e matemática. Quatérnios são importantes para a relatividade, e a matemática discreta está espalhada pela mecânica quântica e pelo Modelo Padrão. U(1) explica a força eletromagnética, SU(2) a força fraca e SU(3) a força nuclear forte. Em particular, as massas dos três bósons que mediam a força fraca levaram diretamente à teorização do mecanismo de Higgs, que acabou sendo confirmado experimentalmente
Uma das grandes realizações do século XX foi encontrar todos os grupos finitos de uma forma demonstrável, e esses grupos continuam aparecendo na física
O texto diz que a teoria das cordas levou a uma nova matemática, e isso é realmente interessante. Sou cético em relação à teoria das cordas porque não há evidência experimental de “dimensões enroladas”, e ela parece um remendo, mas também é interessante que, assumindo que a teoria das cordas esteja correta, tenham surgido resultados úteis tanto na física quanto na matemática
Você sabe se a física é melhor do que outras áreas para criar nova matemática? Por exemplo, computação também criou muita matemática nova, e a estatística foi totalmente impulsionada por pressões externas da medicina, das ciências sociais e dos negócios
Finanças e economia também criaram muita matemática em torno de modelagem e probabilidade marginal, e há muitos outros exemplos parecidos
A própria aritmética é resultado de conservação física. Se você tem um grupo de 4 bolotas e um grupo de 3 bolotas, e os junta sem deixar cair nenhuma, então deve ter um grupo de 7 bolotas
Por causa da nossa compreensão física profunda de espaço e causalidade, a aritmética simples é intuitivamente verdadeira para a maioria, talvez para todos os vertebrados
Se um esquilo obtivesse apenas 6 bolotas depois de juntá-las, teria de haver alguma explicação causal para a diferença quantitativa. Outro esquilo pode ter roubado uma da pilha anterior, ou ela pode ter caído em um buraco
Também precisamos de “fabricar cerveja é absurdamente bom para criar nova estatística”