Guia intuitivo das equações de Maxwell (2020)
(photonlines.substack.com)- Em 1865, o artigo de James Clerk Maxwell tratou matematicamente das mudanças no campo eletromagnético e apresentou a conexão de que a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas é igual à velocidade da luz
- A teoria original não foi amplamente compreendida por mais de 20 anos devido às 20 equações e à linguagem física complexa, sendo organizada no formato atual de 4 equações ao passar pelas gerações de Oliver Heaviside, Hertz, Lorentz e Einstein
- O campo elétrico e o campo magnético podem ser lidos não como dispositivos mecânicos, mas como campos escalares e vetoriais ao longo do espaço e do tempo; a divergência representa fonte e sumidouro, e o rotacional representa rotação
- As quatro equações expressam de forma condensada que tipo de divergência e circulação carga elétrica, fluxo magnético, campos que variam no tempo e corrente produzem entre si
- No vácuo e em regiões sem carga, os campos elétrico e magnético satisfazem a equação de onda e se unificam em uma única onda eletromagnética que se propaga à velocidade da luz
Por que a teoria de Maxwell só se tornou importante mais tarde
- Em 1865, James Clerk Maxwell publicou “A dynamical theory of the electromagnetic field” no Philosophical Transactions da Royal Society
- O artigo descrevia as mudanças do campo eletromagnético e tinha grande importância para a física, já que a maior parte das forças que experimentamos no dia a dia, exceto a gravidade, tem origem eletromagnética
- As equações de Maxwell previram a existência de ondas eletromagnéticas e, ao mostrar que sua velocidade de propagação era igual à da luz, conectaram ondas eletromagnéticas e luz visível como o mesmo fenômeno
- Mesmo assim, o trabalho de Maxwell não foi aceito imediatamente
- Sua forma original não eram as 4 equações familiares de hoje, mas sim 20 equações
- Para os físicos da época, a complexidade algébrica era grande; para os matemáticos, a linguagem de explicação física de Maxwell era difícil de abordar
- A visão de mundo dominante na época tendia a considerar estruturas mecânicas subjacentes, como “rodas e engrenagens”, mais fundamentais do que campos (field)
- Com Oliver Heaviside simplificando as equações e com as gerações de Hertz, Lorentz e Einstein dando continuidade ao trabalho, as equações de campo e as leis matemáticas passaram a ocupar o lugar de explicação fundamental do universo
Intuição básica para ler campos
- Campo (field) pode ser visto como uma função que atua por todo o espaço e o tempo
- Campos são difíceis de reduzir completamente a matéria do cotidiano ou a analogias mecânicas
- Explicações como partículas mediadoras, partículas virtuais e curvatura do espaço-tempo também podem, no fim, ser tratadas como abstrações matemáticas
- A intuição básica para entender um campo é vê-lo como uma função matemática espalhada pelo espaço e pelo tempo
- Campo escalar recebe um ponto no espaço como entrada e devolve um único número
- No exemplo em que a temperatura varia com a altitude ao subir uma montanha,
T(x, y, z)mapeia posição para um valor de temperatura - Se tratarmos a distribuição de temperatura de uma placa metálica incluindo também o tempo, como
T(x, y, t)ou de forma mais realistaT(x, y, z, t), a equação do calor modela a mudança do campo de temperatura
- No exemplo em que a temperatura varia com a altitude ao subir uma montanha,
- Equações diferenciais parciais representam relações entre várias variáveis e suas taxas de variação
- A temperatura de uma placa metálica exige considerar não só a variação por posição
dT/dx, mas também a variação no tempodT/dt - Como cada derivada mostra apenas uma parte da mudança total, ela se torna uma derivada parcial e é usada para tratar da evolução temporal de um campo
- A temperatura de uma placa metálica exige considerar não só a variação por posição
- Campo vetorial recebe um ponto no espaço como entrada e devolve um vetor com magnitude e direção
- Em um campo de velocidades de fluido, o vetor em cada posição representa a direção e a magnitude da velocidade do elemento de fluido
- O campo gravitacional e o campo magnético também podem ser modelados como campos vetoriais
- No campo eletromagnético não há fluido real escoando, mas termos de escoamento de fluidos como fluxo, fonte e sumidouro são usados de forma metafórica
A linguagem das equações lida por divergência e rotacional
- Divergência (divergence) indica se, ao redor de um ponto, um campo sai para fora como uma fonte ou entra para dentro como um sumidouro
- Se desenharmos um pequeno círculo ao redor de um ponto e houver mais setas saindo, a divergência é positiva
- Se houver mais setas entrando, a divergência é negativa
- Se não ocorrer nem uma coisa nem outra, a divergência é 0 ou próxima de 0
- No campo elétrico, a carga positiva pode ser vista como fonte e a carga negativa como sumidouro
- A lei de Gauss para o campo elétrico diz que a divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga naquele ponto
- Rotacional (curl) indica o quanto um campo gira ao redor de um ponto
- Rotação no sentido anti-horário pode ser vista como rotacional positivo, e no sentido horário como rotacional negativo
- Se colocarmos uma roda d’água imaginária em um ponto, a intuição da magnitude do rotacional é o quanto o campo faria essa roda girar rapidamente
- Em 3 dimensões, o rotacional é um vetor que expressa a direção da rotação segundo uma regra específica da mão direita
- As equações de Maxwell podem ser escritas nas formas diferencial e integral
- A forma diferencial expressa o campo eletromagnético com foco na divergência e no rotacional em cada ponto
- A forma integral trata o mesmo conteúdo em termos do fluxo total e da circulação ao longo de uma superfície fechada ou de um caminho fechado
- A integral parte do processo de dividir a área sob uma curva em retângulos de pequena largura
Δxe somá-los- Quanto mais
Δxse aproxima de 0, mais precisa fica a aproximação da área - Na forma integral das equações de Maxwell, somam-se pequenos elementos de área de uma superfície fechada para calcular o fluxo total ou a circulação
- Quanto mais
O que dizem as quatro equações de Maxwell
- A lei de Gauss para o campo elétrico expressa em termos de divergência e fluxo que a carga elétrica cria campo elétrico
- Na forma diferencial, a divergência do campo elétrico é proporcional à densidade de carga
- Na forma integral, o fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é igual à carga total contida dentro dela
- As linhas de campo elétrico são desenhadas saindo da carga positiva e entrando na carga negativa
- A intensidade do campo elétrico enfraquece com a distância de uma carga pontual segundo a lei do inverso do quadrado, como
1/r² - A permissividade do vácuo
ε0é a constante que representa o quanto o vácuo permite a passagem de linhas de campo elétrico
- A lei de Gauss para o magnetismo diz que a divergência do campo magnético é sempre 0
- Isso é interpretado como a inexistência de monopolos magnéticos correspondentes à carga elétrica
- O fluxo magnético total que atravessa uma superfície fechada é sempre 0
- As linhas de campo magnético não começam nem terminam em cargas como as linhas do campo elétrico, mas formam sempre laços fechados que retornam a si mesmas
- Em qualquer superfície fechada, como esfera, cubo ou toro, o fluxo magnético que sai e o que entra se cancelam
- A lei de Faraday diz que um campo magnético que varia no tempo induz um campo elétrico circulante
- Se o fluxo magnético aumenta, surge um campo elétrico circulante em direção oposta a essa mudança
- Se o fluxo magnético diminui, forma-se um campo elétrico circulante na direção oposta correspondente
- Essa orientação oposta à mudança é chamada de lei de Lenz
- Diferentemente do campo elétrico que começa ou termina em cargas, o campo elétrico induzido forma linhas de campo que fecham laços sobre si mesmas
- Essa lei permite mover cargas em um circuito fechado para gerar corrente, viabilizando geradores e a conversão de energia mecânica em energia elétrica
- A lei de Ampère-Maxwell diz que uma corrente ou um campo elétrico que varia no tempo induz um campo magnético circulante
- O termo do lado esquerdo representa o rotacional do campo magnético
- O termo do lado direito inclui a densidade de corrente e a taxa de variação temporal do campo elétrico
- Corrente é definida como a taxa de fluxo de carga que atravessa uma certa área de seção, mas não significa apenas o movimento de elétrons dentro de um fio
- A densidade de corrente
Jrepresenta a quantidade de carga que atravessa uma área unitária de seção transversal perpendicular à direção da corrente - Mesmo sem corrente fluindo, um campo elétrico que varia no tempo pode gerar um campo magnético
- A forma integral da lei de Ampère-Maxwell expressa a integral de linha ao longo de um caminho magnético fechado em termos da corrente líquida e da taxa de variação do fluxo elétrico que atravessam uma superfície fechada
- A corrente que atravessa a superfície em uma direção contribui para a corrente líquida
- Se a mesma corrente atravessar a superfície nos dois sentidos, a corrente líquida pode ser 0
- A permissividade do vácuo
ε0e a permeabilidade do vácuoμ0se relacionam porε0 μ0 = 1/c²e, no sistema de unidades gaussiano, são tratadas como constantes dimensionais que desaparecem
A unificação do campo elétrico e do campo magnético
- Campo elétrico e campo magnético não são dois campos independentes, mas podem ser vistos como um único campo eletromagnético
- Em uma onda eletromagnética, o vetor do campo elétrico, o vetor do campo magnético e a direção de propagação ficam alinhados entre si no espaço tridimensional
- Os vetores de campo elétrico e magnético são perpendiculares entre si
- A mudança de um campo complementa o outro em uma estrutura acoplada
- O campo magnético pode ser explicado como um campo elétrico com efeitos relativísticos incluídos
- Ao observar do referencial que se move junto com os elétrons ao lado de um fio com corrente, os elétrons ficam em repouso e a força magnética não aparece
- Devido à contração do comprimento na relatividade especial, os íons em movimento ficam comprimidos na direção do movimento e passam a ter maior densidade de carga positiva
- Nesse referencial, o fio parece ter carga positiva líquida, e os elétrons são puxados em direção ao fio por atração elétrica
- O mesmo fenômeno é explicado como força magnética para um observador em repouso e como força elétrica para um observador que se move com os elétrons
- No vácuo e em regiões sem carga, as equações de Maxwell podem ser simplificadas, e os campos elétrico e magnético satisfazem a equação de onda
- Como
1 / μ0 ε0 = c², a onda eletromagnética se propaga à velocidade da luz - Maxwell via a luz e os fenômenos magnéticos como estados da mesma substância, conectando a luz a uma perturbação eletromagnética que se propaga por campos segundo as leis do eletromagnetismo
- Como
- Feynman considerava que as equações de Maxwell, a conservação de carga, a lei da força de Lorentz, as leis do movimento e a lei da gravitação de Newton podiam ser reunidas em uma tabela para resumir as leis fundamentais da física clássica conhecidas até 1905
1 comentários
Opiniões no Hacker News
Eu teria adorado ter um material desses quando estava estudando para meu diploma em física. Os diagramas são lindos e vão direto ao ponto nos conceitos essenciais de cálculo vetorial necessários para eletromagnetismo.
Lembro de ter lido Jackson[1] com dificuldade, quase como um rito de passagem, mas não há motivo para a próxima geração sofrer do mesmo jeito. A web parece existir justamente para coisas assim.
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...
Se foi útil, gostaria de pedir que compartilhassem e assinassem. Quero também oferecer guias intuitivos para temas complexos como a equação de Schrödinger, buracos negros e mecânica quântica, e, no fim, também gostaria de escrever um livro que explique matemática e física de forma muito mais clara e intuitiva. Matemática não deveria ser difícil de entender. No nível mais fundamental ela é muito simples, mas reconheço que apresentá-la de modo claro e intuitivo é realmente difícil. Uma parte considerável do material foi influenciada por Grant Sanderson (3Blue1Brown), e a maioria dos diagramas foi feita com Vexlio: https://vexlio.com/
Jackson é um livro-texto de eletromagnetismo para pós-graduação, então é uma obra escrita de forma matematicamente difícil. Quando você chega a ler esse livro, já deveria conhecer eletromagnetismo e suas bases conceituais há 3 ou 4 anos, e o objetivo dele também é resolver equações em situações difíceis para alunos de graduação. Fico curioso sobre o que você estudou na graduação.
Por isso existe o ditado de que, em qualquer tema, o melhor livro é “o segundo livro que você lê”. Na segunda vez, tudo parece muito mais intuitivo.
A prova final daquela disciplina teve o enunciado mais curto que já vi em uma prova: “Derive Maxwell’s Equations”. Fiquei satisfeito com o livro do Kraus.
Uma das melhores partes da minha formação foi passar pelo eletromagnetismo até chegar à beleza das equações de Maxwell.
Mais tarde também descobri que, ao comprimi-las ainda mais com geometria diferencial, essa beleza pode ser extraída ainda mais.
http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_t...
“A teoria de Maxwell só se torna simples e elegante quando se considera o campo (field), isto é, uma função matemática, como algo fundamental, e as tensões eletromagnéticas e forças mecânicas como consequências desse campo. Não o contrário.”
Há muitas discussões interessantes sobre se os campos realmente existem, e essa conversa remonta a séculos atrás: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl
Quando ele discute campos, frequentemente acaba indo para seu trabalho de ciência “pseudo” sobre telepatia; uma das minhas palestras favoritas dele é esta: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q
A explicação é realmente excelente. Tudo é simples, mas rico em detalhes, de modo que memorizar e entender exige esforço e concentração.
Como foi explicado de uma forma que faz sentido, o conjunto todo parece fascinante. No segundo ano da engenharia, lutei com esse conteúdo, mas na época não cheguei a entender nem metade direito. Se existisse uma explicação assim, eu teria estudado com muito mais prazer. Acho que, por não ser inteligente o bastante para entender os resultados dos livros-texto e das fórmulas, perdi a chance de me encantar pelo próprio tema.
Gosto desse tipo de texto, mas todo mundo comete o mesmo erro de começar pela álgebra vetorial, não pela álgebra geométrica
Em espaço tridimensional, a álgebra vetorial funciona bem, mas em situações de 2 e 4 dimensões ela desmorona completamente. Parece intuitiva até que, em certo ponto, quebra de vez. Seria bom ver um texto no mesmo estilo, mas usando coisas como bivetores nos lugares adequados, de modo que tudo se generalize de forma limpa não só para o espaço tridimensional, mas para o espaço-tempo quadridimensional
O cálculo vetorial é bastante intuitivo e fácil de aprender, além de estar completamente consolidado no mundo da engenharia e da física. Passados 100 anos, as pessoas que o usam no trabalho real não vão trocar a notação para transformar as quatro equações de Maxwell em uma única equação de álgebra geométrica. O cálculo vetorial de Gibbs também é usado em dinâmica dos fluidos e em outras áreas da engenharia, e quase não vejo um movimento tentando convencer pesquisadores de dinâmica dos fluidos das vantagens da álgebra geométrica. Alguém pode até aparecer com algum pesquisador solitário que expressou as equações de Navier-Stokes com o produto geométrico, mas não sei o que isso mudaria. O cálculo vetorial tradicional é uma língua que todo mundo sabe falar, e a álgebra geométrica é apenas outra forma de dizer a mesma coisa; então, por que mudar?
Se você tiver uma ideia de como apresentar esse tipo de conteúdo ao público geral, eu gostaria de saber, e ficarei feliz em ajustar a abordagem
Em resumo, o produto geométrico da álgebra geométrica é uma forma diferencial de graus misturados, o que é bem estranho. Não daria para simplesmente pensar em termos de formas diferenciais? As equações de Maxwell se resumem de maneira bem elegante a dF=0, d*F = J
Todo professor de cálculo vetorial deveria ensinar aos alunos o significado intuitivo — isto é, visual e físico — de gradiente, divergência e rotacional
O mesmo vale para a intuição por trás de resultados como o teorema de Stokes e o teorema de Gauss. Mesmo estudantes de engenharia que não se interessem por demonstrações deveriam conseguir entender essa intuição
As equações originais de Maxwell conectavam a luz à eletricidade. As 20 equações originais tinham 20 incógnitas e usavam uma notação baseada em quatérnios que ninguém entendia
Heaviside reescreveu as 20 equações de Maxwell como 4 equações usando cálculo vetorial e, embora isso tenha ajudado a simplificar, acho que não veio sem custo. No mundo moderno ainda há muitas coisas sem explicação, especialmente em relação às experiências humanas individuais. Trabalhando como taxista, tive a chance de vislumbrar essas coisas e acabei encontrando pessoas que explicavam aquilo que me intrigava. Deve haver alguma conexão entre eletromagnetismo e gravidade, mas ainda não a descobrimos. O Bing CoPilot citou este artigo da Wikipedia em resposta à minha pergunta, mas ele passa do meu nível; seria bom se alguém pudesse explicar de forma acessível: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
Acrescentando uma curiosidade sobre Heaviside que ninguém perguntou: ele também foi quem criou o método de “cobertura” para fazer rapidamente decomposição em frações parciais[2]
[1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
[2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
Ele certamente eliminou os quatérnios, mas, como Maxwell também não fazia grande uso deles e sempre separava a parte escalar da parte vetorial, a diferença parece pequena. A diferença maior é que Maxwell as expressava em termos de potencial escalar e potencial vetorial, que é a forma obrigatória em QED. Já Heaviside eliminou isso e deixou apenas os campos elétrico e magnético. Verifiquei que são necessárias 7 equações de Maxwell para derivar as 4 equações no estilo de Heaviside. Se levarmos os quatérnios a sério, usando unidades naturais, dá para escrever as famosas 4 equações em apenas 2:
∇E + dB/dt = -ρ
∇B - dE/dt = J
É mais o fato de que certas características formais da relatividade geral correspondem aproximadamente às estruturas matemáticas mencionadas no eletromagnetismo, com a ressalva de que as simetrias subjacentes das duas teorias são diferentes
Quando perguntaram a Terence Tao por que ninguém havia conseguido provar a hipótese de Riemann, ele respondeu que, no momento, não temos as ferramentas adequadas para a prova. Não sou matemático, mas tenho uma forte sensação de que os quatérnios serão uma das ferramentas poderosas para provar a hipótese de Riemann. Diferentemente de outras ondas, como as sonoras, as ondas eletromagnéticas têm uma propriedade singular de polarização. Para modelar de forma completa e correta fenômenos baseados em eletromagnetismo, é necessária uma formulação e uma representação baseadas em quatérnios. Um dos motivos pelos quais a maioria das modulações sem fio existentes não aproveita a polarização é que a maioria dos engenheiros de micro-ondas e rádio não está familiarizada com quatérnios. Ironicamente, esse viés lembra a forte oposição que matemáticos e cientistas dos primeiros tempos tinham aos números complexos, enquanto hoje a maioria das modulações sem fio modernas, como OFDM, usa números complexos. Há aqui textos que derivam as equações de Maxwell usando álgebra geométrica e quatérnios, e elas podem ser resumidas em uma única equação elegante[1][2]
[1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
[2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
Se não se importar, gostaria de ouvir mais. Mesmo que seja algo meio místico, podemos fingir que ninguém vai ler
Sobre a equivalência relativística entre campos elétricos e magnéticos, isto aqui também vale como referência:
https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...
Sussman e Wisdom escreveram um livro chamado Structure and Interpretation of Classical Mechanics, seguindo o clássico livro SICP em Scheme, e fico curioso se alguém já tentou uma abordagem parecida para eletromagnetismo
Portanto, as equações de Maxwell são uma das teorias que fazem parte do grande corpo da mecânica clássica. Se quiser, é possível escrever a densidade lagrangiana ou o hamiltoniano para várias configurações experimentais, por exemplo uma partícula carregada em um campo, e derivar as equações de Maxwell. Há alguns artigos desse tipo. Também não há motivo para não usar o formalismo de SICM. Não sei se seria um exercício útil
Deve ser o capítulo 6
Estou jogando dinheiro na tela e nada acontece
Eu adoraria que transformassem este texto e temas relacionados em um livro. A escrita é realmente muito boa.