- Com base no princípio de que matrizes que comutam podem ser diagonalizadas simultaneamente, é explicado o modo de analisar vários sistemas sob uma perspectiva física
- Em sistemas com simetria translacional, a transformada de Fourier é usada para resolver a equação de ondas, a equação do calor e diversos fenômenos físicos
- Em estruturas com simetria de translação discreta de materiais cristalinos, a teoria de Bloch-Floquet explica a estrutura de bandas de energia e esclarece a diferença entre condutores e isolantes
- Em casos com simetria rotacional, o problema de autovalores do átomo de hidrogênio é resolvido ao diagonalizar o operador de rotação, conectando a representação de SO(3) à estrutura de camadas eletrônicas da tabela periódica
- Pela simetria SU(3), a classificação de partículas na física de partículas complexa é sistematizada, e as representações de simetria revelam uma estrutura organizada entre as partículas
Princípios básicos de operadores e diagonalização
- O conceito central é a propriedade matemática de que “duas matrizes comutáveis podem ser diagonalizadas simultaneamente”
- Conhecer os autovetores de um operador torna a diagonalização de outro operador muito mais simples
- Em física, assume-se que a maioria das matrizes é diagonalizável
1) Sistemas invariantes por translação
- Como os autovetores do operador de translação têm a forma ( e^{ikx} ), é natural usar a transformada de Fourier
- Esse método se aplica na solução da equação de ondas para luz, acústica, elétrons livres e para a equação do calor em meios homogêneos
2) Simetria de translação discreta e teoria de Bloch-Floquet
- O arranjo atômico de sólidos em uma estrutura cristalina possui simetria de translação discreta
- Usando autovetores do operador ( T_a\phi(x) = \phi(x+a) ) com ( \phi_k(x+a) = e^{ik\cdot a}\phi_k(x) )
- A partir disso, obtém-se a teoria de Bloch-Floquet, e o espectro se divide em uma estrutura de bandas
- Essa teoria é um modelo central da física da matéria condensada para explicar a diferença entre condutores e isolantes
3) Simetria rotacional e átomo de hidrogênio
- Em sistemas com invariância rotacional, é preciso diagonalizar primeiramente o operador de rotação
- Assim é possível obter os autovalores e autovetores do átomo de hidrogênio
- O subespaço de autovalores do átomo de hidrogênio é estável sob rotações e forma representações de dimensão finita de SO(3)
- As dimensões das representações irredutíveis de SO(3) são 1, 3, 5, … e, ao considerar o spin dos elétrons, correspondem aos níveis (2, 6, 10, 14, …) da tabela periódica
4) Simetria SU(3) e física de partículas
- Embora a física de partículas seja complexa, por trás dela existe a simetria SU(3)
- Considerar as representações de SU(3) organiza os diferentes tipos de partículas em uma classificação mais sistemática e estruturada
- Dessa forma, uma espécie de “classificação zoológica” de partículas aparece de modo ordenado
Menção adicional
- Embora existam 39 comentários adicionais além desses quatro casos no texto original, nenhum conteúdo específico é apresentado no corpo
1 comentários
Comentários do Hacker News
Meu pai não era matemático, era engenheiro, e resolvia todo problema não linear com Newton-Raphson
Uma das minhas primeiras lembranças de programação é implementar Newton-Raphson em BASIC num HP85a quando eu era criança
Depois também implementei isso em RPN numa calculadora HP, e até depurei os programas horríveis em BASIC do meu pai
Meu pai aprendeu um método numérico para encontrar raízes e um jeito de calcular segundas derivadas, e usou isso a vida inteira como engenheiro de processos químicos
Aliás, a documentação relacionada pode ser vista aqui
E meu pai vivia segundo a crença de que “um programador de FORTRAN determinado consegue escrever FORTRAN em qualquer linguagem”
SVD é uma ferramenta realmente poderosa em computação de engenharia, se você souber usá-la direito
Uma vez expliquei OOP para ele, ele decretou que era “inútil” e nunca mais pensou nisso
Ele funciona perfeitamente em exemplos simples, mas em problemas reais muitas vezes falha de forma desastrosa
Mas temo o homem que praticou o mesmo chute 1000 vezes”
Parece uma metáfora perfeita para um pai que usou Newton-Raphson a vida inteira
É fácil de implementar e, vendo a explicação na Wikipédia, parece bem interessante
Parece que engenheiros também têm cada um seu tema de resolução de problemas
Um colega sempre encontrava o hack mais simples possível, e outro amava o código em si e buscava a expressão mais elegante
Um ex-físico sempre lia mailing lists obscuras e acumulava entendimento profundo
Eu tendo a cavar fundo na estrutura do problema por bastante tempo, mas no fim as ferramentas que ganhei nesse processo foram mais úteis que a solução em si
Havia um engenheiro de infraestrutura que testava imediatamente qualquer coisa que via no Reddit, e hoje deve ter uns 50 milhões de dólares em patrimônio
Outro engenheiro aprendeu e integrou toda tecnologia por meio de sessões de treinamento
E um engenheiro famoso escrevia os melhores comentários do mundo — organizava problema, trade-offs, desempenho e partes inacabadas como se fosse um ensaio
No fim, os melhores engenheiros tinham em comum a disposição de “continuar tentando até dar certo”
Isso é especialmente útil quando o resultado está errado
Acho que o recurso “Go To Definition” é a ferramenta mais poderosa
O que senti nas aulas de ciência da computação foi que, em matemática, reconhecimento de padrões e truques são importantes
Sem conhecer os truques, você não avança, e quase nunca ensinavam esses truques diretamente nas aulas
Os professores presumiam que o aluno já sabia, ou achavam que, se não soubesse, era preguiçoso
Feynman disse em sua autobiografia que teve sucesso porque possuía truques matemáticos diferentes dos outros
A explicação relacionada pode ser vista aqui
Ele continuava atualizando a própria compreensão
Não eram chamativos, mas ele dominava perfeitamente aquele domínio limitado
Na faculdade, um professor explicava um problema e, se me visse cochilando, chamava meu nome
Eu, meio dormindo, respondia “teorema chinês do resto”, e acertava em 90% das vezes
Era aula de álgebra, então funcionava com essa frequência
Uma vez, durante uma aula, o professor não conseguiu resolver um problema
Fez uma pausa, foi ao escritório buscar suas anotações, e nelas havia apenas uma linha — “use o truque”
Alguém apresentou Tricki.org, uma wiki de técnicas para resolver problemas matemáticos, e achei bem interessante
Hoje já não recebe manutenção, mas ainda vale a consulta
Para programadores, pensamento em grafos é muito útil
Algumas pessoas dizem que SAT também é um ótimo truque, mas eu nunca usei diretamente
Em matemática aplicada existe a piada de que “somos como o Taco Bell: misturamos os mesmos seis ingredientes para criar menus diferentes”
Eu também tenho algumas técnicas que reutilizo repetidamente
No fim, não existem tantas ideias que movem o mundo, e um professor dizia que “a única inovação real das últimas décadas foi compressive sensing”
A parte difícil de compiladores é o parser
Basta encontrar um parser existente e fazê-lo gerar saída como template web da linguagem
Consultas de banco de dados ficam melhores se você as transformar em um índice invertido (inverted index) e,
acima de tudo, é preciso considerar com cuidado a localidade dos dados (locality)