O teorema de Pitágoras já estava em uma tabuinha de argila 1.000 anos antes de Pitágoras (2009)

• O teorema de Pitágoras é uma das proposições mais famosas da matemática, mas não há evidência de que Pitágoras o tenha descoberto ou demonstrado pessoalmente, e tabuínhas babilônicas apontam para uma origem mais antiga
• A tabuinha YBC 7289 da coleção babilônica da Yale University é um material de cerca de 1800–1600 a.C. e registra, em números sexagesimais, a relação entre o lado e a diagonal de um quadrado
• O 1;24,51,10 da tabuinha corresponde a 1.414213 em decimal, representando √2 com precisão até a quinta casa decimal e mostrando um caso particular da fórmula da diagonal do quadrado
• A escola pitagórica era uma comunidade secreta dedicada à matemática, filosofia e astronomia, e, por causa do costume de atribuir descobertas a Pitágoras, é difícil distinguir as contribuições individuais
• Do Elements de Euclides, à coletânea de 371 demonstrações de Loomis, à demonstração de Einstein aos 12 anos e ao uso na relatividade, até o Último Teorema de Fermat e a prova de Wiles, esse teorema atravessa várias eras da história da matemática

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Pitágoras e o nome do teorema

• O teorema de Pitágoras também é conhecido por vários nomes, como Pythagorean Theorem, Pythagoras’ Theorem e Euclid I 47
• É uma das proposições mais famosas da matemática, e o livro de Elisha Scott Loomis publicado em 1927 reúne 371 demonstrações
  • Entre elas estão demonstrações de Albert Einstein aos 12 anos, Leonardo da Vinci e do presidente americano James A. Garfield
• Pitágoras ficou permanentemente ligado à descoberta e à demonstração desse teorema, mas não há evidência de que ele próprio o tenha descoberto ou demonstrado
• Há evidências em tabuínhas de argila de que matemáticos babilônios descobriram e demonstraram esse teorema 1.000 anos antes do nascimento de Pitágoras

Pitágoras e a escola pitagórica

• Pythagoras of Samos nasceu por volta de 569 a.C. em Samos e morreu por volta de 475 a.C.; os historiadores em geral o consideram o primeiro matemático
• Não restaram escritos do próprio Pitágoras, e os registros sobre sua vida, feitos séculos depois e misturados com lendas, são de confiabilidade limitada
• Diz-se que ele fundou uma escola chamada Semicircle of Pythagoras perto de Crotone, no atual sul da Itália
  • A escola tinha um caráter meio religioso e meio científico e seguia regras secretas
  • Estudava matemática, filosofia e astronomia, e tinha o lema “Number Rules the Universe”
• O conhecimento da escola era transmitido oralmente, e as descobertas dos seguidores muitas vezes eram atribuídas a Pitágoras
  • Isso pode ter dado origem ao nome “Pythagoras’ Theorem”
  • Por causa desse funcionamento coletivista, é difícil separar a contribuição real de Pitágoras da de seus seguidores

A tabuinha babilônica YBC 7289

• Mesopotâmia era a região entre os rios Tigris e Eufrates, em posição geográfica aproximadamente correspondente ao atual Iraque
• A civilização babilônica se destacou há 4.000 anos, e milhares de tabuínhas de argila foram descobertas nos últimos dois séculos
  • Essas tabuínhas mostram uma civilização avançada no registro de fenômenos astronômicos, arte e literatura
  • Muitas ainda permanecem nos porões de museus aguardando decifração
• YBC 7289 é a tabuinha número 7289 da Babylonian Collection da Yale University
  • É um material do período babilônico antigo, datado de cerca de 1800–1600 a.C.
  • Nela estão gravados um quadrado inclinado e suas duas diagonais, além de números cuneiformes sob um lado e sob a diagonal
• Os números babilônicos usavam base 60, e até 59 eram semelhantes ao sistema decimal moderno, mas não havia zero
  • A unidade era representada por uma marca vertical em forma de Y
  • As dezenas eram representadas por uma marca semelhante na horizontal

√2 e um caso particular do teorema de Pitágoras

• Um dos registros na tabuinha mostra um cálculo para encontrar a largura quando o comprimento é 4 e a diagonal é 5
  • 4 × 4 = 16
  • 5 × 5 = 25
  • 25 - 16 = 9
  • Como 3 × 3 = 9, a largura é 3
• Em um dos lados do quadrado da YBC 7289 está registrado o número 30
• O 1;24,51,10 sob a diagonal indica, em notação moderna, valores posicionais em base 60
  • Em decimal, isso corresponde a 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.414213
  • Esse valor representa √2 com precisão até a quinta casa decimal
• A tabuinha mostra que os babilônios conheciam a relação entre o lado e a diagonal do quadrado, d = √2 × a
• Portanto, os babilônios já conheciam o teorema de Pitágoras, ou ao menos o caso particular da diagonal do quadrado d² = a² + a² = 2a², mais de 1.000 anos antes de Pitágoras
• A tabuinha também mostra que os babilônios conseguiam calcular raízes quadradas com considerável precisão
  • O valor 30 para o lado pode ter sido escolhido por ser conveniente no sistema sexagesimal
  • Os atuais 60 segundos por minuto, 60 minutos por hora e 360 graus do círculo também se relacionam com esse sistema de base 60

A forma moderna do teorema e Euclides

• Hoje, o teorema de Pitágoras costuma ser entendido como a expressão algébrica a² + b² = c²
• Para Pitágoras, esse teorema era uma proposição geométrica sobre áreas, e sua forma algébrica familiar só se consolidou por volta de 1600, com o surgimento da álgebra moderna
• Euclides de Alexandria foi um matemático grego ativo por volta de 300 a.C. e é chamado de “pai da geometria”
• O Elements de Euclides é considerado o livro didático mais bem-sucedido da história da matemática
  • É composto por 13 livros
  • Inclui definições, axiomas, proposições e demonstrações
  • Deriva os princípios da geometria euclidiana a partir de um pequeno conjunto de axiomas
• Euclides apresenta duas demonstrações do teorema de Pitágoras no Elements
  • Book I, Proposition 47 depende da relação entre áreas e é bastante sofisticada
  • Book VI, Proposition 31 se baseia no conceito de proporção e é mais simples
• Book I, Proposition 47 também é chamado de Euclid I 47 e depois passou a ser chamado de teorema de Pitágoras por Proclo e outros
• A primeira demonstração de Euclides não poderia ser de Pitágoras, porque exigia um nível de geometria que não existia em sua época
• Se a demonstração fosse do tipo de Book VI Proposition 31, ainda assim seria incompleta, já que a teoria completa das proporções só foi desenvolvida quase dois séculos depois de Pitágoras por Eudoxo

Alegações sobre o Egito e as pirâmides

• Os antigos egípcios formavam uma civilização concentrada no médio e baixo curso do rio Nilo, cerca de 500 milhas a sudoeste da Mesopotâmia
• Egito e Babilônia coexistiram de forma relativamente pacífica por mais de 3.000 anos, de cerca de 3500 a.C. até a era grega
• Não há evidência para a afirmação de que os egípcios conheciam o teorema de Pitágoras e o usaram na construção das pirâmides
• Há mais de 100 pirâmides no Egito, e a maioria foi construída como túmulo de faraós

Loomis e 371 demonstrações

• Elisha Scott Loomis foi um professor de matemática de Ohio que passou a vida reunindo demonstrações conhecidas do teorema de Pitágoras
• The Pythagorean Proposition, de Loomis, é um livro que reúne 371 demonstrações
  • O manuscrito foi preparado em 1907
  • Foi publicado em 1927
  • Ganhou uma segunda edição revisada em 1940
  • Em 1968, foi republicado pelo National Council of Teachers of Mathematics na série “Classics in Mathematics Education”
• Loomis recebeu centenas de novas demonstrações até sua morte, depois da publicação do livro, mas não conseguiu continuar atualizando a coletânea
• O número exato de demonstrações não é certo
  • Até para geômetras é difícil decidir quais demonstrações são realmente diferentes entre si

Einstein e a teoria da relatividade

• Albert Einstein relembrou em sua autobiografia o forte impacto que teve ao conhecer, por volta dos 12 anos, um livro de geometria plana euclidiana
• Einstein afirmou ter criado uma “demonstração” do teorema de Pitágoras baseada na semelhança de triângulos
  • Ele próprio colocou a palavra “proof” entre aspas
  • Essa demonstração é elegante e simples e mostra a ligação central do teorema entre comprimentos e áreas
• Mais tarde, Einstein usou o teorema de Pitágoras em uma forma quadridimensional na teoria da relatividade especial
  • dx² + dy² + dz² = (c dt)² conecta a distância percorrida pela luz no tempo dt, c dt, com os diferenciais das três coordenadas espaciais
  • Essa equação métrica pode ser vista como o teorema de Pitágoras aplicado a diferenciais de coordenadas
• Na relatividade geral, as propriedades geométricas do espaço são determinadas pela matéria, e isso inclui a explicação de que a noção de “empty space” perde o sentido
• Uma citação relacionada à relatividade explica que energia, momento e massa são conectados de forma gráfica pelo teorema de Pitágoras

O Último Teorema de Fermat e Wiles

• Pierre de Fermat estudou, no século XVII, o problema das soluções inteiras da forma xⁿ + yⁿ = zⁿ
• Quando n = 2, existem soluções inteiras por causa do teorema de Pitágoras
• Fermat conjecturou que, quando n > 2, não existem soluções inteiras não nulas x, y, z, mas não deixou uma demonstração
  • Ele escreveu na margem da Arithmetica de Diofanto que conhecia uma prova, mas não tinha espaço suficiente para registrá-la
  • Essa proposição ficou conhecida como Fermat’s Last Theorem
• Andrew Wiles provou em 1993 o Último Teorema de Fermat, um problema em aberto havia 350 anos, e a notícia saiu na capa do New York Times
• Wiles conheceu o Último Teorema de Fermat aos 10 anos e depois se tornou professor da Princeton University, pesquisando teoria dos números
• O resultado mais famoso de Wiles mostrou que toda curva elíptica semiestável racional é modular, e isso implica o Último Teorema de Fermat
• A conjectura de Shimura–Taniyama–Weil afirma que toda curva elíptica racional é modular; a proposição completa foi provada em 1998 por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond e Richard Taylor

Um teorema que atravessa 4.000 anos de história da matemática

• O teorema de Pitágoras leva o nome de Pitágoras, mas as tabuínhas babilônicas mostram cálculos e conhecimentos muito anteriores a ele
• Euclides colocou o teorema dentro de um sistema lógico de geometria, e o Elements continua sendo, 23 séculos depois, a base do sistema de demonstração rigorosa da matemática
• Da coletânea de demonstrações de Loomis, à demonstração de infância de Einstein e seu uso na relatividade, até a prova de Wiles do teorema de Fermat, esse teorema conecta matemáticos de diferentes épocas
• Todos os anos, estudantes, acadêmicos e solucionadores de problemas tentam acrescentar demonstrações novas e originais, mantendo o teorema de Pitágoras como um tema inesgotável da matemática

[GN⁺]

Opiniões do Hacker News

• Pitágoras era especialmente conhecido como alguém que reunia a sabedoria de várias culturas
  Segundo a tradição, ele conheceu Tales, foi iniciado como sacerdote egípcio em Hermópolis, passou um tempo na Babilônia depois de ser capturado e foi iniciado em todos os cultos de mistério possíveis. Em sua terra natal, Samos, é muito provável que tenha tido contato com a construção do templo de Hera, o maior templo de pedra da Grécia Antiga, e com a extraordinária realização de engenharia que foi o túnel de Eupalinos
  “A vida de Pitágoras”, de Jâmblico[1], vale a leitura porque é uma obra que teve acesso a fontes antigas hoje perdidas. Na época, a relação entre matemática e espiritualidade era muito forte
  Há também muitas anedotas divertidas que podem ser verdadeiras, mas que nunca poderemos confirmar. Em “Vidas dos filósofos”, de Diógenes Laércio, consta que Pitágoras sacrificou 100 bois, isto é, uma hecatombe, quando descobriu o que chamamos de teorema de Pitágoras[1]. Como disse Charles Dodgson, ou Lewis Carroll, “isso deve ter produzido uma quantidade de carne difícil de lidar”[3], especialmente se ele fosse vegetariano. Já Jâmblico diz que foi um único boi, e ainda por cima um boi feito de farinha
  [1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
  [2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
  [3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press

  • Não dá para deixar de fora a anedota mais divertida[1]. Sua veracidade é duvidosa, mas é possível que pelo menos parte dela seja verdadeira. Em resumo, Pitágoras criou um grupo religioso centrado nos números e na pureza semidivina dos números racionais, e acreditava que tudo podia ser expresso por números racionais
    Só que Hippasus, um integrante do grupo, mostrou de forma convincente que √2 não pode ser um número racional. Dizem que Pitágoras tentou fazê-lo jurar silêncio e, quando isso não funcionou, mandou matá-lo. Por causa de √2
    [1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
  • É preciso notar que afirmações como “conheceu Tales, foi iniciado como sacerdote egípcio em Hermópolis, passou um tempo na Babilônia depois de ser capturado e foi iniciado em todos os cultos de mistério possíveis” eram histórias atribuídas a várias figuras antigas para elevar sua linhagem de sabedoria
    Textos antigos também dizem que Platão viajou ao Egito e à Itália, mas, pelo que sei, estudiosos modernos em geral duvidam que essas viagens tenham realmente ocorrido
  • A frase “na época, a relação entre matemática e espiritualidade era muito forte” me faz lembrar Seymour Cray
    Uma das coisas de que ele gostava era cavar túneis sob a própria casa, e ele dizia que, quando trabalhava nos túneis, “as visitas dos elfos” eram o segredo do sucesso. Segundo consta, ele disse: “quando você está cavando um túnel, os elfos muitas vezes trazem as respostas para os problemas”[0]
    [0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
  • Essa ligação de que “a relação entre matemática e espiritualidade era muito forte” parece estar voltando hoje em dia. À medida que as pessoas projetam a capacidade dos computadores para além das capacidades humanas, as implicações acabam inevitavelmente tocando as fronteiras da espiritualidade
    Exemplos incluem transumanismo, o racionalismo extrapolado de forma absurda ao estilo Yudkowsky (Basilisk etc.), a hipótese da simulação e o salvacionismo da inteligência artificial geral
  • “A relação entre matemática e espiritualidade era muito forte” vale para as pessoas cujos registros sobreviveram sem serem apagados
    Fico me perguntando como poderemos preservar informação digital por milhares de anos

• Qualquer grupo capaz de construir um edifício com fundação retangular teria descoberto a relação entre os comprimentos dos lados e a diagonal. Os egípcios já usavam triplas pitagóricas para medir ângulos retos muito antes de Pitágoras nascer.
  Mas isso é uma observação, não um teorema. Vira teorema quando se prova — ou seja, se explica — por que essa relação sempre vale com base em coisas mais evidentes. A tabuleta de argila babilônica mencionada no texto não parece ter feito isso, mas os gregos certamente fizeram. Não dá para saber se o próprio Pitágoras fez, porque seus escritos não sobreviveram, mas gregos posteriores sabiam prová-lo e atribuíram isso a Pitágoras.

  • Segundo o texto, essa tabuleta de argila babilônica está mais perto de um teorema do que parece. Dizem que eles não usaram triplas pitagóricas; descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é √2 e sabiam calculá-la.
    1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.414213
  • Por que seriam necessários números para marcar um ângulo reto? Uma reta e uma corda bastam.
    Ainda assim, concordo com o segundo parágrafo. Há uma grande diferença entre algo transmitido como um procedimento do tipo “é assim que se estima este projeto de construção” e um teorema declarado como verdade universal e base para todo tipo de outros teoremas. Mesmo que os dois digam exatamente a mesma coisa.
  • No início dos anos 1980, fiz uma disciplina na University of Buffalo sobre exemplos de geometria pitagórica em monumentos henge pré-romanos e estruturas antigas.
    Na prática, era uma aula vendo uma apresentação de slides das viagens do professor pela Europa e fotos de ruínas antigas. Depois ele mostrava desenhos lineares das estruturas e, às vezes, escolhia pontos que pareciam arbitrários para formar triângulos 3-4-5. Então exclamava: “Viram? Eles já conheciam o teorema de Pitágoras antes de Pitágoras!”
    A única atividade valendo nota era escrever um artigo “descobrindo” um caso semelhante. Escolhi uma foto qualquer de uma igreja antiga, “encontrei” um triângulo retângulo em sua fundação e tirei A. Com certeza era só observação, não um teorema.
  • Não entendo por que seria necessário dizer que “qualquer grupo capaz de construir um edifício com fundação retangular teria descoberto a relação entre os comprimentos dos lados e a diagonal”.
    Dá para ir bem longe alinhando no olho e fazendo cortes sob medida onde for necessário.
  • Será mesmo? Eu achava que as provas da época eram geométricas e, portanto, provavam apenas casos específicos.
    Por isso eu pensava que só tinha sido devidamente provado depois da descoberta da álgebra, talvez da trigonometria.

• Uma explicação para quem tem curiosidade sobre como se chegou à aproximação √2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3.
  A ideia central é simples.
  Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
  => (2a+b) b < Z-a^2
  Dada uma estimativa inicial “a”, basta encontrar o maior “b” tal que o termo da esquerda seja menor que o termo da direita. Assim, a estimativa fica sempre ligeiramente abaixo da resposta real, e é possível repetir o processo para se aproximar aos poucos.
  Na primeira iteração, Z=2 e a=1. Fazendo b=x/60, temos
  (2+x/60)*x/60 < 2-1^2
  120x + x^2 < 3600
  x = 24 ... 3456 < 3600
  x = 25 ... 3625 > 3600
  Portanto, o primeiro termo é 24/60.
  Repetindo com a=1+24/60 e b=x/60^2, temos
  (2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
  10080x+x^2 < 518_400
  x = 51 ... 516_681 < 518_400
  x = 52 ... 526_864 > 518_400
  É só repetir várias vezes.
  Em código, dá para obter facilmente 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1.4142135623730951.
  Esse processo inteiro pode ser formalizado como o algoritmo de divisão longa para raízes quadradas, e também funciona de modo bem elegante em base decimal.

  • Fico curioso por que se escolhe b=x/60 na primeira iteração. Para mim não é óbvio, embora com certeza houvesse um motivo natural para eles escolherem a base 60.
  • Fico curioso sobre qual é a evidência de que eles realmente calculavam dessa forma.

• O que importava para as pessoas da época não era a fórmula em si. Essa fórmula já era conhecida empiricamente havia séculos.
  O que causou impacto foi ele ter sido o primeiro a provar que, para a “maioria” dos triângulos retângulos, não existem números racionais P, Q tais que PA = QC para um lado A e a hipotenusa C. Essa foi a parte que mudou tudo.

• Combina bastante que o hoje extinto “Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing” tenha publicado, sobre um tema totalmente fora de sua área e aparentemente de baixíssima qualidade, um texto com um título caça-cliques e enganoso.
  Talvez tenha sido um precursor, patrocinado pela Springer, das aberrações movidas por otimização de busca de hoje.
  Confundir cálculo com prova é um erro inaceitável para uma revista acadêmica séria.
  Quase não há dúvida de que provar teoremas é uma ferramenta cognitiva que se desenvolveu a partir de regularidades observadas. Mas perguntar “por quê?” e, mais importante, responder a isso com lógica é um avanço nada trivial.

• A cultura dominante, tanto antes quanto agora, era fascinada pela Grécia Antiga
  A cultura ocidental criou as raízes do vocabulário científico a partir do grego antigo
  Também tem uma linhagem filosófica que vai da Grécia Antiga até o século XIX
  Só no século XIX, por meio da arqueologia — também um neologismo criado a partir de raízes do grego antigo, o que por causa disso sugere ao mainstream que os gregos antigos tinham o conceito de arqueologia, embora obviamente não tivessem —, passamos a enxergar a verdade. A história é milhares de anos mais profunda, e a origem de tudo é milhares de anos mais antiga
  A capital de Hattuša foi descoberta há apenas 30 anos, e foi só no século XX que passamos a entender as várias camadas da cidade histórica de Troy
  Só recentemente entendemos o fato de que “não começou na Grécia Antiga”, mas o mainstream ainda segue a tradição das escolas de gramática medievais e não olha além da Grécia Antiga

  • A explicação mais simples não seria que a Grécia teve mais sucesso em difundir seus próprios textos do que as culturas anteriores?
    Entendo que a “linha de conexão” do desenvolvimento da ciência moderna começa na Grécia porque é a partir dali que começa a história registrada que os estudiosos modernos conseguem ler facilmente
    Sempre soubemos que não começou na Grécia Antiga. Os próprios gregos diziam isso. Mas, como não existem fontes primárias abundantes anteriores à Grécia Antiga, não há muito que possamos fazer além de acender uma vela por eles e, à luz dela, ler ideias filtradas por Plato e outros
  • Ainda assim, os gregos fizeram algo notável que, até onde sei, não se vê em registros anteriores. Iniciaram uma cultura de pensamento livre, que cresceu para se tornar filosofia, lógica e investigação científica
    É claro que também condenaram à morte alguns livre-pensadores por não adorarem os deuses, mas isso é outra questão
  • Nem mesmo os antigos gregos achavam que tudo tinha começado na Grécia Antiga. Por exemplo, Plato acreditava em Atlantis
  • Não entendo por que seria óbvio que “isso sugere que os antigos gregos tinham o conceito de arqueologia, embora obviamente não tivessem”
    Os antigos egípcios e os povos da Mesopotamia também tinham um conceito de arqueologia, então por que os gregos não teriam?

• O texto afirma que os babylonian descobriram o teorema de Pitágoras, mas o que ele realmente mostra é apenas a possibilidade de que eles acreditassem que ele fosse verdadeiro
  Até que surjam evidências melhores, pelo menos no “Ocidente” — não sei muito sobre coisas como a matemática chinesa —, ainda parecem ter sido os gregos os primeiros a criar o conceito de prova matemática dedutivamente válida, e não indutiva

• É o problema da publicação em massa
  As pessoas geralmente atribuem algo, por engano, não a quem fez a descoberta primeiro, mas a quem conseguiu transmiti-la ou publicá-la mais amplamente
  Na Antiguidade, isso era um problema especialmente difícil
  O conhecimento muitas vezes era transmitido oralmente, não por escrito
  Mesmo quando era registrado por escrito, é bem provável que os materiais usados tenham se corroído há muito tempo
  Por isso, a maior parte do pensamento antigo que conhecemos se baseia em conhecimentos que eram tão amplamente conhecidos e registrados que sobreviveram em várias cópias, ou em conhecimentos registrados em materiais resistentes, como pedra, a exemplo dos hieróglifos egípcios. Mas isso não significa que tenham sido os primeiros conhecimentos dos antigos; significa apenas que o registro escrito daquele conhecimento específico resistiu por mais tempo ao teste do tempo

• Houve uma discussão no HN há 7 anos sobre uma prova paralela encontrada em um livro chinês de 2600 anos
  https://news.ycombinator.com/item?id=13952265

• Pelo que sei, na China isso era conhecido pelo menos antes de Pitágoras
  https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing

  • Pode até ter sido, mas o próprio texto linkado nega a certeza dessa afirmação