Introdução à Álgebra Linear Explicada com Linhas
(ducktyped.org)- Este texto apresenta os conceitos básicos de álgebra linear com ilustrações
- No início, foca principalmente em eliminação de Gauss e nos conceitos de visão por linhas vs visão por colunas
- Usa exemplos realistas (moedas, comida) para explicar de forma simples equações lineares e o processo de encontrar soluções
- Destaca a mudança de forma de pensar matemática para além de sequências, incluindo vetores e notação matricial
- Enfatiza que o núcleo da álgebra linear é lidar com arranjos, vetores e matrizes em vez de apenas números
Introdução
Este texto é um material introdutório para quem já conhece álgebra tradicional, mas ainda não conhece álgebra linear.
Os dois primeiros conceitos importantes abordados são eliminação de Gauss (Gaussian elimination) e visão por linhas (row picture) vs visão por colunas (column picture).
Exemplo com dinheiro
- Explica o problema de calcular quantas moedas de níquel (
nickel) e de centavo (penny) são necessárias para formar 23 centavos - x é a quantidade de moedas de níquel, e y é a quantidade de moedas de centavo. Ao transformar isso em equação, temos uma equação linear em que combinações de x e y produzem 23
- Neste exemplo, várias soluções são possíveis (por exemplo: 4 moedas de níquel e 3 de centavo, ou 23 moedas de centavo)
- Enfatiza que uma equação linear (linear equation) é uma expressão sem curvas nem buracos, em que tudo está em um plano
- Ajustar um número com 2 variáveis é fácil, mas quando surge a situação de ajustar dois números simultaneamente com 2 variáveis, a coisa fica mais complexa, e é aí que a eliminação de Gauss se torna útil
Exemplo com comida
- Há dois alimentos, como pão (
bread) e leite (milk), e o problema é encontrar a combinação que atinja uma meta definida (por exemplo, 5g de carboidratos e 7g de proteína) com base nas informações de carboidratos (carbs) e proteína (protein) de cada alimento - Nesse caso, é preciso montar duas equações e encontrar os valores de x (quantidade de leite) e y (quantidade de pão)
- Esse tipo de problema é resolvido com eliminação de Gauss
Eliminação de Gauss
- Explica o processo de reescrever o problema como duas equações lineares e então eliminar as variáveis uma a uma, somando ou subtraindo múltiplos de uma equação da outra para restringir os valores possíveis
- No exemplo, elimina-se y, encontra-se o valor de x e depois esse valor é substituído de volta para encontrar y
- Como resultado, a resposta é 3 leites e 1 pão
- Menciona que a eliminação de Gauss é uma técnica geral com uma longa história
Forma de entender por imagens
- Se acima o problema foi resolvido pela visão por linhas (row picture), agora ele é resolvido visualmente por meio de desenhos/gráficos
- Cada equação é transformada com x (leite) como referência e desenhada como uma reta no gráfico
- O gráfico da primeira equação representa todas as combinações de leite e pão que satisfazem a meta de carboidratos (os pontos sobre a reta)
- A segunda equação é representada da mesma forma
- Para atingir as duas metas ao mesmo tempo, a resposta é o único ponto em que as duas retas se cruzam
- Esse método também leva ao resultado de 3 leites e 1 pão
- Explica que a eliminação de Gauss é uma técnica muito básica e essencial, usada há mais de 2.000 anos mesmo sem álgebra linear
Visão por colunas (Column Picture)
- Antes, o foco estava na visão por linhas (row picture), que observa cada equação separadamente; agora, entra a visão por colunas (column picture)
- As duas equações são combinadas em uma só, e os coeficientes são expressos como arranjos (vetores)
- Pode-se pensar em um vetor como um arranjo numerado em ordem (semelhante ao vetor na ciência da computação)
- Representação gráfica de vetores: um vetor pode ser mostrado como ponto ou como seta
- Observando visualmente a soma de vetores, é possível perceber de forma intuitiva o caminho até a resposta (por exemplo, somar três vezes o vetor do leite e uma vez o vetor do pão)
- Também explica que multiplicação e soma de vetores são operações aplicadas aos elementos correspondentes de cada vetor
- A visão por colunas com vetores pode ser mais intuitiva do que a abordagem anterior em vários aspectos
Entendendo álgebra linear
- Reforça que o ponto principal da álgebra linear é a mudança de perspectiva: sair da álgebra centrada em números para uma álgebra centrada em arranjos e vetores
- Tanto a visão por colunas quanto a visão por linhas são formas essenciais de visualização em álgebra linear
- Por fim, apresenta brevemente a notação matricial (matrix), mostrando que todo o sistema pode ser organizado na forma matriz x vetor
Prévia do que vem a seguir
- Nos próximos capítulos, outros conceitos importantes de álgebra linear, como matrizes e produto escalar (dot product), serão tratados em mais detalhes
- Se tiver interesse, o texto sugere fazer a inscrição
Leitura adicional e encerramento
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1 comentários
Comentários do Hacker News
Concordo que o conteúdo está claro e é útil, mas os números usados no exemplo, 1 e 2, representam ao mesmo tempo pão e leite, então ao olhar para a forma matricial fica difícil distinguir intuitivamente qual 1 é pão e qual 1 é leite; acho que teria ficado muito mais claro se tivessem usado números diferentes para cada coisa, como 1, 2, 3 e 4
Gostei muito da parte final do post, mas começar com eliminação de Gauss parece uma abordagem um pouco "mística", embora eu não consiga achar a palavra exata; parece mais lógico apresentar primeiro o problema ("como resolver um sistema de equações?" "como encontrar a interseção de duas retas?"), mostrar isso graficamente e só depois introduzir o método ou algoritmo. Fazer o contrário passa a sensação de ensinar a regra da cadeia em cálculo antes do significado geométrico
Sou o autor — acho que você tem razão. Escrevi a parte sobre eliminação de Gauss como uma revisão, porque imaginei que a maioria dos leitores já teria visto isso antes, e eu queria chegar logo ao conteúdo principal. Se mais gente achou essa parte difícil, adoraria ouvir esse feedback. Talvez eu realmente precise explicar com mais calma e em mais detalhes
Ainda não está claro para mim o que exatamente significa "podemos eliminar". Mesmo assim, a forma como você (autor) introduz a visão por colunas é muito atraente e realmente útil para iniciantes como eu<br>Além disso, existem incontáveis livros de álgebra linear, mas todos diferem no conteúdo e na ordem, o que faz parecer que álgebra linear é difícil tanto de ensinar quanto de entender. Por isso acho que precisamos de mais perspectivas diferentes, já que não existe uma única abordagem que funcione igualmente bem para todo mundo
Gostei muito deste post. Acho que seria menos confuso se, em vez de usar apenas x e y como nomes de variáveis para pão e leite, fossem usadas outras letras, porque depois x e y acabam virando outros x e y no gráfico, representando conceitos diferentes, como carboidratos e proteínas
Estou vendo mais um trabalho do Aditya Bhargava. Já era fã desde a época de Grokking Algorithms
O conteúdo é bem bom. Até eu fazer um semestre na faculdade, álgebra linear era um completo mistério para mim. Ficou muito bem organizado<br>Para quem não está familiarizado com o conceito de vetor, talvez fosse ainda melhor explicar brevemente como dois vetores (magnitude e direção) representam, cada um, 1 pão e 1 leite, e como um vetor pode ser deslocado ou somado a outro
Queria que existisse mais conteúdo assim no mundo. Fazer bom conteúdo didático de matemática é realmente difícil. Está muito bom
Gostei muito do método de explicação visual e da forma de motivar o assunto. Atualmente estou estudando álgebra linear com alguns materiais, como "The No Bullshit Guide to Linear Algebra", e acho bem bom. Se alguém tiver mais recomendações de livros de álgebra linear nesse nível mais prático e diretamente aplicável, seria ótimo compartilhar. A maioria dos livros parece teórica demais ou com barreira de entrada alta demais
Também estou revisando livros-texto de LinAlg agora, abordando a partir do interesse em ML/AI<br>Já fiz álgebra linear na KA academy e estou usando outros materiais e livros em paralelo<br>As pessoas provavelmente vão recomendar 3B1B e Strang (o curso de LinAlg do MIT OCW); o 3B1B é intuitivo e ótimo como introdução, mas parece um pouco rápido para um primeiro estudo de verdade, e o Strang é realmente excelente, embora às vezes ele divague nas aulas e fique difícil acompanhar; mesmo assim, eu definitivamente uso como material complementar<br>LADR4e (Linear Algebra Done Right) também é bom, mas a parte das demonstrações é difícil e eu ainda não consegui acompanhar tudo<br>Também há 'Linear Algebra done wrong' e os livros do Hefferon, mas eles também entram relativamente rápido em demonstrações; devem ser excelentes para um segundo ou terceiro estudo<br>Além disso, existe uma disciplina separada chamada 'abstract linear algebra', e a diferença de complexidade para os livros tradicionais de álgebra linear não é tão grande assim<br>O material em que avancei mais foi o livro de ROB101 (https://github.com/michiganrobotics/rob101/blob/main/Fall%202021/Textbook/ROB_101_December_2021_Grizzle.pdf), que usei como referência principal até independência linear, junto com as aulas do Strang no MIT<br>O ROB101 também trata bem do lado de programação, então é adequado para pensar ML/AI em conjunto com código<br>Também tenho alguns livros de matemática do leste europeu para fazer exercícios<br>Recentemente tenho revisado este curso/livro: https://www.math.ucdavis.edu/~linear/ e também tenho recebido muita ajuda destas notas: https://math.berkeley.edu/~arash/54/notes/
Um livro que li com muito interesse foi "Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares"<br>https://web.stanford.edu/~boyd/vmls/
Você disse que seu objetivo é um "entendimento prático e diretamente aplicável", mas fiquei curioso: aplicar em quê, exatamente? Na minha opinião, aprender teoria (por exemplo, álgebra linear) só por motivação prática é um pouco estranho; talvez seja melhor ler um livro da área de aplicação real enquanto estuda a teoria em paralelo. E, se surgir uma situação em que a teoria realmente seja indispensável, então não vai ter jeito: será preciso aprendê-la, por mais difícil que seja<br>Por exemplo, álgebra linear é muito importante para estudar mecânica quântica, então, se esse for o objetivo, eu até diria que faz mais sentido começar por um livro de mecânica quântica
Você disse que seu objetivo é um "nível prático, diretamente aplicável", e o meu é o mesmo. Acho que ML é uma área perfeita para usar isso na prática, e eu também estou preparando uma série sobre o tema
Acho que a série de álgebra linear do 3blue1brown também precisa ser mencionada. Ela está um pouco acima do nível deste texto, mas a explicação é realmente excelente e ainda assim bastante acessível<br>https://youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab
Os vídeos do 3B1B são realmente impressionantes, mas os de álgebra linear pareceram um pouco rápidos demais para mim, e isso foi o que me levou a começar esta série
É impressionante que o framework gráfico usado pelo 3B1B esteja disponível como open source<br>https://github.com/ManimCommunity/manim
Sempre que leio esse tipo de texto, no começo penso: "Uau! Finalmente apareceu alguém que consegue explicar matemática de um jeito que eu entendo!" Mas, chegando na parte da eliminação de Gauss, eu me perco de novo
O nome Josh Starmer me vem automaticamente à cabeça quando vejo a expressão "Bam!". Não sei se mais alguém lembra daquele livro em que ele explicava machine learning desenhando tudo, e eu também via bastante o canal dele no YouTube antigamente. Acho que esse tipo de conteúdo realmente torna o aprendizado mais divertido