Introdução ao cálculo estocástico
(jiha-kim.github.io)- O cálculo estocástico aborda sistemas reais irregulares, como o movimento browniano, priorizando a intuição física e o processo de derivação em vez do formalismo
- A distribuição binomial discreta e o passeio aleatório simétrico, ao aumentar o número de tentativas e aplicar escalonamento, levam pela teoria do limite central à distribuição normal e a processos estocásticos contínuos
- O movimento browniano (W(t)) tem incrementos independentes e (W(t)\sim N(0,t)); suas trajetórias são contínuas, mas quase certamente não são diferenciáveis em lugar nenhum
- No cálculo de Itô, por causa das regras (dW=\sqrt{dt}N(0,1)) e ((dW)^2\approx dt), um termo de segunda ordem é acrescentado à regra da cadeia usual
- Equações diferenciais estocásticas modelam tendência e aleatoriedade juntas por meio de drift e diffusion; a abordagem de Stratonovich preserva a regra da cadeia usual com avaliação no ponto médio e é usada em física, controle, difusão biológica e simulações numéricas
Os problemas tratados pelo cálculo estocástico
- O cálculo estocástico é uma ferramenta baseada no movimento browniano e no cálculo de Itô para tratar sistemas reais irregulares como modelos calculáveis
- Suas áreas de aplicação se estendem amplamente por física, finanças, biologia e machine learning
- Física: Einstein mostrou a existência dos átomos usando o fato de que as flutuações do movimento browniano correspondem a colisões moleculares
- Finanças: modelos de precificação de opções, como a equação de Black-Scholes, dependem de equações diferenciais estocásticas da forma (dS=\mu Sdt+\sigma SdW)
- Biologia: passeios aleatórios modelam a difusão de espécies ou disparos de neurônios
- Machine learning: Song et al. (2021) modelam a evolução do ruído ao longo do tempo com equações diferenciais estocásticas baseadas no cálculo de Itô e as usam no sentido inverso para gerar novas amostras
Da distribuição binomial ao processo estocástico contínuo
- O triângulo de Pascal conta o número de caminhos que vão para a esquerda ou para a direita em cada etapa, e o número de maneiras de chegar à (k)-ésima posição na (n)-ésima linha é (\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!})
- A probabilidade de obter (k) sucessos e (n-k) fracassos em tentativas independentes é a seguinte
[ P(k \text{ wins in } n \text{ trials})=\binom{n}{k}p^kq^{n-k} ]
- A hipótese de independência é uma condição forte, portanto em situações reais nas quais psicologia e momentum entram em jogo, como sequências de vitórias no esporte ou preços de ações, o modelo pode se tornar impreciso
- Fenômenos que mudam continuamente, como queda livre, difusão de gases, flutuações de preços de ações e colisões de moléculas em líquidos, são difíceis de tratar apenas com pontos e somas; exigem intervalos e integrais
Passeio aleatório e teorema central do limite
- Em um passeio aleatório simétrico com (p=0.5), o deslocamento de uma etapa é definido assim
[ X(t)= \begin{cases} 1 & \text{with probability } \frac{1}{2}\ -1 & \text{with probability } \frac{1}{2} \end{cases} ]
- Cada (X(t)) tem média 0 e variância 1, e assume-se que as etapas em tempos diferentes sejam independentes
- O deslocamento total é expresso como a soma de variáveis aleatórias independentes
[ S(n)=X(1)+X(2)+\dots+X(n)=\sum_{t=1}^{n}X(t) ]
- Pelo teorema central do limite, a soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (X_1,\dots,X_n) aproxima-se de uma distribuição normal quando (n\to\infty)
[ X_1+\dots+X_n\sim N(n\mu,n\sigma^2) ]
- Nesse passeio aleatório, vale a seguinte relação
[ S(n)\sim N(0,n) ]
[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}S(n)=N(0,1) ]
- Portanto, uma “distribuição binomial contínua” leva à distribuição normal
Definição do movimento browniano
- O movimento de pequenas partículas ou pólen sobre a água, observado por Robert Brown na década de 1820, era extremamente irregular; em pequena escala, o movimento real devido a forças externas aparecia de forma tão sensível que dominava o movimento anterior
- Em um modelo matemático simplificado, eventos em tempos diferentes são vistos como independentes e, pela simetria de posição, considera-se que a posição média da partícula no tempo (t) esteja próxima da origem
- As propriedades que um passeio aleatório contínuo deve ter são as seguintes
- O ponto inicial é definido como 0 por conveniência matemática
- Não há viés de direção, então o deslocamento esperado de cada etapa e o deslocamento esperado total são 0
- Os deslocamentos em intervalos de tempo diferentes são independentes
- A trajetória é contínua, sem saltos nem lacunas
- A distribuição da posição em um instante específico deve ser normal
- O movimento browniano costuma ser denotado por (B_t), e o processo de Wiener por (W_t); aqui usamos (W(t)) para enfatizar a dependência temporal
- Suas principais propriedades são as seguintes
[ W(0)=0 \quad \text{almost surely} ]
[ W(t)\sim N(0,t) ]
[ \Delta W(s,t)\sim N(0,t-s) ]
- Incrementos (\Delta W(t_1,t_2)) e (\Delta W(t_2,t_3)) em intervalos diferentes são independentes quando (t_1<t_2\le t_3)
- Daí seguem (E[W(t)]=0) e (Var(W(t))=t)
- As trajetórias amostrais (t\mapsto W(t)) são quase certamente uniformemente Hölder-contínuas para todo expoente (\gamma<\frac12), mas não são Hölder-contínuas em lugar nenhum para (\gamma\ge\frac12); em particular, não são diferenciáveis em lugar nenhum
Regras centrais do cálculo de Itô
- O movimento browniano é contínuo, mas irregular demais para ter uma derivada usual
- Em um pequeno intervalo (dt), vale o seguinte
[ \Delta W(t,t+dt)\sim N(0,dt)=\sqrt{dt}N(0,1) ]
[ \frac{\Delta W(t,t+dt)}{dt}=\frac{1}{\sqrt{dt}}N(0,1) ]
- Quando (dt\to0), (\frac{1}{\sqrt{dt}}) cresce infinitamente, portanto não converge para uma derivada finita
- Kiyosi Itô criou na década de 1940 o cálculo de Itô, adaptado à aleatoriedade do movimento browniano, e ele se tornou a base do cálculo estocástico
-
(dW) e ((dW)^2)
- A pequena variação do movimento browniano é definida assim
- [
- dW:=W(t+dt)-W(t)
- ]
- [
- dW=\sqrt{dt}N(0,1)
- ]
- (dW), ao contrário do (dx) determinístico do cálculo usual, é aleatório; sua magnitude é proporcional a (\sqrt{dt}) e o sinal depende da distribuição normal padrão
- A esperança e a variância são as seguintes
- [
- E[dW]=0
- ]
- [
- Var(dW)=E[(dW)^2]=dt
- ]
- A esperança de ((dW)^2) é (dt), sua variância é (2dt^2) e, quando (dt\to0), sua variabilidade se torna desprezível; por isso, no cálculo de Itô, trata-se ((dW)^2\approx dt)
- No cálculo usual, ((dx)^2) é pequeno demais e desaparece, mas no cálculo estocástico ((dW)^2) está na mesma escala de (dt), então as regras de cálculo mudam
-
Integral de Itô
- Assim como a integral usual (\int_a^b f(x)dx) é definida como o limite de somas de Riemann, para o movimento browniano considera-se (\int_0^t f(s)dW(s))
- Para uma partição (s_0,\dots,s_n), ela é aproximada pela seguinte soma
- [
- \int_0^t f(s)dW(s)\approx \sum_{i=0}^{n-1}f(s_i)\Delta W(s_i,s_{i+1})
- ]
- O resultado dessa integral é uma variável aleatória que reflete a aleatoriedade de (W(t))
- Avaliar (f(s_i)) na extremidade esquerda usa apenas as informações até o tempo (s_i), portanto tem a propriedade non-anticipating, isto é, não olha para o futuro
-
Lema de Itô
- A regra da cadeia do cálculo usual, para (f(t,W(t))), é a seguinte
- [
- df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW
- ]
- Devido à natureza irregular do movimento browniano, o termo de segunda ordem da expansão de Taylor não desaparece
- [
- df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}(dW)^2+\text{smaller terms}
- ]
- (dt^2) e (dt,dW) desaparecem, mas ((dW)^2\approx dt) permanece
- Portanto, o lema de Itô assume a seguinte forma
- [
- df=\frac{\partial f}{\partial t}dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}dt
- ]
- O termo adicional (\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial W^2}dt) surge devido ao efeito de segunda ordem do movimento browniano
- No caso (f(W)=W^2), calcula-se assim
- [
- d(W^2)=2W,dW+dt
- ]
- [
- W(t)^2=\int_0^t2W(s)dW(s)+t
- ]
- O termo (t) coincide com (E[W(t)^2]=t), e o termo integral é uma componente aleatória de média 0
Modelagem com equações diferenciais estocásticas
- Como o cálculo de Itô fornece integrais e regra da cadeia para o movimento browniano, sistemas que combinam aleatoriedade e tendência podem ser modelados por equações diferenciais estocásticas (SDEs)
- Uma SDE geral é a seguinte
[ dX(t)=a(t,X(t))dt+b(t,X(t))dW(t) ]
- O significado de cada termo é o seguinte
- (X(t)): uma quantidade que varia ao longo do tempo
- (a(t,X(t))dt): drift, a parte sistemática
- (b(t,X(t))dW(t)): diffusion, a perturbação aleatória vinda do movimento browniano
- A solução de uma SDE não é uma curva fixa, mas uma trajetória aleatória diferente a cada execução, da qual se podem analisar padrões estatísticos
-
Forma geral do lema de Itô
- Para (dX=b(t,X(t))dt+\sigma(t,X(t))dW), o lema de Itô para (f(t,X(t))) é o seguinte
- [
- df=(f_t+bf_X+\frac{1}{2}\sigma^2f_{XX})dt+\sigma f_XdW
- ]
- Ele é derivado considerando (dX=O(dW)) e até (dX^2=O(dW^2))
-
Drift e diffusion
- O drift (a(t,X)) determina a direção média, e a diffusion (b(t,X)) determina a intensidade das flutuações aleatórias
- Se (b=0), torna-se uma equação diferencial usual; se (a=0), torna-se um movimento browniano escalonado
- Um caso simples pode ser escrito assim
- [
- dX(t)=\mu dt+\sigma dW(t)
- ]
- Se (X(0)=0), tem a seguinte solução
- [
- X(t)=\mu t+\sigma W(t)
- ]
- Como (W(t)\sim N(0,t)), a distribuição é a seguinte
- [
- X(t)\sim N(\mu t,\sigma^2t)
- ]
- Esse é um processo que sofre drift linear ao longo do tempo e em que o ruído se espalha; é a forma básica de um modelo para algo como uma ação com crescimento constante e volatilidade
-
Movimento browniano geométrico
- Em sistemas nos quais a variação é proporcional ao tamanho, usa-se o movimento browniano geométrico (GBM)
- [
- dS(t)=\mu S(t)dt+\sigma S(t)dW(t)
- ]
- (\mu S(t)) é o drift proporcional, e (\sigma S(t)) é o ruído proporcional
- (\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dW) é uma variação relativa com tendência e aleatoriedade
- Definindo (f=\ln S) e aplicando o lema de Itô, obtém-se
- [
- d(\ln S)=\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)dt+\sigma dW
- ]
- Integrando, obtém-se a seguinte solução
- [
- S(t)=S(0)\exp\left(\left(\mu-\frac12\sigma^2\right)t+\sigma W(t)\right)
- ]
- O motivo de o drift ser ajustado em (-\frac12\sigma^2) é o efeito de segunda ordem do ruído, e essa forma é a base do modelo Black-Scholes em finanças
- Soluções analíticas como a do GBM são exceções; a maioria das SDEs exige simulação numérica ou análise estatística por meio de equações como a de Fokker-Planck
Cálculo de Stratonovich
- O lema de Itô inclui um termo de segunda derivada, o que pode tornar os cálculos trabalhosos
- O cálculo de Stratonovich preserva a regra da cadeia do cálculo usual ao mudar o ponto de avaliação da integral estocástica
- A integral de Itô usa a extremidade esquerda de cada intervalo, enquanto a integral de Stratonovich usa a regra de avaliação no ponto médio
- O ponto de avaliação generalizado pode ser escrito assim
[ \int_0^T f(X(t))\diamond dW
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(X(t_i)+\lambda\Delta X(t_i,t_{i+1})) \Delta W(t_i,t_{i+1}) ]
- No cálculo determinístico, (O(dX^2)\to0), então a escolha do ponto de avaliação não importa; no cálculo estocástico, porém, (O(dW^2)\to O(dt)), portanto o ponto de avaliação importa
- Para preservar a regra da cadeia (df=f_X\circ dX), a comparação da expansão de Taylor exige (\lambda=\frac12)
- Portanto, a integral de Stratonovich é definida assim
[ \int_0^T f(X(t))\circ dW
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{X(t_i)+X(t_{i+1})}{2}\right) \Delta W(t_i,t_{i+1}) ]
-
Conversão entre Itô e Stratonovich
- Supondo que o mesmo processo estocástico seja dado nas duas formas a seguir
- [
- dX=adt+bdW=\tilde a dt+b\circ dW
- ]
- O termo de drift tem a seguinte relação
- [
- a=\tilde a+\frac12 b_Xb
- ]
- Embora o coeficiente de difusão (b) seja o mesmo, a função de drift muda entre as representações de Itô e Stratonovich
Contextos de uso da abordagem de Stratonovich
- O cálculo de Stratonovich cria uma integral estocástica diferente do método de extremidade esquerda de Itô por meio da regra de avaliação no ponto médio, sendo adequado a certos sistemas físicos ou a simplificações de cálculo
- Em ruído multiplicativo na física, um oscilador amortecido com ruído dependente do estado pode ser escrito assim
[ dX=-kXdt+\sigma X\circ dW ]
- Aplicando a regra da cadeia de Stratonovich a (f(X)=\ln X), obtém-se
[ d(\ln X)=-kdt+\sigma\circ dW ]
[ X(t)=X(0)e^{-kt+\sigma W(t)} ]
- O teorema de Wong-Zakai afirma que, ao levar um ruído real ligeiramente suave ao limite de ruído branco, obtém-se uma SDE de Stratonovich
- Em controle estocástico, em sistemas como (dX=(aX+u)dt+\sigma X\circ dW), as regras de Stratonovich podem se alinhar à intuição do controle clássico e simplificar o projeto da entrada de controle (u(t))
- Em difusão biológica, em modelos com ruído dependente da posição como (\sigma(X)=\sqrt{2D(1+kX^2)}), Stratonovich reflete leis físicas de conservação
- Em simulações numéricas, Stratonovich combina bem com métodos de ponto médio e pode ser usado para reduzir artefatos numéricos em modelos como cinética de reações químicas
- O critério de escolha depende do contexto
- Stratonovich é adequado a sistemas em que o ruído está ligado à continuidade física ou à simetria
- Itô é dominante em finanças por sua propriedade non-anticipating, que não usa informações futuras
- A fórmula de conversão (a=\tilde a+\frac12bb_X) permite transitar entre as duas representações
1 comentários
Opiniões do Hacker News
Para leitores com conhecimento matemático em nível avançado de graduação/pós-graduação, este material introdutório sobre cálculo estocástico foi útil: https://almostsuremath.com/stochastic-calculus/
Outro livro-texto inspirador, com muita sobreposição nos temas relacionados, é este: https://www.amazon.com/Stochastic-Integration-Differential-E...
Fico curioso se cálculo estocástico é uma área em que você precisa de computadores para simular muitos desdobramentos possíveis de eventos, ou se, quando se conhece a distribuição de dW, dá para resolver os resultados finais importantes e as distribuições de probabilidade de uma forma matemática mais elegante
O texto foi excelente; eu já tinha visto cálculo estocástico antes, mas desta vez senti que comecei a entendê-lo de verdade pela primeira vez
Se o problema for complicado, ou a distribuição for complicada, ou ambos, são necessários métodos numéricos. Isso não significa necessariamente que seja preciso rodar muitas simulações como em Monte Carlo, embora esse método também seja razoável, ainda que caro
Perguntas mais diretas sobre probabilidades específicas podem ser respondidas sem Monte Carlo. A equação de Fokker-Planck é uma equação diferencial parcial que pode ser resolvida por várias abordagens não Monte Carlo, e o quasipotencial e a função comittor que aparecem em simulações de eventos raros também podem ser calculados “diretamente”. A dificuldade central é que, ao aplicar métodos numéricos padrão a esses objetos, você enfrenta a maldição da dimensionalidade. Como calcular bem isso em alta dimensão, ou até em dimensão infinita, é uma área de pesquisa muito quente em matemática aplicada. Pessoalmente, acho que, a menos que a matemática corresponda de forma clara a aplicações físicas reais, essas coisas em geral beiram a perda de tempo
Físicos a chamam de equação de Fokker-Planck; matemáticos, de equação forward de Kolmogorov. Salvo exceções especiais, não há solução analítica exata e é preciso uma solução numérica. Em altas dimensões, porém, resolver a equação diferencial parcial fica muito caro, então costuma ser mais barato resolver a SDE e fazer amostragem de Monte Carlo
Também pode haver outros tipos de pergunta, como a solução quando algum evento aleatório ocorre, e uma lógica parecida se aplica. Além disso, o cálculo estocástico é muito útil para lidar com SDEs, mas, se você estiver interessado em outros tipos de processos de Markov ou processos não Markovianos, talvez precise de outras ferramentas
Como em outro comentário, em casos especiais a própria SDE também pode ter solução exata, mas em geral não tem
Esta explicação se restringe a SDEs que são equações diferenciais com ruído branco gaussiano como termo de forçamento. Em outros processos estocásticos, como processos de salto de Markov, a forma da equação de evolução da distribuição é diferente, embora alguns princípios gerais, como a equação de Chapman-Kolmogorov, sejam compartilhados
Expressões mais complexas normalmente não podem ser resolvidas assim. O que se deseja com frequência é o valor esperado de uma função de um processo estocástico em determinado instante, e é possível mostrar que esse valor esperado segue uma equação diferencial parcial determinística específica. Depois, resolve-se com um solucionador numérico de EDPs
Se a dimensão for alta, ou se o processo depender fortemente do caminho e não for Markoviano, acaba-se usando simulação de Monte Carlo, simulando de fato “vários desdobramentos possíveis de eventos”
Por exemplo, uma caminhada aleatória se torna uma distribuição normal, e também se sabe que a média e a variância vão ao infinito; então entendo que esse é um caso em que, apenas a partir da entrada, é possível determinar a função da variância ao longo do tempo, levando a uma solução analítica elegante
Mas, em muitos casos, não há solução analítica, e é preciso rodar algoritmos estocásticos. Na cinética química estocástica simples, o algoritmo de Gillespie é um exemplo disso
Se quiser saber apenas as estatísticas dos caminhos, em muitos casos é possível formular e resolver a equação de Fokker-Planck, que é uma equação diferencial parcial, para obter a densidade dos caminhos
O próximo passo é a Langevin Dynamics, em que o sistema tem momento amortecido e o ruído entra no momento
Isso também é usado em simulações de dinâmica molecular e pode ser usado em amostragem MCMC bayesiana
Curiosamente, quando vejo Langevin Dynamics ser mencionada em relação a IA, muitas vezes o uso de momento é omitido. Isso apesar de o gradiente descendente com momento ser amplamente usado em IA. Para deixar ainda mais confuso, a palavra “estocástico” também é usada para significar que, em cada etapa, o gradiente é aproximado por uma amostra de parte dos dados. Se quiser, dá para aplicar os dois tipos de aleatoriedade ao mesmo tempo
Não sei exatamente por que é menos usada em IA, mas suspeito que a não convexidade das aplicações de IA cause problemas. Mesmo em configurações log-côncavas, amostragem já é um problema difícil o bastante
Um material de que gosto pessoalmente sobre cálculo estocástico é Stochastic Processes in Information and Dynamical Systems, de Eugene Wong, McGraw-Hill, Nova York, 1971
Lembro de quando estudava cálculo estocástico
Também me lembro de ter anotado que o desvio padrão na estatística comum e a variação quadrática diferem um pouco na forma de calcular a variância. Era algo como uma diferença de 1, ou uma diferença no quadrado, e eu tinha feito uma nota para investigar algum dia por quê. Talvez seja por causa da volatilidade estocástica
sum i=1..N (x_i - mu)^2 / NAqui, a média
mu := sum x_i / Né a média real da populaçãoPor outro lado, quando se obtêm n amostras independentes e identicamente distribuídas de alguma distribuição, o melhor estimador da variância da distribuição é
sum i=1..n (x_i - a )^2 / (n-1)Aqui, a média
mué substituída pela média amostrala := sum x_i / n, e dividimos por n-1 em vez de N. “Melhor” quer dizer estimador não viesado, e dá para verificar, por um cálculo tedioso mas não difícil, que o valor esperado da segunda expressão é a variância da populaçãoPrimeiro, a variância amostral depende da média amostral, que é
sum(x_i) / n. Se você conhece os primeiros n-1 valores entre as n amostras e também conhece a média amostral, o último valor fica determinado; portanto, dá para entender pelo menos n-1 como os graus de liberdade. Momentos amostrais de ordem mais alta também podem ser entendidos aproximadamente por uma lógica parecida de graus de liberdade, mas posso estar erradoSegundo, de um jeito mais matemático,
biased_sample_variance = sum((x_i - sum(x_i) / n)^2) / n. Para vários conjuntos de amostras, a média dessa variância amostral viesada não é a variância populacional, mas(n - 1) / n * population_variance. Portanto, ao multiplicar porn / (n - 1), obtemos a variância amostral não viesadasum((x_i - sum(x_i) / n)^2) / (n - 1). Quando se pega o embalo, essa matemática fica bem divertidaRecentemente encontrei um exemplo assim. Suponha que jogamos um “jogo”. Sorteia-se um número aleatório A de uma distribuição uniforme entre 0 e 1, e depois um segundo número B da mesma distribuição
Se A > B, sorteia-se B de novo, mantendo A igual. Qual é o número médio de sorteios necessários, isto é, a “sequência de vitórias” média de A?
A resposta é infinito. De vez em quando A sai extremamente alto, e então podem ser necessários milhões de sorteios para superá-lo
(1-p)Portanto, a probabilidade de B ser sorteado n vezes e então ser menor ou igual a A vira uma distribuição geométrica
p^(n-1) (1-p). O número esperado de sorteios é1/p, eE[draws] = E[E[draws|A=p]] = \int_0^1 E[draws|A=p] dp = \int_0^1 (1/p) dp, então diverge para infinito, como ditoNão é que eu duvidasse; eu queria ver o cálculo
1/(1-A)bastariaPergunta aos leitores do HN. Foram definidos cerca de 50 loci no genoma de camundongos que incluem diferenças de DNA que regulam a mortalidade, e a maioria tem efeitos atuariais complexos dependentes da idade
Quero prever a idade de morte; o cálculo estocástico seria uma abordagem útil para previsões atuariais da expectativa de vida de camundongos? Por isso fiquei feliz em ver este texto chegar ao topo do HN
O número de questões, ou seja, o número de loci, parece semelhante ao número de intervalos em que o tempo pode ser dividido de forma razoável. Um efeito que desloca o momento da morte em 1/50 da vida de um camundongo, se eu não estiver enganado, seria difícil de detectar. Como não há muitos intervalos de tempo e tampouco um modelo de interação entre variáveis de estado, você acabaria usando métodos estatísticos sem modelo; então acho que conseguiria obter quase todo o valor que métodos discretos poderiam oferecer
Como o alvo é a idade, eu não assumiria uma distribuição gaussiana subjacente. Essa mudança não é tão difícil quanto parece: https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_linear_model
Como sempre, é bom consultar um estatístico por perto
Mas, se o que você está observando é sobrevivência/morte ao longo do tempo, a saída é binária, e a única informação que você de fato obtém é o momento da morte; então parece que um modelo de passeio aleatório não é necessário ou não é desejado, e um modelo estatístico mais geral parece mais adequado. Se houver outras variáveis sendo medidas além de morte/sobrevivência, um modelo estocástico pode ajudar
Além disso, se isso significa que todos os 50×X bytes de informação afetam a expectativa de vida, é um problema difícil; mas, por ter muitas entradas discretas e uma única saída suave, ele se encaixa bastante bem em redes neurais. Experimente tanto redes neurais quanto modelos lineares e veja quanto a rede neural melhora; assim dá para julgar se há interações mais complexas do que as lineares
Se eu fosse abordar isso de forma prática, discretizaria o tempo e ajustaria aos dados aplicando aprendizado de máquina clássico para prever “a probabilidade de morrer aos X meses, condicionada a ter sobrevivido até aquele momento”. Assim fica muito mais fácil encontrar erros nos dados e problemas potenciais
Eu escolheria cálculo estocástico ou análise de sobrevivência completa apenas se quisesse provar ou derivar uma ligação entre propriedades matemáticas já existentes, como ausência de memória, e propriedades físicas/biológicas, como o comportamento de uma proteína específica. Seria muito elegante, mas bastante difícil, especialmente com dados limitados. Entendo que o uso de análise estocástica em artigos de finanças seja mais ou menos assim: assume-se alguma propriedade matemática universal do sistema e depois se prova que ela se ajusta aos dados reais
Meu entendimento do cálculo de Itô é este: no começo, o único processo aleatório que entendemos é o movimento Browniano e, felizmente, podemos mudar as coordenadas
É um ótimo modelo de como escrever uma introdução amigável para iniciantes
Gostei especialmente da parte que motiva o lema de Itô mostrando que o termo
dW^2, que desaparece no cálculo comum, continua sendo importante, e também da parte que converte para StratonovichPeço ajuda para entender como ler esta frase: “Brownian motion and Itô calculare a notable example of fairly high-level mathematics that are applied to model the real world”
Não sei o que “Itô calculare” deveria ser. Seria “Its calculation”?
calculareprovavelmente parece um erro de digitação em quecalculus areficou juntocalcularedeveria ser calculus are