Não é fácil escrever um livro de cálculo de forma rigorosa
Se ficar rigoroso demais, ele acaba virando um livro de “análise real”, e o objetivo do cálculo é apresentar conceitos, não ensinar análise completa
Gosto que este livro não fique obcecado demais com o conceito de convergência e foque mais em expressões linguísticas sobre funções e nos pontos de contato com a álgebra linear
Como professor de matemática que já ensinou cálculo várias vezes, acho difícil resumir o objetivo de uma disciplina de cálculo em uma única coisa
Cálculo é uma área rara da matemática que é muito mais fácil de entender em um nível não rigoroso
Por exemplo, se você toma “a derivada é a taxa instantânea de variação” e trata dy/dx como uma fração de verdade, conceitos como a regra da cadeia ficam muito mais intuitivos de explicar
A maioria dos livros fica num meio-termo estranho entre rigor e não rigor, e eu acho melhor escolher claramente um dos lados
Este livro não vai servir para todo mundo, mas isso é justamente um ponto forte
Já existe o Apostol, então, para aprender cálculo em si, é melhor procurar uma edição antiga
As edições mais novas têm conteúdo adicional, como álgebra linear, mas são caras demais (US$ 150 por volume)
O autor disse que quer apresentar a matemática “de forma intuitiva e informal, mas sem perder o rigor lógico”, mas os livros didáticos ocidentais vêm ficando menos rigorosos com o tempo
Em contraste, livros asiáticos ou russos não seguem essa tendência
Como os alunos querem mais explicações visuais e informais, preocupa-me que depois tenham dificuldade para se adaptar ao formalismo rigoroso na fase de pesquisa
Entre os livros russos, 『Mathematics: Its Content, Methods and Meaning』, de Aleksandrov, Kolmogorov e Lavrent’ev, ainda é considerado uma obra-prima
Foi publicado em 1962 em 3 volumes, e a edição em inglês saiu reunida em um só volume
Talvez os livros ocidentais tenham ficado menos rigorosos porque o público-alvo se ampliou: alunos que antes teriam ido para escolas profissionalizantes agora vão para a universidade
Para incluir estudantes com origens mais diversas, os livros inevitavelmente mudam
Fico curioso sobre o que exatamente significa dizer que algo é “rigoroso”
Quer dizer tratar tudo com foco em provas, ou quer dizer concentrar-se mais na teoria do que nas aplicações?
Há um post antigo de blog relacionado → Professor Confess
A tese é que a expansão dos empréstimos estudantis está ligada ao colapso da seriedade acadêmica
Como as escolas querem maximizar a receita de mensalidades e evitar reprovar alunos, a dificuldade e o rigor teriam diminuído
Também concordo com essa opinião
O problema não são os alunos, mas sim os especialistas em educação e as editoras que escolhem e decidem publicar os livros
Tentar fazer um livro que sirva para todo mundo é uma tolice
A maioria das pessoas não precisa saber cálculo e, se for aprender, deveria aprender de forma realmente rigorosa
Este livro parece uma tentativa de abranger várias trilhas de aprendizagem
① cálculo com foco em provas para alunos de matemática
② cálculo com foco em cálculo operacional para alunos de engenharia e ciências
③ cálculo simplificado para alunos de ciências sociais e administração
Se fosse possível unificar ① e ②, isso seria realmente impressionante
Mas eu acho difícil unificar essas duas trilhas Os objetivos e a metodologia são muito diferentes
Por exemplo, as discussões ε-δ de um curso de análise do Tao têm pouca relação com equações diferenciais de verdade ou análise de estabilidade
Você pode provar subespaços densos de um espaço de Hilbert e ainda assim ficar completamente perdido em análise multiescala
Dei uma folheada rápida no livro e gostei bastante
Aprendi matemática muito mais como procedimento e regra, então estava acostumado à manipulação mecânica mais do que ao rigor teórico
Este livro ajuda pessoas assim a revisar os conceitos básicos
“What is Calculus?” só aparece no capítulo 6 (p. 223), e “Differentiation” só no capítulo 8 (p. 261); as 200 páginas anteriores constroem muito bem os fundamentos
Recomendo fortemente como revisão ou estudo paralelo
Fico me perguntando quanto o rigor e a abstração da matemática ajudam de fato na resolução de problemas reais
Para melhorar a capacidade de resolver problemas de engenharia, sinto que estudar modelos probabilísticos é mais útil do que teoria da medida
Livros como 『Mathematical Methods for Physics and Engineering』, mais voltados para intuição e aplicação, funcionaram melhor para mim
Eu prefiro livros que não exigem pré-requisitos separados e cobrem o necessário dentro de um único volume
Por exemplo, 『Calculus for Machine Learning』 (Jason Brownlee) e 『No Bullshit Guide to Math & Physics』 (Ivan Savov)
A escola faz a gente cursar várias disciplinas em paralelo, mas eu acho que um currículo integrado seria mais eficiente
Como o livro se apresenta como cálculo para cientistas da computação, achei que talvez usasse a abordagem baseada em Big-O proposta por Knuth em 1998
(link para a carta de Knuth)
Mas na prática ele começa como uma introdução suavizada à análise real
De fato, este livro também trata da notação O na seção “Order of Vanishing” do capítulo “Limits and Continuity”
Sou mais da área de computação numérica, mas este PDF é um material de referência muito mais fácil de ler do que a Wikipédia
Isso me lembra uma frase de Goethe — “Os matemáticos são uma espécie de franceses. Quando você fala com eles, eles traduzem para a própria língua, e logo aquilo se torna algo completamente diferente”
1 comentários
Opiniões do Hacker News
Não é fácil escrever um livro de cálculo de forma rigorosa
Se ficar rigoroso demais, ele acaba virando um livro de “análise real”, e o objetivo do cálculo é apresentar conceitos, não ensinar análise completa
Gosto que este livro não fique obcecado demais com o conceito de convergência e foque mais em expressões linguísticas sobre funções e nos pontos de contato com a álgebra linear
Cálculo é uma área rara da matemática que é muito mais fácil de entender em um nível não rigoroso
Por exemplo, se você toma “a derivada é a taxa instantânea de variação” e trata
dy/dxcomo uma fração de verdade, conceitos como a regra da cadeia ficam muito mais intuitivos de explicarA maioria dos livros fica num meio-termo estranho entre rigor e não rigor, e eu acho melhor escolher claramente um dos lados
Este livro não vai servir para todo mundo, mas isso é justamente um ponto forte
As edições mais novas têm conteúdo adicional, como álgebra linear, mas são caras demais (US$ 150 por volume)
O autor disse que quer apresentar a matemática “de forma intuitiva e informal, mas sem perder o rigor lógico”, mas os livros didáticos ocidentais vêm ficando menos rigorosos com o tempo
Em contraste, livros asiáticos ou russos não seguem essa tendência
Como os alunos querem mais explicações visuais e informais, preocupa-me que depois tenham dificuldade para se adaptar ao formalismo rigoroso na fase de pesquisa
Foi publicado em 1962 em 3 volumes, e a edição em inglês saiu reunida em um só volume
Para incluir estudantes com origens mais diversas, os livros inevitavelmente mudam
Quer dizer tratar tudo com foco em provas, ou quer dizer concentrar-se mais na teoria do que nas aplicações?
A tese é que a expansão dos empréstimos estudantis está ligada ao colapso da seriedade acadêmica
Como as escolas querem maximizar a receita de mensalidades e evitar reprovar alunos, a dificuldade e o rigor teriam diminuído
O problema não são os alunos, mas sim os especialistas em educação e as editoras que escolhem e decidem publicar os livros
Tentar fazer um livro que sirva para todo mundo é uma tolice
A maioria das pessoas não precisa saber cálculo e, se for aprender, deveria aprender de forma realmente rigorosa
Este livro parece uma tentativa de abranger várias trilhas de aprendizagem
① cálculo com foco em provas para alunos de matemática
② cálculo com foco em cálculo operacional para alunos de engenharia e ciências
③ cálculo simplificado para alunos de ciências sociais e administração
Se fosse possível unificar ① e ②, isso seria realmente impressionante
Os objetivos e a metodologia são muito diferentes
Por exemplo, as discussões ε-δ de um curso de análise do Tao têm pouca relação com equações diferenciais de verdade ou análise de estabilidade
Você pode provar subespaços densos de um espaço de Hilbert e ainda assim ficar completamente perdido em análise multiescala
Dei uma folheada rápida no livro e gostei bastante
Aprendi matemática muito mais como procedimento e regra, então estava acostumado à manipulação mecânica mais do que ao rigor teórico
Este livro ajuda pessoas assim a revisar os conceitos básicos
“What is Calculus?” só aparece no capítulo 6 (p. 223), e “Differentiation” só no capítulo 8 (p. 261); as 200 páginas anteriores constroem muito bem os fundamentos
Recomendo fortemente como revisão ou estudo paralelo
Fico me perguntando quanto o rigor e a abstração da matemática ajudam de fato na resolução de problemas reais
Para melhorar a capacidade de resolver problemas de engenharia, sinto que estudar modelos probabilísticos é mais útil do que teoria da medida
Livros como 『Mathematical Methods for Physics and Engineering』, mais voltados para intuição e aplicação, funcionaram melhor para mim
Eu prefiro livros que não exigem pré-requisitos separados e cobrem o necessário dentro de um único volume
Por exemplo, 『Calculus for Machine Learning』 (Jason Brownlee) e 『No Bullshit Guide to Math & Physics』 (Ivan Savov)
A escola faz a gente cursar várias disciplinas em paralelo, mas eu acho que um currículo integrado seria mais eficiente
Como o livro se apresenta como cálculo para cientistas da computação, achei que talvez usasse a abordagem baseada em Big-O proposta por Knuth em 1998
(link para a carta de Knuth)
Mas na prática ele começa como uma introdução suavizada à análise real
post do blog Quomodocumque, o
blog Cornell Math e o
blog Texnical Stuff
Também vale consultar o texto de Terry Tao sobre formalização da notação O
(Esses links foram tirados do post de compilação do Shreevatsa)
Sou mais da área de computação numérica, mas este PDF é um material de referência muito mais fácil de ler do que a Wikipédia
Isso me lembra uma frase de Goethe — “Os matemáticos são uma espécie de franceses. Quando você fala com eles, eles traduzem para a própria língua, e logo aquilo se torna algo completamente diferente”