10 lições que eu gostaria de ter aprendido antes de um curso de equações diferenciais [PDF] (1997)

• Gian-Carlo Rota, que lecionou por muitos anos a disciplina de equações diferenciais do segundo ano no MIT, via o curso introdutório como preso a truques antigos de resolução e à inércia institucional, com maior chance de se desdobrar naturalmente em cursos curtos alternativos do que de passar por uma reforma realista
• Técnicas iniciais para equações de 1ª ordem, como fator integrante e equações exatas, são truques isolados distantes de problemas reais de engenharia, e apenas separação de variáveis e mudança de variáveis parecem ter valor duradouro
• O eixo que os alunos realmente precisam dominar é o das equações lineares e sistemas com coeficientes constantes, enquanto equações lineares de 2ª ordem com coeficientes não constantes e o conteúdo formal de Sturm-Liouville não combinam bem com um curso introdutório
• Teoremas de existência e unicidade, problemas de aplicação, método da variação dos parâmetros e explicações centradas na notação diferencial tendem a reforçar manipulações cobradas em prova mais do que compreensão, e deveriam ser reapresentados a partir das ideias de trajetórias, campos vetoriais e curvas integrais
• O ensino introdutório de equações diferenciais não deveria deixar para o aluno uma coleção de truques, mas sim uma intuição conceitual sobre a universalidade da função exponencial, estabilidade, plano de fase e transformada de Laplace

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O problema de um curso introdutório antiquado de equações diferenciais

• Gian-Carlo Rota relembra como um erro o fato de ter escrito, quando jovem, um livro-texto de equações diferenciais ordinárias, dizendo que essa experiência o levou a perceber que não sabia o que eram equações diferenciais
• A disciplina de equações diferenciais do segundo ano no MIT era vista como uma matéria pesada da graduação, tanto para professores quanto para alunos, e ele continuou responsável por ela justamente por ter escrito um livro-texto
• O texto organiza em 10 lições os erros e preconceitos didáticos que ele repetiu desde 1958

1. Grande parte do curso introdutório está ultrapassada

• Comparando as aulas de Cauchy sobre equações diferenciais no século XIX com livros introdutórios modernos, quase nada mudou no conteúdo além da adição de sistemas
• No início dos livros atuais aparecem técnicas desconectadas entre si, como equações exatas, fator integrante e equações diferenciais homogêneas, apresentadas como se fossem ferramentas úteis
• Esse tipo de equação raramente aparece na prática da engenharia, e até os exercícios associados teriam permanecido quase os mesmos desde Euler
• Em vez de ser amplamente reformado, o curso introdutório de equações diferenciais talvez desapareça naturalmente e seja substituído por vários cursos curtos que tratem de aspectos mais realistas
• Ainda assim, ele observa que departamentos de matemática dependem fortemente, em termos de orçamento, do número de alunos de engenharia matriculados em disciplinas básicas, de modo que seria difícil sobreviver sem esse tipo de curso

2. Equações diferenciais de 1ª ordem devem ser reduzidas ao mínimo

• O livro de Boole sobre equações diferenciais dedica quase metade do conteúdo à resolução de equações de 1ª ordem, mas hoje as únicas técnicas que realmente permanecem relevantes seriam separação de variáveis e mudança de variáveis
• O fator integrante virou quase uma piada, e ele diz nunca ter ouvido falar de um caso real em que alguém resolvesse uma equação diferencial de 1ª ordem encontrando um fator integrante
• Mesmo assim, a prática de gastar uma ou duas horas de aula com fator integrante e dizer aos alunos que isso é importante continua

3. Equações lineares com coeficientes constantes são o núcleo

• O aluno precisa necessariamente aprender a resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, e em especial a resolução de equações lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes faz parte da formação matemática básica
• Em contrapartida, equações diferenciais lineares com coeficientes não constantes deveriam ser fortemente reduzidas
  • Com exceção da equação de Euler-Cauchy, ele considera que não há equações lineares de 2ª ordem resolvíveis explicitamente sem introduzir funções especiais
  • A função de Bessel já fez parte de programas antigos, mas hoje seria inadequada para um curso introdutório
• A teoria de Sturm-Liouville é uma matemática bonita, mas ele critica o fato de que os problemas de autovalor de Sturm-Liouville não singulares ensinados em cursos introdutórios não aparecem de fato em matemática, física ou engenharia
  • Os sistemas de Sturm-Liouville que aparecem na prática são singulares
  • A teoria rigorosa, segundo ele, vai além não só do primeiro como também do segundo curso de equações diferenciais
• Isso não significa esconder por completo as equações com coeficientes não constantes; mesmo em nível introdutório, seria possível mostrar o Wronskiano e alguns resultados da álgebra diferencial
  • Embora não exista uma fórmula geral para a solução de uma equação linear de 2ª ordem, há uma fórmula explícita para o Wronskiano de duas soluções
  • Conhecendo uma solução, é possível encontrar a segunda a partir do Wronskiano

4. É preciso ensinar mudança de variáveis

• Uma técnica que o aluno certamente encontrará depois, tanto em equações diferenciais de 1ª quanto de 2ª ordem, é a mudança de variáveis
• Mudança de variáveis não é apenas um truque, mas uma teoria coerente, e os livros atuais não dão a ela a importância devida
• As fórmulas de transformação das variáveis dependente e independente em equações lineares de 2ª ordem são conhecidas, mas ele diz que é difícil encontrá-las em livros escritos no século XX
• Liouville descobriu invariantes que são polinômios diferenciais dos coeficientes de equações diferenciais lineares de 2ª ordem, e provou que a condição necessária e suficiente para que duas equações sejam transformáveis uma na outra por mudança de variáveis é terem o mesmo invariante
• Esse teorema não aparece nos livros-texto; ele conta que havia entrado como exercício na primeira edição de seu livro, mas foi removido nas edições posteriores

5. Existência e unicidade são menos importantes

• O teorema de existência para equações diferenciais ordinárias, na visão dele, não é tão importante quanto se costuma pensar, funcionando mais como um teorema que dá segurança psicológica
• Se houvesse exemplos realmente interessantes de EDOs sem solução, o teorema de existência seria mais atraente, mas esse tipo de questão se destaca mais em equações diferenciais parciais
• O teorema de unicidade é uma questão mais delicada, e ele diz sentir culpa ao afirmar sem prova que toda solução de uma equação linear de 2ª ordem com coeficientes constantes é combinação linear de duas soluções
• Mesmo provar que toda solução de y' = ay tem a forma y = ce^{ax} não lhe parece algo fácil de transmitir de modo convincente aos alunos

6. Sistemas lineares com coeficientes constantes são o centro do curso

• Resolver sistemas lineares com coeficientes constantes é, para ele, a técnica mais importante que o aluno aprende em um curso de equações diferenciais
• Alunos de áreas científicas e tecnológicas encontrarão depois sistemas lineares grandes, e quanto mais a solução desses sistemas for automatizada por computadores, mais importante se torna compreender a teoria
• Os alunos precisam conhecer a teoria associada, como autovalores e autovetores de matrizes e a exponencial de matriz
• Nos 30 anos mais recentes, surgiram exemplos interessantes de sistemas com coeficientes constantes em controle, economia, processamento de sinais e matemática, mas eles não teriam sido incorporados aos livros introdutórios
• Ele critica o fato de que os exemplos de sistemas matriciais nos livros sejam em sua maioria sistemas planares ou exemplos artificiais
• O método da variação dos parâmetros aparece por tradição na unidade sobre sistemas, mas teria pouca utilidade prática e quase não permite criar bons exercícios para alunos
• O antigo método da variação dos parâmetros para resolver equações lineares não homogêneas de 2ª ordem com coeficientes não constantes teria sido repetido por séculos nos livros, sempre com os mesmos exemplos artificiais

7. Deve-se evitar explicações centradas na notação diferencial

• Ele faz uma crítica dura ao modo como os livros posteriores a 1800 explicam o fator integrante, dizendo que esse procedimento não é rigoroso
• A explicação tradicional pega de repente a equação de 1ª ordem dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) e a transforma em uma “forma diferencial” M dx + N dy = 0, afirmando que isso é apenas outra notação
• Em seguida se diz que, multiplicando por alguma função q(x,y), a equação qM dx + qN dy = 0 se torna exata, mas sem tratar adequadamente se a equação original e a multiplicada são a mesma coisa ou não
• Uma explicação melhor seria considerar, junto com essa equação de 1ª ordem, um sistema autônomo no plano
  • dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y)
  • As soluções do sistema são curvas parametrizadas com velocidade, isto é, trajetórias
  • As soluções da equação diferencial original são os gráficos das curvas integrais, obtidas ao remover a informação de velocidade
• Ao mudar q(x,y), muda-se a velocidade ao longo da trajetória, mas as curvas integrais permanecem as mesmas
• O fator integrante pode então ser introduzido como um fator q que torna o campo vetorial mais tratável geometricamente e analiticamente
• Ele não se opõe às formas diferenciais exteriores em si, e chega a sugerir que um curso introdutório de cálculo com formas diferenciais exteriores talvez em breve se torne necessário na graduação

8. Deve-se evitar problemas de aplicação artificiais

• Ele considera equivocada a preferência por problemas de aplicação apenas porque eles facilitam produzir distribuição de notas em provas e tarefas
• Como no antigo treinamento do Cambridge Tripos, quando se treina o aluno segundo truques de resolução, a habilidade de manipular acaba valendo mais do que a compreensão
• Ele critica os problemas de aplicação dos livros de equações diferenciais como artificiais, irreais, repetitivos e pouco relevantes
• Resolver problemas como o do limpa-neve ou do fluxo de salmoura entre tanques conectados dificilmente significa que o aluno aprendeu algo realmente importante
• Os problemas reais encontrados por um estudante de economia e por um estudante de engenharia química são muito diferentes, e um único curso introdutório não consegue abranger tudo isso por meio de problemas de aplicação simplificados

9. É preciso motivar corretamente a transformada de Laplace

• Em geral, a transformada de Laplace é motivada por problemas de valor inicial para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, mas como a transformada inversa não é simples e esses problemas podem ser resolvidos de outras formas, essa motivação é fraca
• Ao tratar da transformada de Laplace, a palavra “função” mistura dois conceitos diferentes
  • função comum, com gráfico
  • função densidade, cujo significado é dado pela integral, como densidade de massa ou de probabilidade
• Em uma função densidade, o valor em um ponto não tem significado; a integral no intervalo [a,b] representa massa ou probabilidade
• Ao adotar esse ponto de vista, a função delta de Dirac pode ser tratada de forma simples e rigorosa
  • Uma massa unitária concentrada no ponto c é a função densidade mais simples que não tem gráfico
  • Se o intervalo não contém c, sua integral vale 0; se contém c, vale 1
  • Assim, é possível derivar suas propriedades sem apelar para explicações do tipo “uma função com valor infinito”
• No contexto de funções densidade, a convolução faz naturalmente o papel de multiplicação, mais do que o produto comum
• Ele cita como resultado importante o teorema da convolução de Titchmarsh, observando que não se conhece uma prova elementar e que a demonstração de Titchmarsh usa métodos de variável complexa

10. Devemos ensinar conceitos, não truques

• Um curso introdutório de equações diferenciais ensinado como coleção de truques não tem valor educacional
• Depois de um ano, os alunos esquecem a maior parte desses truques, e muitos deles de qualquer forma não servem para muita coisa
• Os conceitos que devem permanecer com o aluno são os seguintes
  • a presença universal da função exponencial
  • estabilidade
  • a relação entre trajetórias de sistemas e curvas integrais
  • análise no plano de fase
  • manipulações com transformada de Laplace
  • a relação entre decomposição em frações parciais e convolução via transformada de Laplace
• Mais importante do que o aluno resolver com habilidade problemas difíceis é que ele adquira uma noção da importância das equações diferenciais e da força da matemática
• É um erro ver o objetivo da graduação apenas como transmissão de informação; informação pode ser obtida melhor fora da sala de aula
• Uma disciplina de graduação bem-sucedida é aquela que faz o aluno sentir que cursou uma boa matéria, mesmo que depois ele não consiga apontar exatamente o que aprendeu de forma concreta

[excovert]

Parece que o conteúdo e o título são diferentes, não é?

[GN⁺]

Opiniões no Hacker News

• Algo parecido acontece em outras áreas da matemática, ou em várias delas. Quando aprendi transformada de Fourier nas aulas de matemática, parecia apenas álgebra manipulando mecanicamente integrais de exponenciais complexas, e eu não entendia nada; mas, ao ver o espectro de magnitudes de uma forma de onda na análise de sinais de áudio, entendi imediatamente o que estava acontecendo, e a fase também deixou de ser difícil depois disso.
  Na matemática universitária, esses exemplos práticos parecem quase proibidos, como se a intenção fosse tornar tudo muito abstrato e rigoroso. Depois que ganhei intuição, a matemática formal também começou a fazer sentido, e, quando você passa a ensinar, dá para ver por que isso acontece. Para o professor, é tudo tão óbvio que fica difícil imaginar o estado do aluno antes de ele ainda entender a notação e o vocabulário. Por isso, quando se encontra um conceito de outra área que o aluno já conhece e se conecta isso a um exemplo simples do novo tema, mostrando que “é a mesma coisa, só com notação e abstração diferentes”, muitas vezes a compreensão dá um clique. Mas isso é difícil em livros didáticos ou em grandes aulas expositivas, e é por isso que é preciso haver alguém ensinando, em vez de simplesmente jogar material para os alunos.

  • Se você não conhece exemplos práticos, fica difícil. Quando dei aulas de matemática universitária por um curto período, eu tinha formação em física e experiência na indústria, então comentei que seria bom haver aplicações de engenharia na disciplina de equações diferenciais; um aluno de pós-graduação brilhante, que era monitor de equações diferenciais, respondeu muito sério: “equações diferenciais não têm aplicações em engenharia”.
  • Como alguém que estudou matemática teórica e também faz eletrônica por hobby, havia de fato uma atmosfera em que alunos e docentes de matemática teórica meio que olhavam outras áreas de cima. Onde eu estudava, até alunos de física e de matemática aplicada eram alvo de piadas do tipo “isso nem é matemática, é só fórmula e decoreba”, e os alunos de ciência da computação eram vistos de forma ainda pior.
    Mas muitos conceitos matemáticos foram inventados para resolver problemas físicos reais, ou mais tarde se revelaram muito úteis para problemas físicos. Historicamente, física e matemática não eram separadas de forma tão rígida e se influenciaram bastante. É interessante a história de que, quando Einstein criou a teoria da relatividade geral, ele não era tão forte em matemática, recebeu ajuda de amigos e passou por algo próximo de aulas particulares para entender o assunto. Eu já entendia análise de Fourier antes de fazer eletrônica, mas só quando comecei a lidar com problemas de alta frequência e a usar o domínio da frequência em trabalhos com circuitos é que sua utilidade realmente fez sentido.
  • Acho que a transformada de Fourier não deveria entrar no curso de cálculo, e sim ser ensinada em álgebra linear. Em álgebra linear ela se encaixa bem conceitualmente e serviria como um exemplo de aplicação não trivial que falta nos livros didáticos.

• O material mais intuitivo de introdução a equações diferenciais que já vi foi https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t....
  Ele explica equações diferenciais desde o começo, aborda o significado físico e um ou dois métodos tradicionais de solução, e depois passa para métodos numéricos. Se você quer aprender equações diferenciais, recomendo muito por ser curto e bom, mas não é um material para se preparar para um curso formal nem cobre tudo.

  • Se você quer um material no nível de um curso formal vindo dos pioneiros iniciais da abordagem educacional que usa métodos numéricos para entender equações diferenciais, recomendo muito o livro de Blanchard, Devaney e Hall (http://math.bu.edu/odes).

• Quando aprendi cálculo pela primeira vez, aos 14 ou 15 anos, acho que teria sido muito menos confuso se alguém tivesse explicado por que estávamos fazendo aquilo. Hoje, explicar com exemplos como velocidade, distância e aceleração faz total sentido, mas aprender só com funções, pedacinhos infinitesimais, quantidades delta, listas de equações e demonstrações era seco demais e nada interessante. Até aparecer em física alguns anos depois, eu não tinha noção do que o cálculo fazia.

  • As aulas de cálculo que tive e ensinei eram cheias de exemplos do mundo físico. Só que, quando aprendi pela primeira vez, acho que ainda me faltava o terreno mental para essas explicações e exemplos se fixarem.
    Quando eu era pós-graduando e revisitei os fundamentos, pensei: “isso faz tanto sentido, por que não me ensinaram assim no ensino médio?”. Depois percebi que provavelmente tinham ensinado, mas não ficou porque eu não tinha maturidade matemática suficiente. Também atrapalhou o fato de eu ser bom em manipulação algébrica, o que me permitia fazer a maioria das tarefas sem entender profundamente a base conceitual. A habilidade de manipulação algébrica é importante, mas seria bom reestruturar as aulas para que seja difícil passar sem compreensão conceitual.
  • Aprendi cálculo por uma perspectiva de matemática pura, mas tinha algum conhecimento de física, então consegui conectar os dois conceitos, o que ajudou. Ainda assim, na maior parte dos três primeiros semestres, bastava entender “integral = área sob a curva” e “derivada = cálculo da inclinação em um ponto da curva”.
    Mas exemplos de física só funcionam bem para alunos interessados em física. Quando trabalhei em um cursinho de matemática, vi que exemplos de física, como os do livro do Stewart, confundiam bastante os alunos que não tinham interesse em física. Isso acontecia porque, além de aprender matemática, eles precisavam aprender conceitos de física para entender o exemplo. O mesmo vale para cursos separados de cálculo voltados a finanças e economia: os tutores precisavam aprender conceitos básicos de finanças para ajudar nos problemas, e às vezes os alunos acabavam só conseguindo resolver problemas misturados com conceitos financeiros.
  • O fato de a física, na prática, fazer o trabalho de ensinar matemática deveria ser uma vergonha generalizada para os departamentos de matemática.
  • Comigo foi igual. Passei a maior parte do primeiro semestre com média C, porque não entendia o que estava fazendo nem por quê.
    Na biblioteca da escola, resolvendo problemas sobre água escoando por um buraco cada vez maior ao lado de uma piscina, tive um momento de eureca, e depois disso tudo fez sentido. A partir daí tirei quase só A e, naquele ano, fui o único da turma a tirar 5 na prova AP. Acabei me formando em engenharia elétrica com foco em processamento de sinais e fui até a pós-graduação, então é irônico que, depois de não entender nada, eu tenha passado quase oito anos fazendo cálculo.
  • Crianças que têm pais engenheiros levam vantagem aqui. Esses pais conseguem dar exemplos de como a matemática é usada no mundo real.
    Quando surge a relevância, dá para explicar que, mesmo que essa matemática esteja embutida em software e a pessoa não a use diretamente, alguém transformou essa matemática em código e nós nos beneficiamos disso. Dizer “talvez você não use diretamente, mas as ferramentas que você usa a utilizam por dentro” pode motivar um aluno que sente que aquilo é uma tarefa sem sentido.

• A primeira disciplina de matemática que fiz na faculdade foi o curso de Cálculo II dele, e até hoje parece que ouço aquela voz na minha cabeça. Era uma voz inesquecível, e ele era um excelente professor
  Outro ponto interessante é que, aos 50 anos, escolhi por conta própria me tornar engenheiro, mas a engenharia já tinha mudado muito, e o importante era saber manejar com habilidade programas de computador caros. Esses programas resolviam equações diferenciais numericamente, e quase ninguém pensava em resolvê-las de outro jeito. Porque não havia tempo para isso

  • Tenho a impressão de que a maioria das equações diferenciais não pode ser resolvida analiticamente. As que têm soluções elegantes são um subconjunto muito pequeno, como quebra-cabeças cuidadosamente montados, e em problemas reais muitas vezes os métodos de análise numérica são o único caminho para encontrar soluções aproximadas
    Ainda assim, entendo que a teoria das equações diferenciais continua útil para projetar a estrutura na qual os métodos numéricos funcionam
  • Eu também participei do seminário “exploring higher mathematics” do Rota, e ele era realmente brilhante. Até hoje mantenho a empolgação com a hierarquia dos infinitos
    Concordo com a segunda história. Programas resolvem equações diferenciais numericamente, mas acho que ainda vale a pena saber um pouco como elas eram resolvidas antigamente

• Escrevi um texto que deriva, em uma forma matricial concisa e fácil de implementar em código, todas as soluções gerais de uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes, isto é, um sistema massa-mola-amortecedor: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  Também apresentei a solução completa em Lua, em uma forma que calcula a evolução temporal da posição e da velocidade escolhendo sin/cos ou sinh/cosh conforme o amortecimento, a frequência angular natural e o resíduo

  • É um bom exemplo. A explicação matemática era pesada, então levou tempo até eu chegar a uma compreensão básica, e nem tenho certeza se entendi direito. Já o código Lua, embora os nomes das variáveis obriguem a ler tudo e inferir, foi fácil de entender
    Faz tempo que não lido com equações diferenciais no trabalho, mas concordo com a frase do PDF: “quanto mais eu sabia, menos eu entendia”. Não sei bem por que a matemática pura precisa ser contaminada pela coisa impura que é a realidade para ser entendida, nem se isso atrapalha a compreensão
  • A pós-graduação foi, na prática, um processo de expandir F=Ma-Cv-Kx de todos os jeitos possíveis até chegar, no fim, à análise de elementos finitos. No fim, o ponto central se resume a escolher a função de base mais conveniente para a pergunta que se quer responder

• Quando entrei na pós-graduação em engenharia química, 10 anos atrás, o que me frustrava nas aulas era que a matemática, na verdade, não era rigorosa o bastante. Quando eu pedia esclarecimentos, inconsistências eram meio que deixadas de lado
  As formas diferenciais mencionadas no texto são um bom exemplo. Nas aulas de engenharia, elas aparecem de repente como um jeito de reescrever equações, sem rigor nem formalismo. Ninguém explica o que é uma “diferencial”, se existe uma base axiomática para manipular esses símbolos de forma consistente; apenas entregam etapas de resolução para a prova. Em uma aula de química quântica, também fiz perguntas sobre o colapso da função de onda e a possibilidade de transmissão de informação mais rápida que a luz, mas passaram por cima dizendo que “isso está fora do escopo desta disciplina”. Em uma disciplina de pós-graduação de mecânica estatística, diante da explicação de que a função de onda do sistema inteiro era o determinante de Slater das funções de onda individuais, argumentei que o ponto central da mecânica quântica é que a função de estado do sistema inteiro em geral não é separável, e que, caso contrário, nem haveria emaranhamento; mas o professor descartou dizendo que um aluno não deveria desafiar um professor sobre um assunto que não conhece. A carreira de pesquisa desse professor dependia bastante de artigos de química computacional em que ele colocava em um software de DFT um arquivo com coordenadas e tipos de átomos, executava o programa e publicava os resultados

  • Até que tamanho de sistema é possível manter emaranhamento quântico ou coerência quântica ainda é uma questão em aberto. É algo muito importante porque afeta computadores quânticos
    Experimentalmente, parece que sistemas suficientemente grandes não mantêm coerência quântica por muito tempo. Se quiser saber como esse processo é tratado matematicamente, pesquise por ‘quantum decoherence’; se quiser conhecer possíveis interpretações físicas, procure por ‘objective collapse theory’
  • Como alguém formado em matemática, senti que muitos não matemáticos, incluindo professores de engenharia, química e física, entendem matemática em um nível operacional, mas não se aprofundam nela
    Há, sim, uma resposta para “existe uma base axiomática para manipular esses símbolos de forma consistente?”. Além disso, uma grande parte da academia publica dentro de seu pequeno subcampo e quase não pensa nas implicações mais amplas. Por isso, novos entrantes com formações um pouco diferentes às vezes fazem muitas descobertas
  • DFT usa a aproximação de Kohn-Sham, uma aproximação de partícula única, e é uma teoria do estado fundamental. Na química quântica certamente há pesquisa na direção que você mencionou, mas não é DFT. Vale olhar a densidade de Levy-Lieb e os artigos de Mazziotti
  • Para quem não sabe, DFT é teoria do funcional da densidade

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• Concordo totalmente com a afirmação de que “equações diferenciais lineares com coeficientes constantes são o ponto central”. Ao colocar constantes simples nas variáveis, dá para ter uma noção de como elas funcionam, e é difícil acreditar que coeficientes constantes não sejam ensinados primeiro

  • Então espere até encontrar estudantes que passaram por Álgebra II e ainda assim não entendem a diferença entre coeficientes constantes e coeficientes variáveis

• Quase todos os educadores com quem aprendi até hoje insistiam inconscientemente que o material de estudo deveria permanecer esterilizado, e não permitiam que ele fosse engraçado e tivesse uma perspectiva forte como este texto. Para a maioria dos alunos, “aprender” é absurdamente tedioso até sair da universidade ou entrar na pós-graduação e aprender por meio de ensaios e memórias
  Durante 12 a 16 anos, coisas apresentadas como verdades estabelecidas em um formato seco como osso eram, na verdade, às vezes o trabalho de uma vida inteira de dezenas a milhares de pessoas; elas apostaram suas carreiras nisso, brigaram, formaram visões de sociedade, fizeram piadas, casaram, divorciaram, morreram, discutiram e se atacaram, destilando enorme paixão em livros didáticos. Muitas das informações que se aprende como aluno eram extremamente controversas quando foram descobertas. Mesmo no museu de arte em vidro de Sandwich, Massachusetts, as placas da exposição refinavam a história como “os vidreiros tradicionais reagiram contra a invasão industrial”, mas as citações reais eram muito mais humanas, algo como o inventor ter se escondido em um quarto por semanas para escapar de uma reação violenta. Se eu pudesse mudar uma coisa na educação moderna, gostaria que os alunos soubessem que o desenvolvimento e a preservação da informação nunca foram ordeiros nem isentos de viés, e que tivessem bastante contato com a sagacidade e a sabedoria dos autores do passado. Além disso, excetuando artistas e escritores dedicados à comédia, matemáticos e engenheiros muitas vezes eram muito mais engraçados que artistas e escritores

  • Como ex-professor, acho que a razão é que o sistema educacional que conhecemos existe para produzir resultados de aprendizagem reproduzíveis em grande escala. É uma tentativa de transmitir para a mente de adolescentes conhecimentos que gênios levaram séculos para obter com dificuldade — pensando bem, é algo bastante estranho
    Visto assim, embora seja insuficiente para transmitir insights reais, ele é surpreendentemente bem-sucedido. Uma educação melhor provavelmente seria uma abordagem guiada pelo aluno e centrada na descoberta, mas é mais difícil de escalar e os resultados também são menos determinados. Por isso continuamos repetindo uma educação entediante, mas que funciona em alguma medida

• Discussão anterior de 2022: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • Essa discussão tratou de como a matemática substituiu números que não são zero, mas infinitamente pequenos, por limites. Os infinitesimais foram posteriormente reintroduzidos de forma rigorosa por meio de https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html
    Há muito tempo penso que essa abordagem seria mais fácil de lidar em computadores modernos