- Dados de 350.757 lançamentos de moeda apoiam o modelo físico DHM, segundo o qual moedas lançadas por pessoas têm uma probabilidade ligeiramente maior de cair novamente com a face inicialmente voltada para cima, mesmo que pareçam perfeitamente 50:50
- O modelo de 2007 de Diaconis, Holmes e Montgomery considera que a pequena precessão e oscilação geradas em lançamentos humanos fazem com que a moeda mantenha no ar por mais tempo a face inicial voltada para cima
- No experimento, a probabilidade de cair do mesmo lado foi 0,508, e o intervalo de confiança de 95% [0,506, 0,509] e o fator de Bayes 2359 dão forte suporte ao viés para o mesmo lado
- Quando a face inicial é definida aleatoriamente, a probabilidade de sair cara é Pr(cara)=0,500, indicando que o viés cara-coroa e o viés para o mesmo lado devem ser analisados separadamente
- O tamanho do viés variou de pessoa para pessoa e tendeu a diminuir entre quem fez mais lançamentos, sugerindo que a forma de lançar e a prática podem ter um pequeno efeito físico no resultado
Modelo DHM verificado com 350.757 lançamentos
- Lançar moedas é usado em probabilidade e estatística como um exemplo clássico de evento aleatório, mas fisicamente é um processo determinístico que segue a mecânica newtoniana
- O modelo padrão de lançamento de moedas considera que a aleatoriedade do resultado vem de pequenas variações nas condições iniciais, como posição inicial, composição da moeda, força aplicada para cima e momento angular
- Nesse modelo padrão, a probabilidade de uma moeda justa cair com cara para cima é de 50%, o que significa ausência de viés cara-coroa
- O modelo DHM acrescenta a isso uma pequena precessão (precession) ou oscilação gerada em lançamentos humanos
- Quando a direção do eixo de rotação muda durante o voo, a moeda mantém no ar por mais tempo a face que estava inicialmente voltada para cima
- Como resultado, a probabilidade de cair com a mesma face inicial fica ligeiramente acima de 50%
- Diaconis e outros, com base em observações de lançamentos humanos comuns, previram uma probabilidade de queda no mesmo lado de cerca de 51%
Viés para o mesmo lado e viés cara-coroa
- Estes dados consistem em um total de 350.757 lançamentos de moeda, uma escala muito maior que registros anteriores de lançamentos em larga escala
- Os resultados de queda no mesmo lado dão forte suporte à previsão precisa do modelo DHM
-
Pr(mesmo lado)=0,508
- O intervalo de confiança de 95% é [0,506, 0,509]
- O fator de Bayes para o viés para o mesmo lado é 2359
- A tendência de a moeda cair novamente com a face inicialmente voltada para cima aparece de forma pequena, mas consistentemente acima de 50%
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Pr(cara)=0,500
- O intervalo de confiança de 95% é [0,498, 0,502]
- O fator de Bayes para o viés cara-coroa é 0,182
- O resultado de ausência de viés cara-coroa mostrou-se independente do tipo de moeda
- O viés para o mesmo lado não foi igual para todas as pessoas, havendo grandes diferenças individuais
- Mesmo dentro de uma pessoa, o viés para o mesmo lado diminuiu à medida que ela lançava mais moedas
- Isso é compatível com a possibilidade de que a prática esteja associada a lançamentos com menos oscilação
-
Medidas que experimentos anteriores deixaram passar
- Embora já tenha havido experimentos de lançamento de moedas em larga escala no passado, a maioria não registrou se a moeda caiu com a mesma face inicial, tornando-os inadequados para testar o modelo DHM
- Como casos históricos, o conde de Buffon realizou 2.048 lançamentos, Karl Pearson fez 24.000, e John Kerrich fez 10.000 lançamentos de moeda
- O experimento de 40.000 lançamentos de Janet Larwood e Priscilla Ku foi uma exceção, permitindo comparar a face inicial com o resultado
- Larwood sempre começava com cara para cima e, em 20.000 lançamentos, terminou de cara para cara 10.231 vezes
- Ku sempre começava com coroa para cima e, em 20.000 lançamentos, terminou de coroa para coroa 10.014 vezes
- Combinando os dois resultados, a evidência de viés dinâmico é interpretada como ambígua
Impacto na tomada de decisão
- Uma moeda justa lançada por uma pessoa tende a ser, em geral, 50:50 quanto a sair cara ou coroa, mas tem uma chance ligeiramente maior de terminar com a face inicialmente voltada para cima
- Ao usar lançamentos de moeda em decisões de alto risco, é preciso definir aleatoriamente a face inicial para evitar viés cara-coroa
- Como o viés para o mesmo lado aparece de forma mais forte em algumas pessoas, a própria forma humana de lançar pode exercer um pequeno efeito físico sobre o resultado
1 comentários
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Von Neumann descreveu um método elegante para obter um resultado justo a partir de uma moeda viciada
Jogue a moeda duas vezes e, se os dois resultados forem iguais, recomece
Se os dois resultados forem diferentes, basta usar o primeiro resultado do par como resultado final
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
A moeda estava viciada para dar cara 20% das vezes e coroa 80%, mas, ao aplicar o método de Von Neumann, o resultado foi 50,035% cara e 49,965% coroa
Segundo o estudo, é possível escolher o viés dependendo de qual lado fica virado para cima no início
Por exemplo, se quiser coroa, no primeiro lançamento a pessoa começaria com coroa para cima; se o primeiro resultado fosse coroa, no segundo começaria com cara para cima; se o primeiro resultado fosse cara, tentaria invalidar o resultado começando de novo com cara para cima para obter cara novamente
Supondo que seja possível controlar o viés em 75% contra 25%, a probabilidade de o primeiro resultado ser coroa é 75%, e a de sair cara depois disso também é 75%, então a chance de obter o resultado desejado nos dois primeiros lançamentos é 56,25%
O pior caso é o primeiro resultado ser cara e, em seguida, não conseguir tirar cara de novo, o que dá 25% × 25% = 6,25% de chance de perder na primeira rodada
No fim, nos dois primeiros lançamentos há 56,25% de chance de ganhar, 6,25% de perder e 37,5% de tentar novamente, e no geral isso parece convergir para algo em torno de 90% contra 10%
“A razão pela qual esse processo produz um resultado justo é que, se a moeda não muda seu viés a cada lançamento e os dois lançamentos são independentes, a probabilidade de sair cara seguida de coroa é igual à de sair coroa seguida de cara”
Por isso, é preciso sempre começar com o mesmo lado para cima
Esse método pressupõe que a pessoa que lança a moeda não consegue criar um viés
E. T. Jaynes também escreveu em Probability Theory que é fácil aprender a lançar uma moeda justa de modo a determinar o resultado de antemão, mas, procurando um pouco, não consegui descobrir exatamente a que ele se referia
Cerca de um ano atrás, começamos um trabalho para descobrir qual é a probabilidade de uma moeda justa, ao ser lançada e pega com a mão, cair com o mesmo lado que estava voltado para cima no início
Graças a amigos, colaboradores e desconhecidos da internet, reunimos um total de 350.757 lançamentos de moeda e realizamos várias “Coin Tossing Marathon”: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
Como resultado, encontramos fortes evidências para o viés de “mesmo lado” previsto por Diaconis, Holmes e Montgomery 2007
Se começa com cara para cima, é mais provável terminar em cara; o mesmo vale para coroa
Na amostra, a estimativa média foi de 50,8%, com intervalo de confiança de [50,6%, 50,9%]
Também houve uma diferença considerável no viés de mesmo lado entre os 48 lançadores, com desvio-padrão de 1,6% e intervalo de confiança de [1,2%, 2,0%]
Essa diferença pode ser explicada pelo fato de cada lançador ter um grau diferente de oscilação
Se você apostar 1 dólar em cada um de 1000 lançamentos de moeda e souber a posição inicial, pode ganhar em média 19 dólares
Isso é maior do que a vantagem de 5 dólares da casa no blackjack de 6 baralhos contra um jogador ótimo, e menor do que os 27 dólares da roleta de zero único
O manuscrito está no arXiv: https://arxiv.org/abs/2310.04153
Os dados abertos, o código e os registros em vídeo estão no OSF: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
Fazendo as contas, se a pessoa fizesse isso discretamente, umas 20 vezes por dia, levaria 10 semanas, sem contar fins de semana, para ganhar 19 dólares; a essa altura, as pessoas certamente perceberiam o truque
Para ganhar dinheiro rápido, seria preciso espalhar a estratégia para várias pessoas, mas aí o segredo seria revelado
Mesmo que os colegas fossem totalmente honestos, se muita gente começasse a usar a mesma estratégia publicamente, a chance de serem descobertos antes de obter lucro real seria grande
Ainda assim, é uma ideia divertida de imaginar, e o resultado do artigo e o esforço colocado na implementação são legais
Aqui, os lançamentos são bem suaves, e a moeda nem sobe 1 pé no ar
Quando penso em um lançamento de moeda comum, imagino algo como antes de uma partida esportiva: a moeda sobe alto girando rapidamente, cai no chão, rola um pouco e então se verifica o lado em que parou
Se o experimento tivesse sido feito assim, acho que o viés de 50,8% para o mesmo lado teria ficado muito mais perto de 50%
Quando se apostava em preto/vermelho e saía 0, todas as apostas simplesmente passavam para a próxima rodada
Minha estratégia vencedora era sempre apostar na cor oposta à do meu amigo
Acho que, se em vez disso a moeda caísse em uma superfície dura e quicasse, o viés desapareceria
Dá para argumentar que este experimento não representa um lançamento de moeda “comum”
Em média, cada participante lançou a moeda mais de 7000 vezes, e, com esse volume, muita gente deve ter aprendido a lançar a moeda de uma forma mais confortável e consistente
Se a variação no movimento físico e na força diminui, a moeda pode ficar mais propensa a pousar no mesmo sentido
Não acho que esse resultado necessariamente se repetiria com pessoas lançando sem prática
Mas certamente fiquei melhor em lançar a moeda sem deixá-la cair e pegá-la com a mão, e isso por si só exige prática
Sei que existe uma técnica para acrescentar oscilação ao lançamento, mas não a aprendi e também não sei como fazê-la
É seguro presumir que não é uma técnica que se descubra intuitivamente por acaso
Se o objetivo é verificar se existe um viés subjacente, uma pessoa lançando 7000 vezes e 7000 pessoas lançando uma vez cada são coisas bem diferentes
Ainda estou procurando uma forma de explicar intuitivamente, ou de modo que até alunos do ensino fundamental entendam, o mecanismo que gera esse viés
O artigo original explica que, quando uma pessoa normalmente joga uma moeda, ela cria um pequeno grau de precessão (precession) ou oscilação, e por causa disso a direção do eixo de rotação da moeda muda durante o voo
Segundo o modelo de Diaconis, por causa da precessão, a moeda passa mais tempo no ar com a face inicial voltada para cima e, portanto, tem maior probabilidade de cair com a mesma face do início
Outros sites de experimentos de cara ou coroa explicam que uma moeda lançada normalmente não gira em torno de um eixo horizontal, como imaginamos, mas em torno de um eixo inclinado que faz precessão no espaço tridimensional, de modo que fica uma certa “memória” das condições iniciais
O artigo de Diaconis traz a explicação decisiva, mas ela não é intuitiva
A melhor explicação que consigo usar é que, ao lançar, a pessoa produz algum grau de precessão e, quando há precessão, o vetor de momento angular permanece por mais tempo na direção da cara quando se começa com cara, gerando o viés
Para uma explicação para crianças do ensino fundamental, acho que seria bom mostrar, com uma animação de uma moeda sendo lançada, quais regiões o vetor de momento angular varre durante o voo e que o tempo apontando para a cara é um pouco maior
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
As pessoas podem, de fato, treinar para fazer isso, e para quem está sendo enganado é muito difícil perceber que a moeda no ar não está girando, apenas oscilando
Nesse caso, fica claro que a face que estava voltada para cima no início continuará voltada para cima quando for pega
A etapa seguinte — a parte de que mesmo alguém tentando lançar de forma justa produz certo grau de precessão, e de que isso não é separado da rotação — também não é nada intuitiva para mim
Sempre disse que o resultado de cara ou coroa depende muito do estado inicial
Se pensarmos numa sequência como cara, coroa, cara, coroa, quando se começa com cara, o número de coroas não pode ser maior que o de caras, e pode haver uma cara a mais
Não testei pessoalmente, mas suponho que, quanto menor o número de rotações — ou seja, quanto mais curta a sequência cara-coroa — mais inclinada ficará a probabilidade
Aqui, sequência não significa o resultado do lançamento, mas a ordem das faces voltadas para cima durante a rotação
[cara, coroa] é uma volta começando com cara, e [coroa, cara, coroa, cara] são duas voltas começando com coroa e terminando em cara
O resultado do lançamento é o último elemento dessa sequência
Se você lançar uma moeda começando com cara e pegá-la imediatamente no ar logo após o lançamento, o resultado obviamente será cara
Mas, se o tempo em que a moeda é parada for um T relativamente longo, a probabilidade pode ser vista como uma espécie de soma
Por exemplo, se discretizarmos o tempo com \Delta T = 10ms, as somas dos intervalos de cara e coroa serão diferentes, e, quando T tende ao infinito, P(H) e P(T) ficam mais parecidos
Na prática, não se espera por um tempo com distribuição uniforme, mas, em geral, por um tempo próximo de uma distribuição gaussiana, então cada termo da soma recebe pesos diferentes
A variância e o deslocamento dessa distribuição podem mover a probabilidade para o lado de cara ou de coroa, e isso depende muito dos parâmetros concretos
Por exemplo, se você sempre pegar depois de 35ms, pode dar sempre coroa
A moeda, quando está sobre a mão esperando para ser lançada, já está no ponto médio do intervalo correspondente à face atualmente voltada para cima
Isso porque a transição de cara para cima para coroa para cima ocorre quando a moeda está na vertical
Se isso não estiver claro, imagine segurar a moeda em vários ângulos e “achatá-la”
50% dos ângulos correspondem a uma das faces, mas, no momento em que a moeda acaba de ser lançada, ela já passou por metade da faixa de ângulos que representa a face atual
Por isso, a sequência correta é mais próxima de THHTTHHTTHH do que de THTHTH
Em intervalos iguais, as duas faces aparecem o mesmo número de vezes; em intervalos ímpares, em metade dos casos há mais coroas, e na outra metade há mais caras
Isso parece bem difícil de acontecer, então, se o estado inicial for cara, acho que a sequência seria algo como coroa-cara-coroa-cara
Na próxima vez que eu decidir algo no cara ou coroa, vou exigir uma melhor de 350.757 partidas
Eu sempre pegava a moeda e depois a virava sobre o dorso da mão para mostrar o resultado
Então provavelmente haveria um viés para a face oposta
Como dá para introduzir um viés no lançamento de uma moeda?
Pelo artigo, parece possível fazer a probabilidade de cair na mesma face em que começou chegar a 55%, e o participante mais extremo ficou nesse nível
Como o viés surge por causa da precessão, acho que é preciso fazer com que haja o máximo de precessão possível no lançamento
Pode ser bom colocar o dedo o mais longe possível do centro da moeda e também aplicar o máximo de força
Por fim, ao revelar o resultado, é preciso pegar a moeda mantendo a face superior voltada para cima
Imagine prender a moeda entre o indicador e o polegar, com a cara voltada para cima, e apoiar o dedo médio por baixo; isso não é muito diferente da postura inicial comum de um lançamento de moeda
Com o indicador, faça a moeda girar dentro do próprio plano, de modo que a cara continue voltada para cima, mas o desenho da cabeça gire
Agora, ao mesmo tempo, lance-a dando um peteleco com o polegar em um ponto perto da borda inferior da moeda, e você conseguirá dar spin
Com o spin adequado, a moeda na verdade não vira; ela apenas oscila e, portanto, cai com cara
Para um observador, em alta velocidade é difícil distinguir visualmente entre virar e oscilar, então é provável que ele não saiba o que foi feito
Neste caso, esse pequeno erro de grafia deixa o sentido da frase bem mais confuso
É interessante, mas minha intuição era o contrário do resultado
Eu achava que, para cair com o lado oposto para cima, ela teria que virar um número ímpar de vezes, e, para cair com o mesmo lado para cima, teria que virar um número par de vezes
Como, para cada número de viradas, a quantidade de casos ímpares e pares pode ser igual ou pode haver um ímpar a mais, pensei que a probabilidade de virar um número ímpar de vezes fosse maior
Há mais fatores em ação aqui e, no fim, só o experimento valida o modelo
Quero ver como TianqiP joga a moeda
Esse usuário tem uma proporção de cara bem alta, de 0,601 [0,582, 0,619]
Se usado estrategicamente, é uma habilidade que poderia render alguns dólares