A arte perdida dos logaritmos — webbook de Charles Petzold

 (lostartoflogarithms.com)
1 pontos por GN⁺ 2025-03-14 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • Webbook em desenvolvimento por Charles Petzold que, por meio da história e do uso dos logaritmos, conecta temas como multiplicação, potenciação, trigonometria, música e gráficos
  • O eixo central são os logaritmos como ferramenta de cálculo e a régua de cálculo, incluindo não só a teoria, mas também o fluxo de fazer cálculos diretamente e construir ferramentas
  • As cores dos títulos dos capítulos indicam o estado da redação, permitindo ao leitor identificar de imediato quais capítulos estão quase concluídos e quais ainda estão em mudança ou nem foram iniciados
  • Ainda não passou por edição profissional, e a meta de conclusão total está prevista para o fim de 2027
  • É mais adequado para leitura em desktops e notebooks; no iPad Mini com iOS 12.5.7 e em celulares podem ocorrer problemas de exibição

Escopo do webbook e estado da redação

  • The Lost Art of Logarithms é um webbook em desenvolvimento por Charles Petzold
  • Trata os logaritmos não apenas como um conceito matemático, mas como uma ferramenta ao longo da história do cálculo e da ciência
    • O que são logaritmos
    • A utilidade, a história e a universalidade dos logaritmos
    • Usos históricos dos logaritmos na trigonometria plana e esférica
    • A teoria e o uso prático da régua de cálculo
  • A cor dos títulos dos capítulos indica a etapa atual de redação
    • Verde: quase concluído; não são esperadas grandes mudanças, mas pequenas edições, correções e ajustes visuais ainda são possíveis
    • Vermelho: incompleto e atualmente sujeito a mudanças
    • Preto: ainda não iniciado
  • A edição profissional ainda não foi realizada, e a previsão de conclusão é para o fim de 2027

Ambiente de leitura e organização do sumário

Leituras relacionadas

1 comentários

 
GN⁺ 2025-03-14
Opiniões no Hacker News

  • Em vez de aprender logaritmos do jeito como são ensinados no ensino fundamental e médio, ficou muito mais fácil entender acompanhando a motivação original dos logaritmos
    Pensando no problema que Napier enfrentou — simplificar a multiplicação de grandes valores de observações astronômicas — ele procurou uma função da forma f(ab) = f(a) + f(b), e entender por que isso leva a uma determinada família de funções ajuda a perceber melhor por que logaritmos aparecem em todo lugar
    Isso contrasta com a forma de ensinar como a função inversa da exponencial; na prática, esse tipo de discussão só veio com Euler
    Acho que matemática também fica mais interessante quando aprendida assim: seguindo qual era o problema que o autor original queria resolver e quais ferramentas estavam disponíveis na época

    • "Calculus: The Genetic Approach", de Toeplitz, explica matemática por meio de seu desenvolvimento histórico, e essa abordagem parece ser usada de forma mais ampla como https://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_method
      Felix Klein também disse que “em pequena escala, o aprendiz deve repetir, de modo natural e inevitável, o desenvolvimento que a ciência percorreu em grande escala”
    • Se você gosta dessa abordagem, recomendo muito Mathematics: It's Content, Methods, and Meaning, de Kolmogorov
      É um livro que aplica o mesmo método a muito mais conceitos da matemática, e tem cerca de 1.000 páginas
      Acho que também conheci esse livro por aqui, então agora estou repassando a indicação
      Essa abordagem também se conectava à filosofia soviética do materialismo dialético, que via tudo como surgindo de necessidades materiais
      Não sei se concordo totalmente com essa filosofia como um todo, mas o livro de Kolmogorov foi realmente revelador
    • Acho que essa abordagem deveria vir em primeiro plano
      Nesse espírito, proponho a "magnitude notation"[0]. A palavra “logarithm” soa como matemática avançada e afasta as pessoas, mas o conceito básico na verdade torna a matemática mais fácil e interessante
      https://saul.pw/mag
    • Penso nisso com frequência
      O ensino de matemática parece tender a atrair pessoas muito inteligentes e abstratas como Euler, isto é, pessoas que vão entender pela intuição, não por procedimentos de manipulação
      Para outras pessoas, é preciso nadar por um tempo dentro do problema original até que a luz finalmente apareça
    • Na verdade, gosto mais da explicação direta de que logaritmos são a inversa das exponenciais
      Ela é mais intuitiva, porque dá para entender automaticamente que 10^2 * 10^3 = 10^5
      Por isso, usar uma tabela de logaritmos faz a soma fazer sentido. Não precisava de um texto longo
      Você tira o logaritmo, soma 2 + 3 = 5 e depois eleva de volta para obter 10^5

  • Ótimo timing. Aprendi ontem mesmo a usar uma régua de cálculo
    Ao tentar comprar uma, vi que havia tantas opções que caí numa pequena toca de coelho[0], e algumas réguas pareciam verdadeiras obras de arte
    Hoje, numa época em que todas as interfaces são placas de vidro, estou redescobrindo as vantagens inesperadas que ferramentas analógicas podem oferecer
    Recentemente, tenho gostado de usar caneta e papel como se fossem um editor ao rascunhar as primeiras ideias de projetos de código
    Fico curioso para saber se vocês têm alguma ferramenta analógica favorita
    [0]:https://sliderulemuseum.com/

    • Ao assistir aulas de matemática, às vezes penso em comprar uma dessas ferramentas analógicas
      Alguém no Hacker News me fez ficar interessado no Soroban[1], o ábaco japonês, que ainda é usado para treinar velocidades incríveis de cálculo mental[2]
      1. https://en.wikipedia.org/wiki/Soroban
      2. https://www.youtube.com/watch?v=s6OmqXCsYt8
    • Tenho várias réguas de cálculo e as uso todos os dias
      Em especial na cozinha, onde ajusto proporções com frequência, elas são a melhor ferramenta possível
      Depois de ajustar para a escala desejada, dá para ler qualquer proporção necessária num piscar de olhos
      Sinceramente, me surpreende que não sejam equipamento padrão na cozinha
    • Soroban. É o ábaco japonês
      Cada número tem uma única representação, e dá para fazer + - * / e outros cálculos
      http://totton.idirect.com/
    • Uso caneta/lápis e papel pontilhado. Abre um espaço mental completamente diferente
    • Onde será que dá para conseguir a régua de cálculo de 1 metro que o homem na foto do original está segurando?

  • É interessante como, ao aplicar uma transformação logarítmica, os dados muitas vezes passam a parecer uma distribuição normal
    As leis naturais em geral têm forma multiplicativa. São equações como F=ma e PV=nRT
    Ao multiplicar variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, os dados se tornam lognormais graças ao teorema central do limite. Isso porque, na escala logarítmica, multiplicação vira adição, e o teorema central do limite é razoavelmente robusto mesmo quando as distribuições não são idênticas
    Se você vê os dados como o resultado da multiplicação de vários fatores de influência, é por isso que surge uma distribuição lognormal

    • O teorema central do limite não exige variáveis independentes e identicamente distribuídas
      Basta que sejam independentes, tenham variância e satisfaçam algumas condições bem fracas sobre momentos de ordem um pouco mais alta
      Fora isso, as variáveis podem ser bastante diferentes entre si
    • Se você desenhar numa escala log-log com um marcador grosso, todos os dados são lineares

  • Há um fato sobre logaritmos que uso com frequência
    Se X é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre 0 e 1, então –ln(X)/λ tem uma distribuição exponencial com taxa λ
    Isso é útil, por exemplo, ao extrair uma amostra aleatória ponderada ou ao gerar tempos de eventos em simulações

    • A generalização disso é chamada de amostragem por transformada inversa[0]
      Ela usa o fato de que, para a função de distribuição acumulada F de uma variável aleatória arbitrária X, a variável aleatória Y = F(X) segue a distribuição uniforme padrão[1]
      Como toda função de distribuição acumulada é monotonicamente crescente no intervalo unitário, é possível ter uma inversa[2]
      Assim, aplicando a função de distribuição acumulada inversa aos dois lados da expressão acima, temos F^-1(Y) = X, que fica distribuída como X
      Extrair uma amostra da distribuição uniforme padrão e então usar a transformada inversa é o método mais comum para gerar números aleatórios a partir de uma distribuição arbitrária
      0. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling
      1. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Probability_integral_transfo...
      2. Como nem toda função de distribuição acumulada é injetiva, pode ser necessária uma inversa generalizada
    • Quanta matemática é preciso estudar para entender isso?
    • Também há uma forma de entender sem usar função de distribuição acumulada nem função de densidade de probabilidade
      Quando X é uma variável com distribuição exponencial e c é uma constante, se condicionarmos a valores grandes, X + c tem a mesma distribuição que X
      Em outras palavras, as duas variáveis têm a mesma distribuição de cauda. Essa propriedade vale exatamente na distribuição exponencial e é comumente chamada de ausência de memória
      De modo parecido, se U é uniforme em [0, 1] e c é uma constante, então, condicionando a valores pequenos, cU tem a mesma distribuição que U
      Se cU se distribui perto de 0 como U, então -ln(c U) se distribui perto do infinito como -ln(U)
      Mas, como -ln(c U) = -ln(c) - ln(U), a cauda de -ln(U) não muda ao somar uma constante. Portanto, deve ser uma distribuição exponencial

  • Comecei a usar o LMAX Disruptor em alguns projetos
    Uma peculiaridade do Disruptor é que o tamanho da fila precisa ser sempre uma potência de 2
    Eu queria garantir que houvesse pelo menos espaço suficiente para qualquer tamanho, e não queria calcular isso manualmente, então escrevi assim
    var actualSize = Double.valueOf(Math.pow(2, Math.ceil(Math.log(approxSize) / Math.log(2)))).intValue();
    É um pouco exagerado para uma linha só, mas é apenas o uso de regras básicas de logaritmos para obter o expoente correto
    É conteúdo que se aprende no ensino médio, mas alguns colegas olharam como se fosse uma matemática misteriosa e sem precedentes
    Talvez eles só usem logaritmos fora da notação Big O

    • Claro que isso já é perfeitamente utilizável, mas eu provavelmente escreveria assim
      var actualSize = Integer.highestOneBit(approxSize - 1) << 1;
      Só para evitar o terror escondido sob os modestos pow() e log()
      Integer.highestOneBit também é chamado de coisas como “separar o bit mais à esquerda” ou “1 mais significativo” e, para ser implementado com eficiência, na prática precisa ser uma operação primitiva
      É diferente de x&-x, que atua no bit menos significativo
      A instrução real da CPU geralmente se parece mais com Integer.numberOfLeadingZeros, mas a partir daí basta fazer um deslocamento de bits
    • Se você deslocar o tamanho 1 bit para a direita repetidamente e contar quantas vezes até o valor virar 0, obtém o expoente de 2 para esse tamanho

  • Recomendo muito memorizar alguns logaritmos para fazer contas de cabeça
    Isso me deu uma habilidade inesperada
    O texto que escrevi quando comecei está aqui: https://entropicthoughts.com/learning-some-logarithms

    • O blog é bom
      Curiosamente, o próprio decaimento da memória também é essencialmente logarítmico/exponencial
      Aprender logaritmos por repetição espaçada é algo bem meta
    • Fico curioso para saber quais reflexões surgiram ao aplicar isso na prática durante o ano posterior àquele texto
      Além disso, esse blog é de longe um dos meus favoritos

  • Diferenciação logarítmica também é um conceito surpreendentemente fundamental
    (ln(f))' = f'/f
    Em teoria das funções isso é usado o tempo todo, mas as pessoas muitas vezes não percebem que isso tem relação com logaritmos
    As funções em que a diferenciação logarítmica aparece de forma elegante também são muito mais interessantes do que eu esperava
    A natureza está cheia de funções de Gompertz e, depois que você se acostuma, começa a vê-las por toda parte

  • Antigamente havia valor prático em conseguir fazer aproximações logarítmicas básicas de cabeça
    Na época sem calculadoras, era assim que se fazia multiplicação, divisão ou potenciação rapidamente
    Em "Surely You're Joking", de Feynman, há uma história sobre cientistas de Los Alamos competindo para ver quem calculava logaritmos de cabeça mais rápido

  • O pai dos logaritmos, John Napier — ou seja, o N de ln — praticamente mantinha uma oficina de calculadores humanos para produzir tabelas de logaritmos ao longo de uns 20 anos
    Isso era muito importante para a navegação astronômica
    Havia uma grande recompensa para quem desenvolvesse um método de atravessar o mar com segurança, e isso também levou à invenção do relógio de bolso

    • O n de ln não é de “natural”, isto é, “logarithm natural”?

  • Em uma disciplina ministrada por Huffman, famoso pela compressão de Huffman, aprendi a multiplicar usando adição e tabelas de consulta
    Não era permitido usar calculadora nas provas
    Mas meu truque favorito é a mudança de base: https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:...
    Com um pouco de prática, dá para fazer de cabeça mudanças de base aproximadas entre potências de 2, potências de 10 e e