Criando qualquer número inteiro com quatro números 2

Criando qualquer número inteiro com quatro números 2

• Introdução ao quebra-cabeça matemático

  • É um quebra-cabeça em que se recebem quatro números 2 e um número natural alvo, e é preciso formar o número desejado por meio de várias operações matemáticas sem usar outros números.
  • Exemplos que até alunos do ensino fundamental conseguem resolver:
    • 1 = (2+2) / (2+2)
    • 2 = (2/2) + (2/2)
    • 3 = 2×2 - (2/2)
    • 4 = 2 + 2 + 2 - 2
    • 5 = 2×2 + (2/2)
    • 6 = 2×2×2 - 2

• Matemática de nível de ensino fundamental II

  • Ao aprender expoentes e fatoriais, o alcance se expande:
    • 18 = 2^(2^2) + 2
    • 28 = (2+2)! + 2 + 2
    • 256 = (2+2)^(2+2)
    • 65536 = 2^(2^(2^2))

• Truques matemáticos avançados

  • É possível usar vários truques, como considerar 22 como dois números 2:
    • 26 = 22 + 2 + 2
    • 11 = 22 / √(2+2)
    • 444 = 222×2

• Uso de ferramentas matemáticas avançadas

  • Usando ferramentas matemáticas avançadas, como a função gama, é possível criar 7 facilmente:
    • 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2

• Números complexos e matemática avançada

  • Exemplo com números complexos:
    • 12 = |2 + 2√(-2)|^2

• A solução geral de Paul Dirac

  • Paul Dirac encontrou uma solução geral para todos os números.
  • Usando raízes quadradas aninhadas, é possível representar qualquer número:
    • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
    • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
    • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)

• Fórmula geral

  • n = -log_2(log_2(√√...√2))
  • Essa fórmula usa três números 2, mas pode ser ajustada para quatro usando 2 = √(2+2):
    • n = -log_√(2+2)(log_2(√√...√2))

• Uma solução que se encaixa nas regras do quebra-cabeça

  • Esse método está de acordo com as regras do quebra-cabeça e permite representar todos os números.
  • Por exemplo, outra forma de representar 7:
    • 7 = -log_√(2+2)(log_2(√√√√√√√2))

• Material de referência

  • Li essa história no livro The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius, de Graham Farmelo.

[GN⁺]

Comentários no Hacker News

• Permitir o uso de funções parece tirar o espírito do jogo

  • Por exemplo, a função gama é (n-1)!
  • Agora dá para fazer 7 com quatro 2 e um 1
  • Se você puder esconder números em chamadas de função, sempre fica fácil ter sucesso

• Se for permitido usar operações matemáticas

  • fica fácil resolver com o uso posterior de funções
  • Exemplo: S(n) = n+1
    • 6 = 2*2*2-2
    • 7 = S(2*2*2-2)
    • 8 = S(S(2*2*2-2))

• Donald Knuth escreveu o texto "Representing numbers using only one 4" em 1964, aos 26 anos

  • Ele usa o único dígito 4 e três operações (√x, ⌊x⌋, x!)
  • Termina com uma conjectura em aberto sobre se é possível representar todos os inteiros dessa forma
  • No apêndice, menciona o artigo "π in Four 4's", escrito por J. H. Conway e M. J. T. Guy em 1962

• Parece uma escolha estranha usar sqrt(2*2) ou sqrt(2^2) em vez de sqrt(2+2)

  • Isso esconde desnecessariamente o motivo de 2=sqrt(2+2)

• Prefiro concisão

  • Criei uma máquina de pilha com comandos de um único caractere
  • Só era possível usar os dígitos de 0 a 9
  • Para representar o número 23, era preciso usar algo como 45*3+
  • Tive de resolver o problema de codificar cada inteiro com o menor número de caracteres possível

• Isso me lembra o jogo mobile Tchisla

  • Você precisa formar números até 1000 (ou 10000) usando apenas os números dados e alguns operadores
  • É muito divertido e faz você desenvolver estratégias
  • A UX é simples e eficiente
  • Consome muito tempo

• Há um pequeno problema em usar três 2

  • A notação de raiz esconde um expoente de 1/2
  • Há muitos 2 escondidos

• Existe um jogo clássico chamado "four fours"

  • Aprendi quando era criança no livro "The Man Who Counted"

• Usar raízes quadradas de números arbitrários parece quase uma trapaça

  • A raiz quadrada é, na prática, apenas outro símbolo para "2"

• Na opinião de alguém, definir 7 é realmente difícil

  • 7 = 2/2 + 2 + 2 + 2