Criando todos os inteiros com quatro números 2

 (eli.thegreenplace.net)
1 pontos por GN⁺ 2025-02-24 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • O quebra-cabeça de formar números usando apenas quatro algarismos 2 se expande de um puzzle das quatro operações para uma brincadeira matemática avançada, dependendo de até onde se ampliam as operações permitidas
  • Apenas com frações e as quatro operações, é possível formar de 1 a 6, e ao acrescentar expoentes e fatoriais, também dá para construir números grandes como 18, 28, 256 e 65536
  • Se concatenarmos os 2 para formar 22 ou 222, ou usarmos números complexos e valor absoluto, é possível representar de várias formas até números difíceis de obter com cálculos simples
  • O 7 é conhecido como um número difícil de formar, mas, se ferramentas como a função gama forem permitidas, ele pode ser obtido diretamente com quatro 2s
  • A solução geral de Paul Dirac expressa qualquer número usando radicais aninhados e logaritmos na base 2, ajustando exatamente quatro 2s com a substituição 2 = √(2+2)

Regras básicas para formar números com quatro 2s

  • A condição do quebra-cabeça é usar o número 2 exatamente quatro vezes e, sem nenhum outro algarismo, formar o número-alvo apenas com operações matemáticas
  • Mesmo só com as quatro operações e frações, números pequenos podem ser feitos com relativa facilidade
    • 1 = (2+2)/(2+2)
    • 2 = 2/2 + 2/2
    • 3 = 2·2 - 2/2
    • 4 = 2+2+2-2
    • 5 = 2·2 + 2/2
    • 6 = 2·2·2 - 2
  • Se forem permitidos expoentes e fatoriais, o intervalo de expressões possíveis se amplia bastante
    • 18 = 2^(2^2) + 2
    • 28 = (2+2)! + 2 + 2
    • 256 = (2+2)^(2+2)
    • 65536 = 2^(2^(2^2))
  • Concatenar os algarismos também é um truque usado com frequência nesse tipo de puzzle
    • 26 = 22 + 2 + 2
    • 11 = 22 / √(2+2)
    • 444 = 222 · 2
  • O 7, em especial, é um número difícil de montar, mas, usando a função gama, ele pode ser expresso como 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
  • Na thread do Math StackExchange, há exemplos usando integrais, dízimas periódicas, operadores combinatórios e outros recursos
  • Com números complexos e valor absoluto, também surgem expressões como 12 = |2 + 2√-2|²

A solução geral de Dirac

  • Paul Dirac encontrou uma solução geral aplicável a qualquer número, e o mecanismo central são os radicais aninhados
  • Ao aplicar repetidamente a raiz quadrada a 2, o resultado pode ser reorganizado na forma exponencial da seguinte maneira
    • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
    • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
    • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
  • Se aplicarmos a raiz quadrada n vezes, obtemos a forma √√...√2 = 2^(2^-n)
  • Se então tomarmos um logaritmo na base 2, o resultado será 2^-n, e, tomando o logaritmo novamente, obtemos -n
  • Assim, qualquer n pode ser expresso na forma n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • Como a expressão original usa o número 2 apenas três vezes, um dos 2 pode ser substituído por 2 = √(2+2), fazendo com que a fórmula use exatamente quatro 2s
  • Por exemplo, 7 pode ser expresso com sete raízes quadradas aninhadas, da seguinte forma 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
  • O n dentro da expressão não é um número que entra literalmente na fórmula, mas uma notação auxiliar para contar o número de repetições da raiz quadrada
  • No fim, o caminho para representar todos os números fica aberto, mas ainda resta a tarefa de escrever corretamente tantos símbolos de raiz quantos forem necessários

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1 comentários

 
GN⁺ 2025-02-24
Comentários no Hacker News

  • No momento em que funções são permitidas, parece que se abandona o propósito do jogo
    Por exemplo, a função gama é (n-1)!, então agora seria como formar 7 com quatro 2 e um 1
    Se dá para esconder números dentro de chamadas de função, fica fácil demais sempre ter sucesso

    • +, -(binário/unário), ×, ÷ também são funções, e potenciação também é uma função. Então por que elas deveriam ser permitidas?
      Nesse tipo de quebra-cabeça, sempre pode haver divergência sobre o escopo das funções elementares, mas não vejo necessidade de proibir a raiz quadrada
      Quanto à ideia de que a função gama é (n-1)!, 2 também é, no fim, apenas S(S(0)) (https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms)
      A construção de Paul Dirac é difícil de chamar de trivial, e fico curioso se você realmente a considera trivial ou se conhece uma construção mais simples
    • Assim que apareceu a função gama, meu primeiro pensamento foi o mesmo
      Por que permitir a função gama, mas não outras funções? Se você inserir uma função arbitrária, passa a conseguir resolver o jogo como quiser
      No fim, desde o começo vejo o texto como um problema cujas regras não foram bem definidas. É preciso especificar o conjunto de funções ou operações permitidas, e a intenção de mostrar como o problema se expande conforme o nível de conhecimento poderia ser mantida mesmo com esse ajuste
    • No fim é algo feito por diversão, e a função gama e a raiz quadrada podem ser consideradas suficientemente básicas
      Se quiser, também dá para restringir a diferentes subconjuntos de funções e provar, dentro deles, quais números são possíveis ou impossíveis
      O texto também falou em “ferramentas matemáticas”, não em funções arbitrárias
    • A crítica faz sentido, mas, como outros disseram, “permitir funções” em si não é o problema. Afinal, as operações matemáticas básicas também são funções
      Porém, se forem permitidas apenas funções que levam tuplas de inteiros a inteiros ((Z, Z, ...) -> Z), o espírito original do jogo é preservado
      Assim, raiz quadrada e logaritmo ficam de fora, adição, subtração e multiplicação ficam, mas divisão fica de fora. O fatorial n! e a potenciação com expoentes não negativos também poderiam ser permitidos
      Fico curioso se seria possível criar uma solução geral dentro dessa restrição
    • A solução de Dirac não inclui a função gama; usa apenas N raízes quadradas e 2 logaritmos

  • Se for “usar qualquer operação matemática”, é fácil: basta usar a função sucessor
    S(n) = n+1
    6 = 2*2*2-2
    7 = S(2*2*2-2)
    8 = S(S(2*2*2-2))
    E assim por diante

    • Pela restrição de “não usar outros números”, o 1 na primeira linha parece trapaça
    • Estudei bastante matemática na escola, trabalho com engenharia e uso matemática todos os dias, além de acompanhar muitos canais de matemática no YouTube, mas ouvi falar dessa função pela primeira vez na vida
      Este quebra-cabeça não tem regras de verdade, mas essa função não parece nem um pouco conhecida
    • Acho que um desafio mais interessante seria encontrar, para um dado inteiro, a expressão mais curta que o represente usando quatro 2
    • Pensei a mesma coisa. A raiz quadrada também é uma forma de esconder um 2 atrás da notação
      Se não for especificado concretamente quais operadores podem ser usados e quantas vezes, o projeto inteiro não fica muito consistente
    • Cálculo lambda entrou na conversa

  • Relacionado a isso, há também “Representing numbers using only one 4”, escrito em 1964 por Donald Knuth, então com 26 anos (https://www.jstor.org/stable/2689238)
    Ele também foi republicado no capítulo 10 de Selected Papers on Fun and Games, e usa apenas um único número 4 e três operações: √x(raiz quadrada), ⌊x⌋(função piso) e x!(fatorial)
    Termina com uma conjectura ainda não resolvida sobre se todos os inteiros podem ser representados dessa forma
    O apêndice anexado ao livro de 2011 também apresenta o artigo ainda anterior, de 1962, com 1,5 página, “π in Four 4's”, de J. H. Conway e M. J. T. Guy. É uma ideia parecida que eles escreveram quando eram estudantes em Cambridge: https://archive.org/details/eureka-25/page/18/mode/1up?view=...
    Por exemplo, 5 = ⌊√√√√√(4!)!⌋, porque 24! fica entre 5^32 e 6^32

  • Não sei se sou só eu, mas achei estranha a escolha de usar sqrt(2+2) em vez de sqrt(2*2) ou sqrt(2^2)
    Ela obscurece desnecessariamente o motivo de 2=sqrt(2+2)

    • Boa observação, mas é difícil dizer que foi apenas uma escolha estranha do autor
      O texto como um todo, cada argumento, a tese geral, as frases, a formatação etc. consomem largura de banda cognitiva, e talvez houvesse também pressão de tempo
      Para quem critica, parece óbvio porque dá para se concentrar tranquilamente em apenas um ponto :)
    • Talvez exista em algum lugar algo como uma pontuação de golf que recompense operações de baixo custo
      O “hack de Dirac” provavelmente gastaria muitos pontos
    • Sério? Por quê? 2+2, 2*2 e 2^2 são todos obviamente 4, e sqrt(4)=2; não entendo por que + seria mais estranho do que os outros

  • Pessoalmente, prefiro mais o lado da concisão
    Eu criei uma máquina de pilha que usava comandos de um único caractere e precisava resolver uma variação desse problema. Os números iam apenas de 0 a 9, e a sequência 23 significava empurrar 2 para a pilha e depois empurrar 3. Para representar o número real 23, era preciso escrever algo como 45*3+
    Então restava o problema de codificar cada inteiro com o menor número de caracteres possível
    As ferramentas disponíveis eram os dígitos 0~9, P: Pi, *: (a * b), /: (a / b), -: (a - b), +: (a + b), s: sin(a), c: cos(a), q: sqrt(a), l: log(a), ~: abs(a), #: round(a), $: Math.floor(a), C: clamp(a), <: min(a, b), >: max(a, b), ^: pow(a, b), a: atan2(a, b), %: positiveMod(a, b), !: (1 - a), ?: (a <= 0 ? 0 : 1), o: a xor b scaled by c; ((a*c) xor (b*c))/c, d: duplica o topo da pilha, :: troca os dois itens do topo, ;: troca o item do topo com o terceiro item
    Fico curioso para saber o que daria para fazer se eu refizesse essa máquina de pilha mais tarde como uma pilha de números complexos
    Da próxima vez que eu postar algo assim, não pretendo escrever pelo celular

    • A resposta geral talvez seja incomputável
      https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity
    • Que tal criar cada número com um comando do tipo “multiplica por 10 e soma esse dígito”, e ter um comando separado que empurra 0, como um espaço? Assim daria para representar 23 como " 23"
    • Me lembrou https://www.hacker.org/hvm/ (2008)
    • Parece que muitos números seriam codificados em base 9 ou base 10. Em geral, deve acabar sendo uma repetição de padrões como digit + * digit + *, ou algo equivalente

  • Dizem que é uma pequena falha “usar o número 2 só três vezes”, mas isso só vale se ignorarmos que a notação de radical assume um valor comum como padrão e esconde a potência 1/2
    Há muitos 2 escondidos

    • É difícil dizer que a notação de radical realmente esconde alguma coisa. O fato de ela ser quase o mesmo que elevar à meia potência é um teorema
      Nesse caso, também teríamos de admitir que o 2 esconde 1+1, e o jogo se tornaria impossível?
      Como polinômios quadráticos são muito mais comuns do que polinômios de grau alto, a raiz quadrada parece mais fundamental do que uma potência arbitrária
      Muita gente aponta que, ao permitir funções vistosas, o jogo fica ridículo, mas pessoalmente acho que boa parte da graça está em encontrar soluções satisfatórias mesmo sem restrições de regras bem específicas

  • Houve uma tarefa relacionada de engenharia reversa/CTF. Não vou dizer o nome para evitar trapaças, mas a minha solução foi injetar shellcode que somava um número específico ao ponteiro da pilha
    Só que o shellcode inteiro, incluindo o número a ser somado, precisava usar apenas bytes ASCII alfanuméricos
    Então usei um solucionador SAT para encontrar combinações de números a serem somados que chegassem ao valor desejado sem usar bytes proibidos
    https://docs.google.com/presentation/d/19K7SK1L49reoFgjEPKCF...

  • Me lembrou o jogo mobile Tchisla. É um jogo em que você precisa formar todos os números até 1000 ou 10000 usando um número dado, alguns operadores, raiz quadrada, ! etc.
    É bem divertido; com o tempo você desenvolve estratégias, e a experiência de usuário é simples e eficiente. Só é bom saber de antemão que ele consome tempo demais
    [0] https://apps.apple.com/fr/app/tchisla-number-puzzle/id110062...

  • Existe o clássico problema dos quatro 4, que aprendi quando era criança no livro “The Man Who Counted”
    https://en.wikipedia.org/wiki/Four_fours
    https://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Counted

    • A versão que aprendi quando criança também foi essa. Esta página que eu fiz também pode ser interessante
      The Definitive Four Fours Answer Key
      https://dwheeler.com/fourfours/
    • Era exatamente isso
      Foi com isso que aprendi sobre falsa indução. Também gostava da história em que as pessoas ficam enfileiradas, há algo preso nas costas delas, e elas precisam adivinhar o que é

  • É impressionante, mas há 2 demais escondido naquele símbolo de sqrt