Criando qualquer inteiro com quatro 2s

• O quebra-cabeça de formar um número-alvo usando apenas quatro algarismos 2 amplia muito seu alcance expressivo à medida que aumenta o conjunto de operações matemáticas permitidas
• Só com as quatro operações básicas, é possível formar de 1 a 6; ao acrescentar exponenciação, fatorial e raiz quadrada, também dá para expressar valores como 18, 28, 256 e 65536
• Também é possível usar a notação que considera 22 como dois 2s; se forem permitidas a função Gamma, integrais, dízimas periódicas, operador de combinação e até números complexos, as soluções ficam muito mais variadas
• A solução geral de Paul Dirac usa raízes quadradas aninhadas e logaritmo de base 2 para construir qualquer número natural n, em que n não é um algarismo usado na expressão, mas o número de repetições da raiz quadrada
• A fórmula geral original usa o número 2 apenas três vezes, mas, ao substituir um dos 2 por √(2+2), ela passa a usar exatamente quatro 2s

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Como o quebra-cabeça dos quatro 2s se expande

• A regra é usar exatamente quatro algarismos 2 e operações matemáticas para formar o número natural desejado
• Mesmo só com as quatro operações básicas em nível escolar, já dá para obter números pequenos
  • 1 = (2+2)/(2+2)
  • 2 = 2/2 + 2/2
  • 3 = 2·2 - 2/2
  • 4 = 2+2+2-2
  • 5 = 2·2 + 2/2
  • 6 = 2·2·2 - 2
• Se forem permitidos expoentes e fatorial, o conjunto de expressões possíveis cresce bastante
  • 18 = 2^(2^2) + 2
  • 28 = (2+2)! + 2 + 2
  • 256 = (2+2)^(2+2)
  • 65536 = 2^(2^(2^2))
• Em termos de notação, também dá para tratar 22 como dois 2s
  • 26 = 22 + 2 + 2
  • 11 = 22 / √(2+2)
  • 444 = 222 · 2
• O 7 é conhecido por ser difícil de formar, mas, se a função Gamma for permitida, então 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
• Com um conjunto ainda mais amplo de ferramentas, surgem soluções como as da thread no Math StackExchange, incluindo integrais, dízimas periódicas e operador de combinação
• Um exemplo com números complexos é 12 = |2 + 2√(-2)|²

A solução geral de Dirac com raízes quadradas aninhadas

• Matemáticos da década de 1920 também se divertiam com esse quebra-cabeça, e Paul Dirac encontrou uma solução geral para todos os números
• A ideia central é aplicar repetidamente a raiz quadrada ao 2
  • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
  • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
  • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
• Ao aplicar a raiz quadrada n vezes, obtém-se a forma √√...√2 = 2^(2^-n)
• Em seguida, aplicando duas vezes o logaritmo de base 2, obtém-se -n
  • log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
  • log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
• Portanto, a fórmula geral é a seguinte
  • n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • aqui a raiz quadrada é repetida n vezes
• Como essa expressão usa o número 2 apenas três vezes, ao substituir o 2 da base por √(2+2), ela passa a usar exatamente quatro 2s
  • n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
• Por exemplo, o 7 pode ser expresso aninhando sete raízes quadradas, assim
  • 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
• Nesse método, n não é um algarismo que aparece diretamente na expressão, mas o valor que conta o número de repetições da raiz quadrada; o trabalho restante é simplesmente desenhar quantos símbolos de raiz forem necessários

[GN⁺]

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