A solução para o problema da cebola de J. Kenji López-Alt (2021)

• Ao modelar matematicamente o problema do corte radial para picar uma cebola em pedaços de tamanho uniforme, o resultado mostra que a ponta da faca deve apontar não para o inverso da razão áurea, 0.61803398875…, mas para 55,73066% abaixo do raio
• O modelo simplifica a cebola como um semidisco de raio 1 e assume infinitas camadas e infinitos cortes, permitindo resolver o problema com matemática contínua e cálculo multivariável
• O núcleo do cálculo é o jacobiano da transformação de coordenadas, usado para obter a área relativa de fragmentos infinitesimais, e então encontrar a profundidade h que minimiza a variância dessas áreas
• Aplicando integração numérica e minimização numérica no Mathematica, a variância mínima aparece perto de h ≈ 0.55, e a “true onion constant” é 0.5573066…
• Esse valor vale para uma cebola idealizada com infinitas camadas; em cebolas reais, com camadas finitas, a profundidade ótima pode ser diferente

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O problema começou com o conselho de cortar mirando 60% para baixo

• Em um vídeo no YouTube do chef Kenji López-Alt, aparece a história de um amigo matemático que recomendou, ao cortar cebola, fazer cortes radiais mirando abaixo do centro, em 60% do raio
• Esse valor é apresentado como relacionado ao inverso da razão áurea, 0.61803398875…
• Depois, ao cortar cebolas reais dessa forma, surge a questão de investigar matematicamente por que esse valor apareceria
• Após dois meses sem grande progresso, os cálculos avançaram em dois dias e levaram ao valor chamado de “true onion constant”

Um modelo de cebola que dá para calcular

• A cebola é simplificada como um semidisco de raio 1, com centro na origem e localizado no semiplano superior
  • A estrutura tridimensional real da cebola e o formato de sua seção transversal ficam de fora
  • Essa simplificação é uma aproximação para tornar o problema tratável
• Como o número de camadas afeta a resposta, assume-se uma cebola com infinitas camadas
  • Se a cebola tivesse uma única camada, o ideal seria cortar em direção ao centro
  • Se tivesse dez camadas, seria melhor mirar abaixo do centro
  • Ao assumir infinitas camadas, também se considera naturalmente um número infinito de cortes
• Graças a essa hipótese, o problema passa para o domínio da matemática contínua, permitindo o uso de cálculo

Medindo a uniformidade dos pedaços com o Jacobiano

• Na transformação usual para coordenadas polares, uma pequena área dx dy se transforma em r dr dθ, e nesse caso r atua como o jacobiano
• Esse valor serve como medida para comparar o tamanho relativo dos fragmentos infinitesimais da cebola
  • Pedaços mais próximos do centro são menores porque r é pequeno
  • Pedaços mais próximos da borda são maiores porque r é maior
• A uniformidade dos pedaços é medida pela variância desses pesos de área infinitesimal
  • Variância alta significa pedaços menos uniformes
  • Variância baixa significa pedaços mais uniformes
• Primeiro são calculados o peso médio de área e a variância no caso de cortes voltados ao centro; depois, introduz-se um novo sistema de coordenadas para cortes que apontam para um ponto abaixo do centro

Um sistema de coordenadas voltado para um ponto abaixo do centro

• O ponto para o qual os cortes apontam é colocado em (0, -h) abaixo da origem, construindo-se um sistema com h > 0
• Nesse sistema, o ângulo θ é medido a partir de (0, -h), enquanto o raio r é medido a partir da origem (0, 0)
  • A parte radial modela as camadas da cebola em relação à origem
  • A direção angular modela a forma como a faca entra em linha reta mirando (0, -h)
• Esse sistema de coordenadas funciona sem problemas apenas no semiplano superior, e como toda a cebola do modelo está nesse semiplano, ele pode ser usado
• Pela simetria, basta analisar a metade direita
  • A região é 0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
  • O intervalo radial é h tan(θ) ≤ r ≤ 1
• Pela lei dos cossenos, obtém-se a relação entre (x, y) e (r, θ), e então calcula-se o jacobiano para uma profundidade h dada
• Com base nesse jacobiano, definem-se o peso médio de área A(h) e a variância v(h)

Resultado do cálculo: a true onion constant

• Como integrar v(h) à mão parece muito difícil ou impossível, usa-se a integração numérica do Mathematica
• Ao traçar a variância em função de h, o valor mínimo aparece perto de h = .55
• Pela minimização numérica, a “true onion constant” de uma cebola idealizada com infinitas camadas é 0.5573066…
• Para obter os cortes radiais mais uniformes, a faca deve apontar para baixo do centro da cebola, na posição correspondente a 55,73066% do raio
• Esse valor é próximo de 61.803%, mencionado no vídeo, mas não é igual
• Em cebolas com número finito de camadas, como as reais, o valor pode mudar
  • Com uma camada, a profundidade ótima é 0
  • Com infinitas camadas, é 0.5573066…
  • Para uma cebola com dez camadas, espera-se que a profundidade ótima fique entre 0 e 0.5573066…, embora isso não tenha sido investigado em profundidade

Atualização posterior: forma fechada e nome

• Mais tarde, tornou-se possível calcular v(h) em forma fechada
• Como minimizar uma função no cálculo envolve zerar sua derivada, calcula-se v'(h)
• No intervalo (0, 1), a única raiz dessa derivada é a constante da cebola
  • Esse ponto é um ponto crítico de v(h)
  • Como o sinal de v'(h) muda de negativo para positivo, trata-se de um mínimo
• Com esse método, a constante da cebola pode ser calculada com precisão arbitrária, e a expansão decimal até 1000 dígitos é incluída
• Para o nome dessa constante matemática, foi escolhida a letra hebraica samekh
  • O motivo da escolha é que a letra se parece com uma cebola

[GN⁺]

Comentários do Hacker News

• Sou o autor do post do blog. Fico feliz que este texto tenha despertado interesse, e deixei aqui os slides que cobrem a formulação do problema, o conteúdo matemático e até a cebola tridimensional: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
  Também enviei a um periódico de matemática recreativa um manuscrito formal organizando os detalhes do problema e da solução, e terei prazer em responder perguntas

  • A solução parece assumir que todos os cortes com a faca devem apontar para um único ponto. Parece possível que uma solução mais ótima seja aumentar a profundidade-alvo h do corte à medida que se vai para fora; queria saber se deixei passar o motivo de não ser assim
  • É uma forma de resolver o círculo no plano, mais precisamente o semicírculo no plano, mas há um ponto ligado à redução de dimensão que me incomoda há muito tempo
    Um círculo pode ser facilmente dividido em 120 arcos iguais, por exemplo de 3 graus, em coordenadas polares, mas fazer o mesmo na superfície de uma esfera com coordenadas esféricas é bem ruim, e entendo que é impossível obter um efeito semelhante de ladrilhamento da superfície esférica com uma única forma idêntica
    Isso me veio à cabeça ao pensar em um sistema de coordenadas em que cada “quadrado” de um mapa tivesse a mesma área na esfera, ainda que com distorção, e também parece ligado a até que ponto o análogo bidimensional do problema da cebola responde à pergunta tridimensional original
  • Seria interessante se fosse possível construir ao contrário um modelo que fizesse a resposta dar 1/φ. Parece viável se colocarmos alguma medida não uniforme sobre a cebola, e também fiquei curioso sobre como isso seria ao tratar a cebola como um hemisfério. Na culinária, na prática, o que mais importa é a espessura

• Fico me perguntando por que modelar meia cebola como “metade de um disco de raio 1”. Meia cebola é mais próxima de um hemisfério, então não sei por que deveríamos esperar a mesma solução
  Se você pensar nas seções externas nas duas pontas da cebola, isto é, perto do calcanhar e da ponta da faca, os cortes ficam mais próximos da vertical conforme se vai para as extremidades. Na medida em que a parte externa é cortada verticalmente, parece que a seção do meio deveria ser cortada um pouco mais rasa, então provavelmente é errado chamar isso de verdadeira constante da cebola

  • A solução aparece mais adiante no texto. A intuição central vem do jacobiano, e a estrutura não é a de um semidisco uniforme, mas sim uma em que quanto mais longe do eixo Y, maior o peso
    Dá para pensar nisso como tentar recolher a mesma quantidade de tinta de uma figura pintada. Diferentemente de um disco uniforme, o disco ponderado do texto é mais escuro em cima e embaixo e mais claro no meio; e, na prática, a tonalidade muda gradualmente, não em faixas como no desenho em ASCII
  • Também está ignorando o fato de que as camadas da cebola ficam muito mais finas à medida que se afastam do centro. Então, mesmo para uma cebola perfeitamente simétrica, eu diria que essa análise passa bem longe
  • Mesmo que a cebola não seja perfeitamente simétrica, dá para vê-la como uma estrutura que cresce de forma ótima ou se estende radialmente a partir de um eixo ou linha que passa pelo centro. Se você espetar um palito numa esfera para servir de eixo e cortar perpendicularmente a esse eixo, numa esfera sai um círculo, e numa meia cebola sai um semidisco
    Pessoalmente, por preguiça, eu corto a meia cebola perpendicularmente ao eixo e não chego ao ponto de fazer cortes radiais para manter a uniformidade
  • Por um momento achei que o “problema da cebola” fosse alguma questão difícil de topologia ou teoria dos grupos, mas então fiz a ligação de que Kenji Lopez-Alt é chef, não matemático, e entendi
  • Tenho uma preocupação parecida. A cebola me parece mais próxima de um cilindro bojudo em que a espessura das camadas se concentra mais em direção ao centro, e cada camada vai da raiz ao caule

• Em contraste, o youtuber de culinária Adam Ragusea defende fortemente que a heterogeneidade importa. Otimizar a uniformidade talvez não seja necessariamente a melhor estratégia
  https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM

  • Como Ragusea, prefiro que cada garfada traga algo um pouco novo e diferente
    Uma dica para salada Caesar: coloque um saco de croutons prontos achatado sobre a mesa e esmague repetidamente com o fundo de uma frigideira. Isso mistura pedaços de crouton de vários tamanhos, farelos tipo pedrinhas e pó. Depois de comer assim em um restaurante sofisticado, passei a fazer sempre desse jeito
  • Adam está resolvendo um problema diferente. O ponto do Kenji é ter uma regra simples que qualquer pessoa consiga lembrar e seguir, produzindo bons cortes sem exigir precisão
    Essa regra chega perto o bastante da uniformidade esperada para ingredientes como cebola na maioria das receitas, e parece provável que o próprio Ragusea concordasse com ela como solução para essa formulação do problema
  • Já li que chefs com formação clássica dão importância à consistência do corte. Adam Ragusea usa com frequência métodos de nicho e meio excêntricos que não batem com a prática profissional real; assim como Bill Nye é mais um divulgador da ciência, ele está mais para divulgador da culinária do que para chef profissional
  • A lógica apresentada naquele vídeo é difícil de rebater
  • Não existe exatamente um jeito certo ou errado. Se você for longe demais em qualquer extremo, a comida provavelmente fica monótona ou perde qualidade
    Dito isso, muitas das posições do Ragusea não resistiram tão bem ao tempo, e ele mesmo reconheceu algumas delas

• Marco Pierre-White recomenda ralar a cebola, o que evita o problema inteiro de forma engenhosa
  Por assim dizer, é como ralar o nó górdio
  https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40

  • Ralar para molho de tomate faz sentido, mas eu não gostaria de adotar isso como método básico de preparar cebola
  • Esse é o método do MPW: https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw
    “Perfeição é um monte de pequenas coisas bem feitas”
  • De fato evita o problema, tirando o fato de que sempre sobra um último pedaço que não dá para ralar sem colocar os dedos em risco
    Para alho, prefiro amassar em muitas receitas. Isso cria contornos mais ásperos e ele se mistura melhor à comida, além de dourar de forma mais crocante ao refogar
  • A essa altura, não seria melhor simplesmente bater no processador de alimentos?
  • “Você pode ralar a cebola ou não. Na verdade, a escolha é sua”

• Fiquei curioso se existe algum lugar em que o problema seja explicado por escrito. Parece que o original deixa isso para o vídeo, e que o texto aborda só a solução proposta em outro vídeo e a nova solução, então não fica claro qual problema está sendo resolvido

  • O problema é cortar a cebola de forma a minimizar a variação de tamanho e formato dos pedaços. Em geral, o objetivo é fazer com que cozinhem de maneira uniforme
  • É a questão de cortar meia cebola de modo a minimizar a variância do volume dos pedaços. Depois, isso é simplificado para um problema de corte que minimiza a variância da área da seção na parte mais larga da cebola
  • É o problema de “como cortar uma cebola esférica e de camadas uniformes em pedaços de mesmo volume”. Está mais para um experimento mental de geometria do que para uma questão prática de gastronomia
  • Não está explicado muito bem por escrito. Há trechos soltos como “manter os pedaços o mais parecidos possível”, “o jacobiano r dr dθ mede o tamanho relativo de pedaços infinitesimais” e “a variância representa bem a uniformidade dos pedaços”
  • É um problema sobre como cortar a cebola em pedaços de tamanho aproximadamente igual. Se você cortar em direção ao centro, os pedaços de dentro ficam muito menores que os de fora

• Surpreende que o Kenji ainda faça cortes horizontais. Tenho a impressão de que, se fizer cortes verticais angulados, os cortes horizontais se tornam totalmente desnecessários
  Alguns anos atrás, ao fazer cortes horizontais numa cebola, minha pele chegou a rasgar como uma flap avulsion

  • Mais estranho ainda é fazer os cortes horizontais depois dos verticais. A maioria dos cozinheiros que realmente pica cebola faz assim, mas isso parece totalmente invertido para mim
    Numa meia cebola intacta, dá para fazer cortes horizontais com segurança e facilidade, mas depois de já ter cortado na vertical, fica bem mais difícil
  • Inclinar os cortes horizontais para baixo ajuda a lidar com esse problema. De qualquer forma, eles são necessários principalmente só na lateral inferior da cebola
  • O Kenji diz que, na prática, ele não faz os cortes angulados enquanto explica, mas que achou o problema matemático interessante
  • Vale a pena investir em uma luva anticorte. Com alguns dólares, dá para evitar muito tempo perdido, e ela também serve para mandolim
    Talvez seja melhor testar antes colocando um hot dog na parte dos dedos

• Surpreendente, e fiquei realmente feliz por haver uma solução fechada para a integral. Tenho muita curiosidade de ver como isso ficaria no caso discreto, e parece que também seria bem fácil codificar uma simulação

• O método do Chef Jean-Pierre é melhor. Mantém as coisas simples e também mostra por que os cortes horizontais não fazem muito sentido
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...

  • Sim. Uso esse método há 15 anos e não me arrependo. Surpreende que ele ainda esteja fazendo vídeos

• Na alta gastronomia, existe até literalmente a ideia de cubos perfeitos. Você remove as camadas inteiras da cebola, achata para formar folhas e depois corta retângulos em grade para picar

  • https://www.youtube.com/watch?v=UBj9H6z6Uxw