Lógica
O que é lógica
- A lógica é a ciência do possível e o fundamento de todas as outras ciências.
- Se a ciência explica como o universo funciona, a lógica trata da parte da explicação que pode ser aplicada a qualquer universo.
- A lógica estuda as regras para concluir que outro fato é verdadeiro quando se conhece um fato.
Lógica e matemática
- A lógica é semelhante à teoria dos conjuntos e à teoria das categorias, e as teorias matemáticas são a lógica acrescida de definições adicionais.
- A teoria dos conjuntos pode ser definida adicionando uma relação primitiva aos axiomas padrão da lógica.
Proposições básicas
- Como a lógica é a ciência do possível, ela precisa de um conjunto inicial de proposições aceitas como verdadeiras ou falsas.
- Essas proposições são chamadas de "premissas", "proposições básicas" ou "proposições atômicas".
Composição de proposições
- O núcleo da lógica é o conceito de composição, e várias proposições podem ser combinadas usando operadores lógicos.
- Os operadores lógicos incluem "e", "ou", "portanto" etc.
Equivalência entre proposições básicas e compostas
- Uma proposição composta por várias premissas não é diferente de uma proposição básica e é construída da mesma maneira.
Modus ponens
- O modus ponens é uma das proposições lógicas mais antigas e mostra que, se A é verdadeiro e A implica B, então B também é verdadeiro.
Verdades autoevidentes
- Uma verdade autoevidente é uma proposição sempre verdadeira, e o seu oposto é uma contradição sempre falsa.
- Verdades autoevidentes são usadas como base para esquemas de axiomas/regras de inferência.
Sistema lógico
- Novas proposições podem ser geradas usando esquemas de axiomas/regras de inferência.
- Um sistema lógico é composto por uma pequena coleção desses esquemas/regras.
Conclusão
- Para entender os principais componentes da lógica (axiomas, regras de inferência), é preciso demonstrá-los por meio de uma interpretação específica.
Lógica clássica: interpretação verofuncional
- A lógica clássica se baseia na teoria das Ideias de Platão, e toda proposição é verdadeira ou falsa.
- Os operadores lógicos são representados como funções que recebem valores booleanos como entrada e retornam outros valores booleanos.
Lógica intuicionista: interpretação BHK
- A lógica intuicionista considera a construção de provas e rejeita a dicotomia de que toda proposição é verdadeira ou falsa.
- Na interpretação BHK, dizer que uma proposição é verdadeira significa que existe uma prova dela.
Interpretando a lógica como categoria
- A interpretação BHK oferece uma perspectiva de ordem superior na qual a lógica pode ser interpretada com base na teoria das categorias.
- O isomorfismo Curry-Howard explica a semelhança entre lógica e linguagens de programação.
Teorema do GN⁺
- A lógica é uma parte fundamental da matemática e da ciência e desempenha um papel importante em diversas áreas.
- A lógica clássica e a lógica intuicionista têm fundamentos filosóficos diferentes, e podem levar a resultados distintos conforme a interpretação.
- Os sistemas lógicos são ferramentas poderosas capazes de gerar novas proposições por meio de axiomas e regras de inferência.
- A interpretação da lógica pode ser conectada à teoria das categorias, o que a torna ainda mais interessante por sua semelhança com linguagens de programação.
Ainda não há comentários.