Por que Gauss queria um heptadecágono em sua lápide

 (scientificamerican.com)
1 pontos por GN⁺ 2024-09-18 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp
  • Johann Carl Friedrich Gauss, aos 18 anos, provou a possibilidade de construção do heptadecágono regular, dando uma resposta decisiva a um problema de geometria antiga que perdurava havia mais de 2.000 anos
  • A raiz desse problema estava nas construções com compasso e régua de Euclides, e a questão central era se seria possível construir de fato uma figura usando apenas uma régua sem marcações e um compasso
  • Euclides construiu o triângulo equilátero, o quadrado e o pentágono regulares, além de suas extensões, mas figuras como o heptágono regular e o undecágono regular permaneceram sem solução por muito tempo
  • Em vez de desenhar diretamente a figura, Gauss provou a construtibilidade ao expressar o comprimento necessário para o heptadecágono regular, cosine(2π/17), usando apenas as operações algébricas permitidas
  • Mais tarde, com a demonstração rigorosa de Pierre Wantzel, tornou-se possível distinguir quais polígonos regulares são construtíveis e quais são impossíveis

A figura que Gauss queria deixar em sua lápide

  • Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855), entre suas muitas realizações matemáticas, tinha especial orgulho de sua demonstração sobre o heptadecágono regular
  • Aos 18 anos, Gauss resolveu com essa figura um problema clássico que havia bloqueado matemáticos por mais de 2.000 anos
  • Esse problema conecta a geometria antiga, que buscava construir figuras de fato, com a perspectiva moderna de analisar as equações que governam essas figuras

As construções com compasso e régua da Grécia Antiga

  • Na geometria da Grécia Antiga, construção era quase como um jogo rigoroso de formar figuras usando apenas régua sem marcações e compasso
  • Dado dois pontos, o compasso traça um círculo com centro em um deles e passando pelo outro, e a régua serve para traçar a reta que liga dois pontos
  • As duas ferramentas não têm marcações, então não é possível medir diretamente distâncias ou ângulos
  • Essas regras vêm dos Elements de Euclides, no século III a.C.
  • Em vez de assumir a existência de uma figura, Euclides buscava construí-la explicitamente com materiais simples como linhas e círculos

Bissetriz de um segmento e triângulo equilátero

  • Dado dois pontos A e B, se desenharmos um círculo com centro em A passando por B e outro com centro em B passando por A, os dois círculos se encontram em dois pontos
  • Ao ligar essas duas interseções com a régua, obtém-se a reta que divide exatamente ao meio o segmento AB
  • A mesma construção também produz um ângulo reto entre duas retas, algo nada trivial com ferramentas tão limitadas
  • Ligando mais alguns pontos, é possível formar um triângulo equilátero em que todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos têm a mesma medida
    • Cada lado do triângulo equilátero é um raio de círculos de mesmo tamanho, portanto os três lados têm o mesmo comprimento
    • Isso corresponde à primeira proposição do Livro I dos Elements de Euclides

O impasse nas construções de polígonos regulares

  • Entre as figuras que podem ser feitas com compasso e régua, os polígonos regulares ocupam um lugar especial
  • Um polígono é uma figura cercada por lados retos, e um polígono regular tem todos os lados e todos os ângulos iguais
  • Fazer qualquer triângulo é fácil, mas polígonos regulares com simetria perfeita, como o triângulo equilátero, exigem construções mais refinadas
  • Euclides sabia como construir o triângulo, o quadrado e o pentágono regulares
  • Também era possível dobrar o número de lados de um polígono regular já construído
    • O triângulo regular podia ser estendido a hexágonos, dodecágonos etc.
    • O quadrado levava a octógonos, hexadecágonos etc.
    • O pentágono podia ser ampliado para decágonos, icoságonos etc.
  • Euclides também mostrou como “multiplicar” o triângulo regular e o pentágono regular para obter o pentadecágono regular
  • No entanto, o heptágono regular e o undecágono regular continuavam sem resposta quanto à possibilidade de serem construídos apenas com compasso e régua, e essa lacuna permaneceu por 2.000 anos

A virada algébrica de Gauss

  • Até 1796, nenhum novo polígono regular construtível havia sido acrescentado, mas os matemáticos passaram a compreender mais profundamente as próprias construções com compasso e régua
  • Gauss sabia que o problema da construção de polígonos regulares podia ser reduzido ao problema de construir um segmento de determinado comprimento
  • Para construir um heptadecágono regular, basta escolher um ponto A em um círculo unitário e então produzir um ponto B deslocado exatamente 1/17 da circunferência
  • Se o ponto B puder ser construído, o mesmo procedimento pode ser repetido ao longo de toda a circunferência, e então basta ligar os pontos com a régua para obter o heptadecágono regular
  • No fim, a questão central é se é possível desenhar um segmento de comprimento específico x, que em fórmula é x = cosine(2π/17)

Comprimentos construtíveis e as cinco operações

  • Na época de Gauss, já se conhecia um critério para saber quais comprimentos podiam ser construídos com compasso e régua
  • Um comprimento é exatamente construtível quando pode ser expresso a partir de inteiros usando apenas adição, subtração, multiplicação, divisão e raiz quadrada
  • Por exemplo, √(99/5) é construtível porque resulta de aplicar divisão e raiz quadrada a 99 e 5
  • Já π e a raiz cúbica de 2 não podem ser expressos apenas com essas cinco operações e, portanto, não são construtíveis
  • As ações permitidas pelas ferramentas de construção da Grécia Antiga se encaixam nas operações naturais da álgebra moderna
  • Isso acontece porque as equações de retas e círculos usam apenas essas cinco operações, uma perspectiva que seria difícil de imaginar para o Euclides pré-algébrico

A prova do heptadecágono regular e sua classificação

  • Gauss na verdade não desenhou o heptadecágono regular
  • Em vez disso, ao expressar o comprimento necessário para ele, cosine(2π/17), usando apenas as cinco operações algébricas permitidas por compasso e régua, provou que a figura é construtível em princípio
  • A expressão é complexa e mostra quanto esforço o jovem Gauss dedicou ao problema
  • Indo além, Gauss também caracterizou quais polígonos regulares são construtíveis e quais são impossíveis
  • Em 1837, Pierre Wantzel forneceu uma demonstração rigorosa de que a classificação de Gauss não deixava casos de fora
  • Como resultado, o heptágono regular e o undecágono regular não podem ser construídos apenas com compasso e régua, e há infinitamente muitas outras figuras impossíveis pelo mesmo método

Não ficou na lápide, mas ficou no monumento

  • Segundo o biógrafo G. Waldo Dunnington, Gauss tinha muito orgulho de ter resolvido esse problema milenar e disse a um amigo que queria marcar um heptadecágono regular em sua lápide
  • Na lápide real, porém, o heptadecágono regular não foi gravado
  • Em vez disso, na parte de trás do monumento em Brunswick, na Alemanha, cidade natal de Gauss, foi gravada uma estrela de 17 pontas
  • O escultor escolheu a forma de estrela porque acreditava que as pessoas não conseguiriam distinguir um heptadecágono regular de um círculo

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1 comentários

 
GN⁺ 2024-09-18
Comentários do Hacker News

  • Já se passaram 200 anos desde Gauss, e mesmo com o grande avanço da matemática, ainda não se sabe qual é, em teoria, o maior polígono regular de número ímpar de lados construtível no estilo euclidiano
    Para quem tiver curiosidade, a resposta se reduz a combinações de múltiplos de primos de Fermat, e ninguém sabe se existem primos de Fermat além de 3, 5, 17, 257 e 65537. Referência: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

  • Há uma excelente série de 2 vídeos no YouTube sobre essa demonstração
    O problema dos polígonos regulares construtíveis e uma visão geral da prova: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
    Explicação completa da prova: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw

    • Aprendi a construção dessa figura em um vídeo do Numberphile há alguns anos: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8
      No fim aparece a construção usada no lugar do número do prédio na fachada do Mathematical Sciences Research Institute (MSRI), no endereço UC Berkeley 17 Gauss Way

  • Acho interessante a parte que diz que “somente comprimentos que podem ser expressos aplicando adição, subtração, multiplicação, divisão e raiz quadrada a números inteiros podem ser construídos com exatidão”
    A ideia é que a régua e o compasso dos gregos antigos correspondem exatamente às operações naturais da álgebra moderna, +, –, ×, /, √, porque as equações de retas e círculos usam apenas essas cinco operações. Relacionado: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

    • Fico curioso sobre por que apenas a raiz quadrada tem esse status especial, e não outras potências fracionárias

  • Recomendo que qualquer pessoa faça algumas construções com compasso e régua por conta própria. Pode ser uma atividade bastante satisfatória e meditativa
    Oliver Byrne fez uma edição colorida incrivelmente bonita dos Elements de Euclides, e ela pode ser vista online. Basta pegar caneta, papel, um barbante para desenhar círculos e a borda de um livro para traçar linhas retas, e ir da Proposition 1 em diante até onde quiser: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
    Também existe uma reedição física do Elements de Byrne (ISBN:9783836577380). Foi uma das melhores adições que já fiz à minha estante, e é realmente linda

  • Fico pensando se realmente há uma estrela de 17 pontas no verso da lápide de Gauss. Não consigo encontrar fotos disso online

  • O que torna esse resultado interessante é mostrar a álgebra, desenvolvida ao longo de séculos, voltando para melhorar a geometria euclidiana
    Sem conhecimento prévio, acho que eu nem perceberia por que esse problema é interessante. A motivação é bastante parecida com a do Langlands program

  • Lendo a maior parte dos textos de matemática, pode parecer que os matemáticos medievais não contribuíram em nada
    Estranhamente, os autores nunca deixam de mencionar a contribuição de matemáticos gregos como Euclides, mas neste caso pulam direto para um matemático do pós-Renascimento como Gauss e ignoram, de forma cômoda e ignorante, quase mil anos

    • Esse fenômeno pode ser explicado, ao menos em parte, pela queda do Império Romano do Ocidente e pelo relativo caos posterior no centro-oeste da Europa
      Durante cerca de mil anos nesse intervalo, matemáticos da Índia e do Oriente Médio lideraram a área, e nomes como Āryabhaṭa, Brahmagupta e Al-Khwarizmi fizeram contribuições importantes para a compreensão moderna da matemática

  • Muito interessante, mas queria perguntar a alguém que conheça melhor a prova de Gauss: por que o pentágono pode ser construído com régua e compasso, mas o heptágono e o undecágono não? Por que alguns números primos funcionam e outros não?

  • No caso de 17, Gauss descobriu que cos(360°/17) pode ser expresso usando apenas operações básicas: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
    Mais tarde, ele provou que todo polígono regular de n lados com n=2^k*p_1…*p_r, onde p_i são primos de Fermat (primos da forma 2^(2^m)+1; atualmente, só se conhecem 3, 5, 17, 257 e 65537), é construtível. A recíproca, isto é, que todos os demais valores de n são impossíveis de construir, só foi provada alguns anos depois. Basta procurar pelo “teorema de Gauss-Wantzel”. Só dei uma passada pela prova, mas parece que ela generaliza com teoria de Galois a ideia de construir o cos de um ângulo. Edição: ou veja também https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

    • Dá para fazer uma explicação bem rápida e incompleta, mas é preciso confiar e seguir o raciocínio
      Nos números complexos, os vértices de um pentágono satisfazem z^5-1=0. Isso pode ser fatorado como (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0, e a parte difícil é resolver z^4+z^3+z^2+z+1=0
      Essa equação não se fatoriza mais e tem grau 4. As soluções têm uma certa propriedade ligada ao grau da equação, e o ponto importante é esse 4
      Com compasso e régua, só se resolvem equações de grau 2, isto é, coisas equivalentes a tirar raiz quadrada. Repetindo isso, dá para resolver alguns casos de equações de grau 4. Então, com alguns truques, dá para resolver a equação e desenhar o pentágono
      No caso de 17, a equação é z^16+z^15+...+z+1=0. Então a propriedade é 16, e é preciso usar raiz quadrada várias vezes. A cada etapa, a propriedade das soluções dobra: 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16. Nas fórmulas mais abaixo no texto, aparecem muitas raízes quadradas aninhadas e repetidas
      No caso de 7, a equação é z^6+z^5+...+z+1=0. A propriedade das soluções é 6. Com raízes quadradas, só dá para dobrar a propriedade, indo 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ..., mas nunca se chega a soluções com propriedade 6
      Há mais detalhes técnicos. Por exemplo, para desenhar o heptadecágono é possível resolver algumas equações de grau 16, mas não todas as equações de grau 16
    • Tem relação com os primos de Fermat
    • Se tiver interesse e tempo, vale ver os dois vídeos relacionados do canal Another Roof[1] no YouTube
      Como ele dedica tempo a explicar também as partes fáceis para que o público geral consiga entender o básico, não se assuste se os vídeos forem bem longos
      [1]: https://youtube.com/@anotherroof
    • No vídeo que postei em outro comentário, isso é explicado de forma bem acessível: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM

  • O heptágono nunca me pareceu um problema desse tipo
    Não dá para fazer exatamente, mas dá para chegar à precisão desejada. Pelo menos até bater no limite de precisão do compasso e da régua
    1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768..., então logo se chega ao limite da precisão humana
    De modo geral, 1/(2^n - 1) pode ser expresso como uma soma infinita, ou uma série que se aproxima infinitamente. 1/(2^n - 1) = x é a soma de 1/(2 ^ (x * n)) para x indo de 1 ao infinito. E todo mundo sabe dividir o comprimento de um arco em frações de potências de 2
    Começando com um círculo completo, pega-se o primeiro pedaço; depois divide-se de novo o segundo pedaço e pega-se o primeiro; e assim vai, somando pedaços cada vez menores até ficar suficientemente perto de 1/7. Mede-se esse comprimento com o compasso, divide-se o restante de novo, e se repetir o processo o bastante para que, ao marcar mais 6 vezes, quase coincida com o ponto inicial, não há muito com que se preocupar
    Ainda assim, até chegar a uma precisão de 1/4096 com compasso e régua já parece impressionante, e 1/32768 ninguém conseguiria de jeito nenhum

    • Isso também me lembra outra afirmação que considero errada pelo motivo oposto
      A ideia de que a curva de Hilbert cobre um quadrado inteiro, sendo que o quadrado contém todos os pontos limitados da forma [real, real]. Mas, na construção racional de um gerador recursivo de vértices, em cada par de coordenadas um dos dois valores necessariamente tem de ser racional. Só que com denominadores da forma potência inteira infinita de 2
      Mesmo que cobrisse todo [real, racional] + [racional, real], o que na verdade nem acontece, ainda assim não alcançaria todo [real, real]
      Na prática, 100% do plano não está sobre a curva e, ao mesmo tempo, 100% do plano está a uma distância infinitesimal da curva
      Acho isso mais interessante do que dizer que o todo está contido nela. Porque na prática não está
    • Dá para fazer assim, mas o que se quer aqui é uma construção exata
      Se você permitir séries infinitas, pode aproximar qualquer coisa com séries de Taylor
    • O heptágono não é “construtível”, mas é fácil de desenhar. Brinquei com isso na faculdade
      Basta encontrar um segmento de comprimento 2*sin(π/7) vezes o raio. O valor é 0.86777 e, ao quadrado, dá 0.7530, bem perto de 0.75, isto é, 1 - (1/2)^2
      Então, se você construir um triângulo com altura igual à metade do raio e hipotenusa igual ao raio, o outro lado dará 0.8660. A diferença para o valor real fica abaixo de 0.001, então é muito mais preciso do que qualquer coisa que eu conseguiria desenhar com régua e compasso