Por que esse grande matemático queria um polígono de 17 lados em sua lápide
- O matemático Gauss deixou muitas realizações matemáticas
- Entre elas, queria gravar um "heptadecágono regular" em sua lápide
- Aos 18 anos, Gauss resolveu com o heptadecágono regular um problema que atormentou os matemáticos por 2.000 anos
Geometria da Grécia Antiga
- Os gregos antigos eram excelentes em geometria e davam ênfase à construção de figuras usando compasso e régua
- O compasso é uma ferramenta para desenhar círculos com centro em dois pontos, e a régua é uma ferramenta para traçar linhas retas
- Essas ferramentas não conseguem medir distâncias nem ângulos
- Esse tipo de construção geométrica teve origem nos Elementos de Euclides
- Euclides tentou derivar toda a geometria a partir de um conjunto mínimo de suposições
Exemplos de construção geométrica
- Como encontrar o ponto médio de um segmento de reta dado
- Usa-se o compasso para desenhar círculos com centro em dois pontos
- Se você ligar com a régua os pontos em que os dois círculos se cruzam, pode encontrar o ponto médio
- Essa construção não apenas divide o segmento ao meio, como também forma um ângulo reto
- Ligando mais alguns pontos, é possível construir um triângulo equilátero
Obstáculos
- Um polígono regular é uma figura em que todos os lados e ângulos são iguais
- Euclides descobriu como construir o triângulo equilátero, o quadrado e o pentágono regular
- Também encontrou uma forma de dobrar o número de lados de um polígono regular
- No entanto, não foi possível construir o heptágono regular nem o hendecágono regular
- Esse problema permaneceu sem solução por 2.000 anos
A salvação da matemática no século XVIII
- Até 1796, nenhum novo polígono regular havia sido descoberto
- Gauss reduziu o problema de construir polígonos regulares ao problema de construir segmentos de reta com comprimentos específicos
- Para construir um heptadecágono regular, é preciso construir um segmento de reta com um comprimento específico
- Esse comprimento é expresso como x = cos(2π/17)
- Comprimentos que podem ser construídos com compasso e régua são aqueles que podem ser expressos por adição, subtração, multiplicação, divisão e raiz quadrada
- Gauss provou que o heptadecágono regular é construtível
- Gauss também esclareceu completamente quais polígonos regulares são construtíveis e quais não são
- Ele provou que o heptágono regular e o hendecágono regular não podem ser construídos
O legado de Gauss
- Gauss queria gravar um heptadecágono regular em sua lápide
- Porém, isso não acabou sendo feito
- No memorial de Gauss em Braunschweig, na Alemanha, há uma estrela de 17 pontas gravada
Resumo do GN⁺
- Aos 18 anos, Gauss resolveu com o heptadecágono regular um problema que permaneceu sem solução por 2.000 anos
- O caso mostra a relação entre os métodos de construção geométrica da Grécia Antiga e a álgebra moderna
- A realização de Gauss definiu os limites das figuras que podem ser construídas com compasso e régua
- O tema desperta curiosidade matemática e ajuda a entender a profunda conexão entre geometria e álgebra
- Projetos com funções semelhantes incluem Wolfram Alpha e GeoGebra
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