É mais provável que a maior raiz de um polinômio aleatório real seja real do que complexa

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1 pontos por GN⁺ 2024-05-12 | 1 comentários | Compartilhar no WhatsApp

A maior raiz de um polinômio aleatório tem maior probabilidade de ser real do que complexa?

O número de raízes reais de um polinômio aleatório com coeficientes reais é muito menor do que o número de raízes complexas
- Assumindo, porém, que os coeficientes sejam independentes e uniformemente aleatórios no intervalo (-1, 1)
- O número de raízes reais de um polinômio de grau n é assintoticamente (2 log n) / π + o(1), e o número de raízes complexas é aproximadamente n - (2 log n) / π
A maior (ou menor) raiz de um polinômio é definida como a raiz com o maior (ou menor) valor absoluto
Apesar de as raízes reais serem exponencialmente menos numerosas que as complexas, os dados experimentais indicam que:
- a probabilidade de a maior (ou menor) raiz ser real é maior do que a probabilidade de ela ser complexa
- essa probabilidade diminui para um valor próximo de 1/2 quando n tende ao infinito
Isso vai contra a intuição, já que, embora as raízes reais sejam muito menos numerosas que as complexas, elas parecem ter maior probabilidade de incluir tanto a maior quanto a menor raiz

A probabilidade de a maior (ou menor) raiz de um polinômio de grau n ser real converge (para um valor próximo de 1/2 quando n tende ao infinito)?

Até o momento, parece que a afirmação de que a probabilidade de a maior/menor raiz ser real converge para 1/2 ainda é uma conjectura não provada. Parece ser necessária uma demonstração rigorosa disso
Sabe-se que as raízes de polinômios aleatórios se distribuem com ângulos uniformes ao redor do círculo unitário e que há uma repulsão bastante local entre as raízes. No entanto, enquanto as raízes complexas podem se espalhar ao redor do círculo unitário, as raízes reais, devido à repulsão entre si, acabam sendo forçadas a valores menores ou maiores
Mesmo que o número de raízes reais seja apenas logarítmico em comparação com o número de raízes complexas, ainda se pode considerar que há uma quantidade significativa de raízes reais
Sob essa perspectiva, não é tão surpreendente que a menor raiz possa ser real
Parece necessário um estudo mais profundo da distribuição das raízes de polinômios aleatórios com coeficientes reais. Em especial, é necessária uma demonstração rigorosa do valor limite da probabilidade de a maior/menor raiz ser real.

GN⁺ 2024-05-12

É surpreendente que a probabilidade da maior raiz real fique entre o acaso e 1/phi
Números primos não são aleatórios, mas surgem recursivamente a partir dos primos anteriores, então espera-se que padrões naturais de crescimento reflitam e e phi
O R tem suporte embutido para esse tipo de experimento numérico
```
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
```
Foram levantadas perguntas adicionais, como a definição de aleatoriedade e se a distinção entre graus ímpares e pares foi considerada
Supõe-se que, ao escalar os coeficientes, será gerada uma distribuição não uniforme para todos os coeficientes, exceto o maior

A pessoa gostava de matemática na universidade, mas fez pouco disso nos dois anos após a formatura e precisa aprender novamente
Foi sugerido procurar ideias divertidas como Project Euler ou voltar a resolver exercícios de livros didáticos

Se escolhermos raízes aleatoriamente no plano complexo, quase nunca obteremos um polinômio com coeficientes reais, então intuitivamente parece mais plausível que raízes reais apareçam com maior frequência
Houve uma tentativa de abordagem intuitiva usando simetria de reflexão, junto com reflexões sobre seus limites
Não há fórmula para polinômios de grau 5 ou superior, então distinguir entre raízes reais e complexas é difícil
Foi levantada a dúvida sobre se os coeficientes do polinômio aleatório são reais ou complexos
Como o plano complexo é muito maior que a reta real, esperava-se, de forma surpreendente, que a probabilidade de raízes reais fosse próxima de 0