- O mapa polinomial apresentado como criado por Claude Fable tem determinante Jacobiano constante
-2e envia três pontos distintos para o mesmo ponto, tornando-se um contraexemplo para a conjectura de Jacobian - Esse mapa é definido em
ℂ³ → ℂ³, e seus três componentes são todos formados por polinômios emx,yez - Os pontos distintos
(0, 0, -1/4),(1, -3/2, 13/2)e(-1, 3/2, 13/2)são todos mapeados para(-1/4, 0, 0), portanto a função não é injetiva - O determinante Jacobiano e os valores da função em dois dos pontos de entrada podem ser verificados nos cálculos vinculados do Wolfram|Alpha
- Como tem determinante Jacobiano constante e diferente de zero, mas ainda assim não satisfaz a injetividade, a expressão apresentada refuta a conjectura de Jacobian em
ℂ³
Mapa polinomial e determinante Jacobiano
- O mapa
ℂ³ → ℂ³é composto pelos três componentes polinomiais a seguir- Primeiro componente:
(1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy) - Segundo componente:
y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy) - Terceiro componente:
2x - 3x^2y - x^3z
- Primeiro componente:
- O determinante Jacobiano desse mapa é
-2 - O valor do determinante pode ser verificado neste cálculo do Wolfram|Alpha
Três pontos de entrada que quebram a injetividade
- Os três pontos a seguir são distintos, mas todos são mapeados para
(-1/4, 0, 0)(0, 0, -1/4)(1, -3/2, 13/2)(-1, 3/2, 13/2)
- Os valores da função no primeiro e no segundo ponto de entrada também podem ser verificados neste cálculo do Wolfram|Alpha
- Portanto, esse mapa polinomial não é injetivo e, junto da condição de ter determinante Jacobiano constante e diferente de zero, torna-se um contraexemplo para a conjectura de Jacobian
1 comentários
Comentários do Hacker News
Há mais de 10 anos, conheci um pós-doutorando que acreditava ter encontrado algo próximo de um contraexemplo para a conjectura jacobiana. Ele e um colega estavam fazendo força bruta em polinômios com cerca de 16 variáveis, cada termo com 80 a 700 monômios, usando árvores binárias para o mapeamento dos coeficientes
Na época, esperava-se que o limite inferior de (\max(\deg(P),\deg(Q))) de um contraexemplo ((P,Q)) subisse até 200, então é difícil acreditar que o Claude Fable tenha encontrado um contraexemplo de grau 7; realmente parece uma nova era
O notável matemático Yitang Zhang dedicou 7 anos para provar essa conjectura. Seu orientador, Moh, escreveu que Zhang “falhou miseravelmente” em provar a conjectura jacobiana, que “não publicou um único artigo em geometria algébrica” depois de sair de Purdue, e que “desperdiçou 7 anos da própria vida e o meu tempo”
https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang
Só o fato de um documento assim realmente existir já é surpreendente
Um caso raro em que colocar uma informação revolucionária em um LLM faz com que o próprio LLM entre em confusão mental. Foi bem impressionante ver o Claude Code tentar ter 100% de certeza, verificando de sete maneiras diferentes, e depois ficar chocado
Então a pessoa continua desconfiando que deixou algo passar, repete a verificação de várias formas e só depois de quase desmoronar é que levanta publicamente, com cautela, a possibilidade de um novo avanço
A vantagem dessa arrumação matemática é que agora ninguém mais precisa desperdiçar tempo tentando provar que isso é verdade. Seria bom se, na próxima, um LLM resolvesse a conjectura de Collatz e poupasse a enorme quantidade de anos-homem despejada por vítimas que nem perceberam
Ao enfrentar problemas difíceis, mesmo que se fracasse, é possível compreender mais profundamente vários resultados e ferramentas e aplicá-los a outros problemas, então isso não é desperdício de tempo. Casos extremos de dedicar anos a um único problema são exceções
Entendo a discussão constante, porque realmente há problemas em usar LLMs para gerar em massa código ou provas de qualidade duvidosa. Mas, na busca por contraexemplos, a força bruta já é comum, então usar LLMs como uma forma mais avançada de força bruta parece uma abordagem perfeita, e é difícil entender por que há tanta hostilidade
Nos próximos anos, a compaixão será extremamente importante, e haverá sofrimento tanto interno quanto externo
Faz meses que estou fazendo vibe coding de matemática com IA, e isso é surpreendentemente fácil. A parte difícil é verificar diretamente os resultados e confirmar sua validade; com uma pequena descoberta, refutei uma conjectura e escrevi meu primeiro artigo
As descobertas seguintes são consideráveis nas áreas de topologia quântica e física, então estou me preparando para publicá-las com uma revisão muito rigorosa. O tempo gasto na verificação foi maior do que o da própria descoberta
Se você se interessa por teoria dos números, aqui está meu primeiro artigo: https://arxiv.org/abs/2607.09793
A capacidade de formular o problema e sugerir abordagens que eu não havia considerado é impressionante, mas a capacidade de interpretar os resultados foi bem pior
Como quem publicou trabalha na Anthropic, é bem possível que tenha tido acesso interno ao Fable de próxima geração. Os modelos internos são absurdamente fortes em matemática e provavelmente vão bater novos recordes de desempenho matemático nos benchmarks que sairão em breve
Talvez seja por isso que haja relutância em divulgar o prompt real e o registro de raciocínio. É possível que isso esteja coberto por acordo de confidencialidade até o lançamento oficial do modelo
Parece ter dado um salto grande demais na conclusão. Como o Sol também consegue encontrar o mesmo contraexemplo de forma independente, não há motivo para concluir que existe um Fable 6 que supera o benchmark de forma esmagadora
[1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249
Surpreende que as pessoas não estejam perguntando: como o Fable encontrou esse contraexemplo? Fico curioso se ele conjecturou várias famílias de polinômios e depois procurou soluções possíveis em cada família, se fez uma busca esperta, ou se foi por algum outro método
A fonte é esta: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
Em resumo, na literatura existente há um contraexemplo incorreto que funciona em quase todos os pontos, exceto por um polo. Parece que o Fable tomou esse polinômio como base e o estendeu para remover o polo, preservando a estrutura
A questão que ainda resta é se a ideia da prova realmente demonstra a proposição desejada e como o resultado obtido deve ser interpretado. Fora isso, todo o conteúdo dentro do código verificado pelo kernel é logicamente consistente
O fato de esse contraexemplo ser tão pequeno mostra bem uma área em que muitos resultados interessantes devem ser descobertos no futuro. Não porque o problema fosse extremamente difícil, mas porque era difícil ampliar a inteligência, e antes de o computador poder assumir esse papel havia pouca gente investigando esse tipo de problema a sério
Estou muito animado com o impacto que esse efeito pode ter na ciência, na medicina e em outras áreas
Como não entendo muito de matemática, acho que minha compreensão de uma criança de 5 anos talvez ajude ou possa ser corrigida. Essa conjectura quer dizer que sempre dá para inverter um certo processo e descobrir a entrada original, e esta prova mostra que várias entradas produzem a mesma saída
Portanto, não dá para reconstruir a entrada a partir da saída, então a conjectura é falsa
Talvez isso já seja uma explicação de nível de 7 anos
Aqui, “concreto” significa que pode ser expresso como uma string finita