- O texto fornecido não trata de GPT-5.6 nem de otimização convexa, mas sim de um teorema da teoria dos grupos que classifica todos os grupos simples finitos em 18 famílias infinitas e 26 grupos esporádicos
- Grupos simples finitos são os blocos fundamentais dos grupos finitos, como os números primos são para os inteiros, mas a existência de grupos não isomorfos com a mesma série de composição significa que os componentes, sozinhos, não determinam unicamente o grupo original
- A prova da classificação é composta por centenas de artigos e dezenas de milhares de páginas, publicados principalmente entre 1955 e 2004 por cerca de 100 autores; a parte faltante dos grupos quasithin foi provada por Aschbacher e Smith em 1.221 páginas, e a conclusão foi anunciada em 2004
- A prova avança tratando primeiro grupos com pequeno 2-rank, depois dividindo o restante em grupos de tipo componente e de característica 2, verificando a existência e a unicidade de cada grupo simples candidato
- Uma prova de segunda geração continua sendo publicada para simplificar e unificar a prova original excessivamente longa, e essa classificação é usada em algoritmos teóricos para isomorfismo de grafos e em vários resultados de teoria dos grupos e grupos de permutação
Classificação e papel dos grupos simples finitos
- A classificação dos grupos simples finitos estabelece que todo grupo simples finito, a menos de isomorfismo, é um dos seguintes:
- um grupo cíclico de ordem prima
- um grupo alternado de grau pelo menos 5
- um grupo simples de tipo de Lie em uma das 16 famílias infinitas
- um dos 26 grupos esporádicos
- Juntando tudo, isso dá 18 famílias infinitas e 26 exceções
- O grupo de Tits às vezes é incluído entre os esporádicos por não ser estritamente um grupo de tipo de Lie; nessa convenção, os esporádicos passam a ser 27
- Grupos simples são os blocos fundamentais dos grupos finitos no sentido refinado pelo teorema de Jordan–Hölder
- Ao contrário da fatoração em primos dos inteiros, uma mesma série de composição pode dar origem a vários grupos não isomorfos, então a solução do problema de extensão não é única
- Problemas sobre grupos finitos ou ações de grupos finitos podem ser reduzidos a verificar cada família de grupos simples e cada grupo esporádico
Escala da prova e conclusão
- A prova completa é formada por centenas de artigos e dezenas de milhares de páginas escritos por cerca de 100 autores, publicados principalmente entre 1955 e 2004
- Daniel Gorenstein anunciou em 1983 que a classificação estava completa, mas isso foi prematuro porque ele recebeu informação incorreta sobre a prova dos grupos quasithin
- Depois que Michael Aschbacher e Stephen D. Smith provaram o caso quasithin que faltava em 1.221 páginas, Aschbacher anunciou a conclusão em 2004
- Em 2008, Harada e Solomon completaram um caso de componente padrão que havia ficado de fora por causa de um erro no cálculo do multiplicador de Schur do grupo de Mathieu M22
- Gorenstein, Richard Lyons e Ronald Solomon publicaram gradualmente uma versão simplificada e corrigida da prova
Grandes divisões da prova
- Os dois volumes de Gorenstein fazem um panorama das partes de baixo rank e característica ímpar, enquanto Aschbacher, Lyons, Smith e outros tratam no terceiro volume do caso restante de característica 2
- A classificação completa tem a estrutura de tratar grupos com pequeno 2-rank, grupos de tipo componente e grupos de característica 2, e depois verificar a existência e a unicidade de cada candidato
- Se o sectional 2-rank é pelo menos 5, resultados de MacWilliams e o balance theorem permitem dividir os grupos simples em tipo componente ou característica 2
- Em 2-rank baixo, as condições de rank exigidas por resultados como o signalizer functor theorem não são satisfeitas, então essa divisão não pode ser aplicada diretamente
Grupos com pequeno 2-rank
- Grupos de ordem ímpar com 2-rank 0 são todos solúveis, pelo teorema de Feit–Thompson
- No 2-rank 1, o subgrupo de Sylow 2 é cíclico ou quaternioniano generalizado
- Aplicando o transfer map e o teorema de Brauer–Suzuki, não há grupos simples além do grupo cíclico de ordem 2
- No 2-rank 2, o subgrupo de Sylow deve ser diedral, semidiedral, do tipo wreath ou o subgrupo de Sylow 2 de (U_3(4))
- O teorema de Gorenstein–Walter obtém (L_2(q)) e (A_7) no primeiro caso
- O teorema de Alperin–Brauer–Gorenstein obtém (L_3(q)), (U_3(q)) e (M_{11}) nos dois casos seguintes
- Lyons mostrou que a única possibilidade simples no último caso é (U_3(4))
- Grupos com sectional 2-rank no máximo 4 são classificados pelo teorema de Gorenstein–Harada
- Em particular, a classificação para rank no máximo 2 depende fortemente da teoria de caracteres ordinários e modulares, que quase não é usada diretamente em outras partes da classificação
Grupos de tipo componente
- Se, para o centralizador (C) de uma involução, o quociente (C/O(C)) tem um componente, o grupo é classificado como de tipo componente
- (O(C)) é o maior subgrupo normal de ordem ímpar de (C)
- Os principais alvos são grupos de tipo de Lie de rank alto em característica ímpar, grupos alternados e alguns esporádicos
- O B-theorem mostra que todo componente de (C/O(C)) é a imagem de um componente de (C), removendo o obstáculo criado pelo core das involuções
- Assume-se por indução que grupos quasisimples menores que aparecem como componentes de centralizadores já são conhecidos, e então investigam-se os grupos simples possíveis para cada extensão central conhecida de grupo simples finito
- Além dos 26 esporádicos e das 16 famílias de tipo de Lie, também é preciso tratar separadamente comportamentos excepcionais em corpos pequenos ou ranks baixos e as diferenças entre característica par e ímpar
Grupos de característica 2
- Um grupo é de característica 2 se, para todo subgrupo 2-local (Y), o subgrupo de Fitting generalizado (F^*(Y)) for um 2-grupo
- Em geral são grupos de tipo de Lie sobre corpos de característica 2, mas também incluem alguns grupos alternados, esporádicos e grupos de característica ímpar
- O rank relevante é o maior rank de um subgrupo abeliano ímpar que normaliza um 2-subgrupo não trivial
- Em grupos de tipo de Lie de característica 2, isso costuma coincidir com o rank da subálgebra de Cartan, mas nem sempre
- Os thin groups de rank 1 foram classificados por Aschbacher, e os grupos quasithin de rank 2 por Aschbacher e Smith
- Para rank pelo menos 3, o trichotomy theorem divide em três classes
- O tipo GF(2) foi classificado principalmente por Timmesfeld
- O tipo padrão para primos ímpares foi tratado pelo teorema de Gilman–Griess e trabalhos posteriores
- No tipo unicidade, não há grupos simples, segundo resultados de Aschbacher
- Em geral, os resultados de rank alto acabam se reduzindo principalmente a grupos de tipo de Lie de rank 3 ou 4 ou maior sobre corpos de característica 2
Existência e unicidade
- Depois que a classificação estrutural caracteriza cada candidato, ainda é preciso provar separadamente que um grupo simples com essas propriedades realmente existe e que é único
- A primeira prova de existência e unicidade do grupo Monster sozinha tinha cerca de 200 páginas
- A identificação dos grupos de Ree por Thompson e Bombieri foi uma das partes mais difíceis de toda a classificação
- Muitas provas de existência dos grupos esporádicos e algumas provas de unicidade usaram inicialmente cálculo computacional, mas a maioria acabou substituída por provas manuais mais curtas
O programa de 16 etapas de Gorenstein
- Em 1972, Gorenstein publicou um programa para completar a classificação, e a classificação final seguiu em linhas gerais esse esboço
- grupos de baixo 2-rank
- semissimplesidade da 2-layer
- tipo padrão em característica ímpar
- classificação dos grupos do tipo ímpar pelo classical involution theorem de Aschbacher
- tipo quase padrão
- involução central
- classificação dos grupos alternados
- alguns grupos esporádicos
- thin groups, classificados por Aschbacher em 1978
- grupos com subgrupos fortemente (p)-embedded para um primo ímpar (p)
- o método de signalizer functor para primos ímpares, resolvido por McBride em 1982
- grupos de tipo característica (p), tratados por Aschbacher
- grupos quasithin, completados por Aschbacher e Smith em 2004
- grupos de baixo 2-local 3-rank
- centralizadores de 3-elementos de tipo padrão
- classificação dos grupos simples de característica 2 usando o teorema de Gilman–Griess
Desenvolvimento histórico
- Em 1832, Galois introduziu subgrupos normais e encontrou os grupos simples (A_n) e (PSL_2(\mathbf F_p)), e Cayley definiu grupos abstratos em 1854
- Mathieu introduziu entre 1861 e 1873 os cinco grupos de Mathieu, os primeiros grupos simples esporádicos, e Hölder propôs em 1892 a classificação dos grupos simples finitos como problema
- Na primeira metade do século XX, os teoremas de Sylow, a teoria de caracteres, os caracteres modulares, o subgrupo de Fitting e os grupos clássicos sobre corpos finitos formaram a base
- Em 1955, o teorema de Brauer–Fowler mostrou que o número de grupos simples finitos com um dado centralizador de involução é finito, impulsionando a abordagem baseada em centralizadores
- Chevalley, Steinberg, Suzuki e Ree introduziram entre 1955 e 1961 várias novas famílias de grupos simples de tipo de Lie
- Feit e Thompson provaram em 1963 o teorema da ordem ímpar, e nas décadas de 1960 e 1970 foram concluídos vários teoremas de classificação usando a estrutura dos subgrupos de Sylow 2 e involuções
- Depois da descoberta do grupo de Janko J1 em 1966, muitos grupos esporádicos foram encontrados, e Janko introduziu em 1976 o J4, o último grupo esporádico descoberto
- A descoberta do baby monster e do monster em 1973 levou à descoberta do grupo de Thompson e do grupo de Harada–Norton
- Em 1974, o teorema de Gorenstein–Harada dividiu os grupos simples restantes em tipo componente e característica 2
- Após o classical involution theorem de 1977, passou-se a considerar que a conclusão da classificação estava próxima, pois já era possível tratar a maioria dos grupos simples
- Em 1981, Bombieri concluiu a caracterização dos grupos de Ree, e em 1982 Griess construiu o grupo Monster manualmente
- Em 1983, o trichotomy theorem dividiu os grupos de característica 2 de rank alto em três subcasos, mas o anúncio de conclusão feito naquele ano ainda deixava a lacuna dos grupos quasithin
- Em 1985, o Atlas of Finite Groups reuniu informações básicas sobre 93 grupos simples finitos
- Em 2012, Gonthier e colaboradores publicaram uma verificação por computador do teorema de Feit–Thompson usando o Rocq, então chamado Coq
Provas de segunda e terceira geração
- As provas até mais ou menos 1985 são chamadas de primeira geração, e, por causa de seu tamanho extremo, passou-se a buscar uma prova de classificação de segunda geração mais simples
- Em 2023, Gorenstein, Lyons, Solomon e Inna Capdeboscq haviam publicado 10 volumes
- Solomon estimou em 2012 que ainda seriam necessários cerca de 5 volumes, mas avaliou que o progresso era lento
- A nova prova era estimada em cerca de 5.000 páginas, mas, incluindo o volume 9 e os escritos de Aschbacher–Smith, esse tamanho já havia sido alcançado, e mais volumes estavam em preparação
- A simplificação é possível porque a lista final da classificação já é conhecida, então as técnicas podem ser escolhidas de acordo com o escopo necessário
- Na primeira geração, nem mesmo o número de grupos esporádicos era conhecido, e alguns grupos de Janko foram descobertos durante o próprio processo de prova
- Teoremas independentes de casos especiais podem ser integrados em uma prova organizada, adiando a análise de casos até que hipóteses mais fortes possam ser aplicadas
- Identificações redundantes de famílias podem ser eliminadas com novas divisões de casos
- Também houve acúmulo de experiência em teoria dos grupos finitos e de novas técnicas
- A desvantagem é que teoremas individuais existentes, relativamente curtos, passam a depender da classificação completa
- Aschbacher chamou os trabalhos de Meierfrankenfeld, Stellmacher e Stroth de programa de terceira geração, cujo objetivo inclui tratar de forma unificada todos os grupos de característica 2 pelo método de amalgam
Por que uma prova curta é difícil
- Por causa dos 26 grupos esporádicos, qualquer prova provavelmente incluirá muitos casos especiais, e não se conhece uma parametrização limpa e unificada como a classificação de grupos de Lie compactos por diagramas de Dynkin
- Também houve propostas de construir um objeto geométrico sobre o qual o grupo atua e depois classificá-lo
- Na classificação real, buscam-se estruturas geométricas como BN-pairs, mas isso só se torna possível depois de uma longa análise da estrutura dos grupos simples
- A teoria da representação funciona bem em ranks baixos, onde permite controlar subgrupos com grande precisão
- Em ranks altos, ela não conseguiu simplificar a classificação
Resultados que usam a classificação
- Foi usada no avanço dos melhores algoritmos teóricos da época, incluindo o resultado de 1982 de decisão em tempo polinomial para o problema do isomorfismo de grafos com grau limitado
- Foi aplicada à conjectura de Schreier, ao signalizer functor theorem, à conjectura B e ao teorema de Schur–Zassenhaus para todos os grupos
- O último resultado não requer a classificação completa, apenas o teorema de Feit–Thompson
- Todo grupo de permutação transitivo não trivial sobre um conjunto finito tem um elemento sem ponto fixo de ordem potência de primo
- Também foi usada na classificação de grupos de permutação 2-transitivos e de rank 3, na conjectura de Sims e na conjectura de Frobenius sobre o número de soluções de (x^n=1)
- Grupos simples finitos não abelianos são caracterizados por seu grafo de comutação
1 comentários
Comentários no Hacker News
Conheço um pouco dessa área, e esse resultado parece mais de nicho do que a conjectura da cobertura dupla cíclica que a OpenAI provou recentemente, mas ainda assim é claramente uma contribuição substancial
Trata do tempo necessário para resolver o problema de otimização de funções convexas Lipschitz, e a restrição de domínio esférico não é essencial, porque em domínios limitados basta fazer uma mudança de variáveis. O limite superior da complexidade de tempo é fácil de mostrar pelo tempo de execução do algoritmo, mas um limite inferior significativo é muito mais difícil de provar, porque precisa restringir todos os algoritmos
Esta prova aparentemente mostra que a complexidade de tempo inferior é igual à complexidade de um algoritmo já conhecido há 30 anos, e que, para resolver problemas nessa classe de funções, são necessárias Ω(d²) avaliações da função. Se houver um oráculo de gradiente, parece provável que o mínimo de avaliações seja d, já que dá para aproximar o gradiente com d avaliações da função, mas não tenho certeza de quão difícil é provar isso com rigor
Fico curioso se, na pesquisa matemática, eles também treinam resolvendo problemas de baixa dificuldade, depois passam por problemas intermediários e então seguem para problemas em aberto. Também tenho interesse em como isso se compara às mudanças que estão acontecendo com os desenvolvedores juniores no desenvolvimento de software
Pode haver ótimos sêniors que não sabem o que é um miss de cache L1, e os modelos de IA atuais conhecem esse tipo de coisa, mas têm dificuldade para aplicar corretamente sem orientação humana. No setor de energia, por exemplo, no contexto de depuração pode ser preciso priorizar segurança de tempo de execução em vez de segurança operacional, e a IA não consegue julgar isso direito. Se você procura desenvolvedores jovens e com pouca experiência que realmente entendem ciência da computação, é mais provável contratá-los porque são mais baratos
Isso não é um fenômeno exclusivo do software. Estou criando apps corporativos de IA para implantar nos agentes de IA dos funcionários, e descobrimos que só os especialistas centrais para quem todos no time pedem conselho não estão em risco. Até pessoas muito boas no trabalho às vezes ficam atrás da IA. Isso será um enorme desafio para a sociedade, e a IA talvez até substitua especialistas de domínio. Pensando em mim mesmo, que quatro meses atrás teria dito que IA era tudo exagero, é difícil afirmar que isso está muito distante
Para obter um doutorado, é preciso fazer pesquisa original, então desde o início você lida com problemas em aberto. Mas eles não precisam ser revolucionários; a maioria das teses de doutorado, incluindo a minha, está num nível que um pesquisador sênior da mesma subárea conseguiria produzir sem muita dificuldade. Uma boa parte do objetivo de dar pesquisa a pesquisadores juniores é treiná-los para que se tornem sêniors no futuro, e o resultado em si muitas vezes não é tão especial, o que é parecido com o desenvolvimento de software
Olhando para a tendência de evolução das provas com LLM, parece que essa estrutura vai ter de mudar em breve. Ainda bem que não sou eu quem precisa decidir isso, porque não tenho uma boa ideia de como deveria ser, e fico bem preocupado com o futuro da matemática
Soluções de software exigem manutenibilidade e planejamento, e LLMs são fracos nisso. Por isso surge o código mistureba de LLM, que não reaproveita bibliotecas padrão existentes e cria lógica embolada com duplicação e remendos
A menos que seja um caso como o de Grothendieck, que ficou bravo porque Deligne não resolveu as conjecturas de Weil “do jeito certo”, software e matemática são fundamentalmente diferentes nesse aspecto. Há problemas grandes o bastante que já podem ser tratados com a capacidade atual de planejar a longo prazo, então a IA provavelmente ganhará uma Medalha Fields antes de conseguir operar um McDonald’s
Olhando mais de perto, o autor tentou esse problema por um ano com GPT-5.4 e GPT-5.5, colocou todas essas informações no prompt do Sol Pro, e é possível que o Sol Pro também tivesse acesso direto ao histórico das conversas anteriores. Portanto, os 148 minutos alegados são na prática 1 ano + 148 minutos
Além disso, a técnica usada para resolver o problema também parece ter sido incluída no prompt: https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais...
Pelo visto, o autor colocou no prompt a maior parte das abordagens razoáveis que alguém da área pensaria, e também usou o Sol para ajudar a escrever o prompt, fornecendo a ele o prompt e as ideias do CDC, além de uma definição e especificação claras do problema. A classe de funções da solução final, composta pelo máximo de funções afins, também já estava no prompt
No fim, não está claro se o GPT-5.6 realmente preencheu a lacuna só com o prompt, ou se o autor fez praticamente todo o trabalho e depois atribuiu com entusiasmo o mérito ao GPT-5.6
No Reddit corrigiram dizendo que esse trabalho foi feito com Sol Pro, não com Ultra, e fico curioso sobre como entender a diferença entre os dois
Entendo o ChatGPT Pro mais como um sistema multiagente que executa vários LLMs em paralelo e escolhe a melhor resposta, enquanto o Ultra seria algo como o Claude-Code UltraCode, em que um agente principal cria um fluxo de trabalho dinâmico em JavaScript e coordena de forma determinística vários agentes e verificadores adversariais. Isso está mais ou menos certo? E existe alguma fonte que sustente essa interpretação?
Lembro que a prova da conjectura abc apresentada por Mochizuki https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Claimed_proofs foi rejeitada por ser difícil demais para humanos entenderem. Fico me perguntando se esse tipo de prova não é justamente um alvo ideal para LLMs
Ainda assim, LLMs têm grande potencial tanto na verificação informal, lendo rápido e encontrando lacunas, quanto na verificação formal, ao tentar de fato a formalização
É surpreendente que a inteligência agora tenha se tornado barata, eficiente e comum. Como a maior parte das habilidades humanas perde o sentido, precisamos voltar a concentrar nossa energia em valores e princípios centrais
Também não está claro como medir eficiência. É difícil dizer que isso é eficiente olhando só para uma sessão e seu resultado, ignorando a infraestrutura massiva e os custos de treinamento necessários para tornar esse trabalho possível. Os resultados de IA também não tornam inúteis as habilidades humanas, e a grande discussão atual é justamente se, ao terceirizar o pensamento para a IA, estamos perdendo capacidade cognitiva
No geral, é uma demonstração impressionante de capacidade, mas eu não extrapolaria além disso
Mas manter essa separação cria problemas difíceis de superar. Sempre há valores embutidos no sistema conceitual com que entendemos o mundo, e não existe um ponto de vista sem perspectiva nem um sistema de valores fora das condições históricas. A moldura segundo a qual valores precisam ser impostos de fora da inteligência acaba chegando a um beco sem saída, uma espécie de quase-teologia de alinhamento de IA e superinteligência
Em vez de separar rigidamente fatos e valores, inteligência e ética, é melhor focar em aceitar criticamente e ampliar a sabedoria herdada por meio de humanos ou de LLMs
Ainda assim, é bem provável que os LLMs acabem chegando lá, seja adquirindo diretamente raciocínio espacial, seja servindo de interface para modelos que o executem, então o ponto principal continua válido
No fim, isso prova que informação é poder. Se você não sabe para que direção ir, isto é, não conhece o gradiente parcial, vai continuar calculando para sempre
Ao usar IA para resolver problemas avançados de matemática, foi possível despejar uma quantidade enorme de força bruta sobre o problema. Quando for possível aplicar força bruta ao raciocínio matemático, veremos avanços interessantes
Ainda não passou por revisão por pares
É curioso que, até poucos meses atrás, muita gente afirmava com convicção que ninguém se importava com problemas matemáticos ‘não resolvidos’ que a IA resolvesse