A história do papel A4

• Apresenta um método informal de medição para estimar o tamanho de objetos usando uma folha de papel A4
• O papel A4 faz parte da série padrão ISO, que mantém a proporção √2 entre largura e altura e preserva a mesma proporção mesmo quando é cortado ao meio
• Começando no A0 e dividindo sucessivamente pela metade, temos A1, A2, A3 e A4 (21,0×29,7 cm), em uma estrutura sistemática derivada matematicamente de uma área de 1 m²
• O autor usa uma folha A4 para calcular o tamanho de um monitor de 27 polegadas, confirmando na prática cerca de 27,2 polegadas
• É um exemplo que combina raciocínio matemático prático e humor no cotidiano, mostrando a flexibilidade do pensamento técnico

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O método informal de medição com papel A4

• Explica como usar uma folha A4 como ferramenta de medição temporária no dia a dia quando não se tem uma régua
  • Não é rápido nem preciso, mas é simples e dificilmente dá errado
  • Não é adequado para trabalhos de precisão, como instalar armários de cozinha
• O autor não costuma carregar uma régua, mas usa papel A4 quando precisa medir algo com urgência
  • O papel A4 é fácil de encontrar em qualquer lugar e útil em situações em que uma margem razoável de erro é aceitável

A estrutura matemática do papel A4

• O papel A4 se baseia em um projeto geométrico que mantém a mesma proporção (√2) mesmo quando é cortado ao meio
  • Se o lado menor for x e o maior for y, então y/x = √2
  • Ao cortar ao meio, a nova folha continua com a mesma proporção
• O papel A0 tem área de 1 m² e é a referência inicial que satisfaz essa proporção
  • Pelos cálculos, o tamanho do A0 é 0,841 m × 1,189 m
  • A partir daí, dividindo sucessivamente pela metade, temos A1 (59,4×84,1 cm), A2 (42,0×59,4 cm), A3 (29,7×42,0 cm) e A4 (21,0×29,7 cm)
• Em forma geral, o tamanho do papel Aₙ pode ser expresso como 2^(-(2n+1)/4)m × 2^(-(2n−1)/4)m
  • Substituindo n=4, obtemos as dimensões reais do A4: 0,210 m × 0,297 m

Medindo o tamanho de um monitor com papel A4

• O papel A4 é usado em uma situação em que se quer estimar o tamanho de um monitor desligado
  • Na horizontal, duas folhas A4 (29,7 cm×2) e cerca de 1 cm de sobra → aproximadamente 60 cm
  • Na vertical, uma folha A4 (21 cm) e metade de um A5 (14,8 cm), excedendo em cerca de 2 cm → aproximadamente 34 cm
• O resultado dá uma proporção largura/altura de 60/34 ≈ 1,76, próxima da proporção 16:9
  • Aplicando o teorema de Pitágoras, a diagonal é √(60²+34²) ≈ 68,9 cm
  • Convertendo com 1 polegada = 2,54 cm, o resultado é cerca de 27,2 polegadas → compatível com um monitor de 27 polegadas
• As pessoas ao redor ficaram em silêncio, mas o autor ficou satisfeito com sua habilidade de medir com A4

O significado da medição informal

• Mesmo sem instrumentos de precisão, é possível fazer estimativas razoáveis apenas com noções matemáticas básicas e memória de unidades de referência
• Mais importante do que a exatidão absoluta é a confiabilidade suficiente para tomar uma decisão
• Mostra que uma simples folha de papel é o resultado de proporções precisas e de um projeto sistemático
• Claro, “hoje em dia também dá para medir comprimentos com apps de smartphone”

[GN⁺]

Comentários do Hacker News

• O autor apresentou uma dica prática usando a relação entre área e massa
  O papel A0 tem exatamente 1㎡, então o GSM (gramas por metro quadrado) corresponde ao peso de uma folha
  Por exemplo, se for 80gsm, uma folha A0 pesa 80g, e a A4, por ser 1/16, pesa 5g
  Então, se você colocar três folhas A4 (15g) em um envelope (cerca de 5g), pode calcular um total de 20g
  Graças a isso, não é nem preciso pesar a correspondência, e a elegância do sistema métrico aparece nessas coisas

  • O fato de uma folha comum de papel para impressora pesar 5g já foi bastante útil em situações de transação não oficial
  • Graças à distribuição uniforme de massa do papel, isso também pode ser usado para calibrar microbalanças
    No vídeo da Applied Science, "Measure the mass of an eyelash with a DIY microbalance", mostram que 1mm² de papel 80gsm pesa cerca de 80 microgramas
  • Só descobri hoje que GSM significa simplesmente g/㎡. É tão simples que chega a ser engraçado
  • O comprimento dos lados da série ISO A é arredondado em milímetros, então a área real do A0 é 0,999949㎡. É um detalhe pequeno, mas interessante
  • Lembrei de uma piada: como os Correios têm lucro? O peso máximo da carta é 20g, mas a média real é 6g, e a diferença vira lucro

• Recomendaram o vídeo Metric Paper, do CGP Grey
  Ele trata com mais profundidade o papel no sistema métrico e, para quem ainda não viu, vale muito a pena

  • Para mim também foi o melhor vídeo. Parece uma jornada visual que vai do comprimento de Planck até a escala do universo
    Antes da IA generativa, eu achava que essa era “a experiência mais alucinógena possível sem usar drogas”

• Como alguém nascido na Europa e morando na América do Norte, acabo tendo uma certa confusão cognitiva entre o A4 e o US Letter
  Na América do Norte, o Letter parece atarracado demais, e na Europa o A4 parece comprido demais
  Agora eu precisaria de um formato que ficasse mais ou menos no meio

  • O B5 fica mais ou menos nesse meio-termo
  • Só para constar, √2 não é a proporção áurea. É parecido, mas diferente

• Hoje de manhã, enquanto via um ajuste de bota de esqui, encontrei o webapp da Fischer Sports
  Ele mede o pé com a câmera do smartphone e usa uma folha A4 como referência
  O app está na seção “find your size” desta página e é movido pela tecnologia da Volumental

• Achei interessante que o tamanho A0 seja definido de forma única a partir de restrições abstratas
  Mas a parte “Measuring Stuff” parece ser só decorar as dimensões exatas do A4
  Não parece que o conceito de preservação de proporção tenha sido realmente aplicado
  Há um erro de digitação nas dimensões do A3

  • Na verdade, daria para fazer a experiência de medição com qualquer retângulo padronizado
    Mesmo assim, é sempre divertido aproveitar essas oportunidades para falar de papel no sistema métrico

• Em 25 de outubro de 1786, Lichtenberg propôs a seu amigo Beckmann um formato de papel com proporção 1:√2
  Ele disse que “o lado menor deveria se relacionar com o maior como o lado de um quadrado com sua diagonal”, mencionando que essa forma era estética e prática

• Existe uma dica melhor para medir objetos sem régua
  Se você abrir a mão e memorizar a distância entre o dedo mínimo e o polegar, pode usar isso como unidade para medir comprimentos
  Movendo a mão algumas vezes, dá para medir com precisão de cerca de ±1 polegada

  • É útil memorizar alguns comprimentos de referência do corpo, como dedos, articulações, cotovelo e ombro
    Por exemplo, uma falange mede cerca de 1 polegada, e a largura da unha cerca de 1cm

• Eu meço usando os dedos
  Com o indicador e o médio levemente afastados, tenho 10cm, e com o polegar e o mínimo abertos, 22cm
  Com essas duas medidas, consigo medir a maioria das coisas com precisão suficiente

  • Minha parceira (arquiteta) usa como referência a distância da ponta dos dedos até a escápula do ombro oposto com o braço totalmente esticado, que no caso dela é quase exatamente 1m

• Descobri a beleza do sistema métrico enquanto aprendia metalurgia
  Ao procurar especificações de brocas para rosca, havia inúmeros padrões, mas bastava o ISO Coarse
  O sistema métrico é realmente sistemático e intuitivo

  • Só que o espaçamento entre parafusos pequenos (M1~M5) é grande, então existem tamanhos auxiliares como M1.4, M1.6, M1.8, M2.5, M3.5
    Seria bom se os tamanhos dos parafusos e das brocas fossem definidos por proporção, como valores de resistência, mas isso teria sido inconveniente para usinagem manual

• A proporção √2 também parece ideal para a relação de aspecto de telas de celulares dobráveis
  Os celulares atuais, quando abertos, ficam quase quadrados, e eu não sei bem para que isso é bom

  • Ex.: Huawei Pura x