Grade infinita de resistores
(mathpages.com)- Em uma grade quadrada infinita em que todos os nós adjacentes estão conectados por resistores de resistência R, a resistência efetiva entre dois nós adjacentes é R/2 por simetria e superposição
- Esse cálculo usa a soma de um campo em que a corrente entra em um nó com outro em que a corrente sai de um nó vizinho, além da equação de Laplace discreta, na qual a tensão em cada nó segue a média das quatro tensões ao redor
- Porém, a explicação de que “a corrente escapa para o infinito” não é rigorosa, e a resistência de um nó até o infinito diverge como a série harmônica dos ímpares
- Portanto, para determinar a solução, são necessárias condições de contorno assintóticas, como o limite de uma grande grade finita, e numa grade infinita real sem essas condições a solução pode ser arbitrária
- A resistência entre dois nós quaisquer em geral é calculada por equações de diferenças e superposição de séries de Fourier, e para resistores unitários a resistência entre nós adjacentes na diagonal é 2/π
Cálculo simétrico da resistência entre nós adjacentes
- Assume-se uma grade quadrada em que há um resistor de resistência R entre cada par de nós adjacentes, e a grade se estende infinitamente em todas as direções
- A pergunta central é como calcular a resistência efetiva entre dois nós adjacentes e, de forma mais geral, entre quaisquer dois nós da grade
- A solução padrão para nós adjacentes divide o campo de corrente em dois e depois os soma
- uma grade em que a corrente é injetada em um nó
- uma grade em que a mesma corrente é extraída de outro nó adjacente
- A tensão em cada nó obedece à equação de Laplace discreta, satisfazendo a média das tensões dos quatro nós vizinhos, e pela linearidade as soluções podem ser sobrepostas
- Por exemplo, se forem injetados 4 A em um nó, pela simetria pode-se considerar que 1 A flui por cada um dos quatro resistores nas quatro direções
- Somando a isso o campo de corrente em que 4 A são extraídos do nó adjacente, o elo que liga diretamente os dois nós passa a conduzir um total de 2 A
- Os demais caminhos pela grade, excluindo esse elo direto, também compartilham o transporte da mesma corrente, de modo que a resistência efetiva da malha restante se iguala à resistência do elo direto
- Como o elo direto e o restante da grade ficam em paralelo, a resistência efetiva total é R/2
A armadilha criada pelas condições de contorno no infinito
- O argumento por simetria é intuitivo e leva à mesma resposta por outros métodos, mas não trata de forma clara para onde vai a corrente injetada em um nó numa grade infinita
- Dizer apenas que ela é “aterrada no infinito” não é suficiente
- Se considerarmos caminhos quadrados concêntricos em torno do nó central, o número de elos aumenta à medida que se vai para fora: 4, 12, 20, 28, ...
- Com isso, a resistência total até o infinito assume aproximadamente a forma da série harmônica dos ímpares, e portanto diverge
- Para fazer corrente fluir de um nó até o infinito, é necessária uma tensão infinita entre o nó e o “infinito”
- Uma abordagem mais rigorosa é primeiro considerar uma grande grade finita e verificar se, no limite em que o tamanho da grade cresce, o resultado desejado é de fato alcançado
- As condições de contorno obtidas no limite de uma grade finita centrada no nó de corrente positiva e de outra centrada no nó de corrente negativa devem convergir entre si, e nesse caso a corrente líquida para o infinito deve ser zero
- A discussão relacionada está em outra nota, e uma grade infinita real permanece indeterminada sem condições de contorno assintóticas
Idealização física e indeterminação da solução
- A suposição de que o campo de corrente da grade infinita já esteja completamente formado até o infinito não pode ser realizada por um processo físico realista em tempo finito
- Como se assume que a grade deste problema contém apenas resistores ideais, sem capacitância nem indutância, a dinâmica do circuito não é considerada
- Se essa idealização for levada ao extremo, chega-se à conclusão de que o campo de corrente poderia se formar instantaneamente até o infinito, o que não condiz com a velocidade finita de propagação em circuitos reais
- Todo circuito real tem capacitância e indutância, portanto a velocidade de propagação não pode ser infinita
- A razão de parecer que existe uma resposta única é que se atribui implicitamente um comportamento assintótico fisicamente plausível, como o limite de grandes grades finitas, produzido por uma fonte local
Generalização por equações de diferenças
- A resistência entre dois nós mais gerais é obtida pela superposição de soluções da equação de diferenças fundamental
- Numa grade unidimensional de resistores unitários, se 1 A é extraído da origem e a corrente líquida nos demais nós é mantida em 0, a solução da tensão fica proporcional ao valor absoluto da distância
- Como resultado, em uma dimensão, a resistência efetiva entre dois nós separados por k resistores é, como esperado, kR
- Numa grade bidimensional, a corrente líquida no nó
(m,n)é expressa pela diferença em relação às tensões dos quatro vizinhos, e os nós com corrente líquida 0 satisfazem a equação bidimensional de diferenças - A solução pode ser construída por superposição de componentes da forma
μ^m ν^n, e existe uma equação característica entreμeν - Tomando
μ = exp(iα)eν = exp(iβ), é possível sobrepor soluções em forma de Fourier por meio de integrais - Para construir a solução em que 1 A é extraído da origem, toma-se o valor absoluto dos índices; assim, perto da origem, obtém-se
V(1,0) = 1/4, em acordo com a resistência entre nós adjacentes de 1/2Ω - Para eliminar correntes indesejadas sobre os eixos, integra-se várias soluções em relação a α e determina-se a função de ponderação por série de Fourier
Fórmula da resistência na diagonal e entre nós arbitrários
- A resistência entre a origem e
(m,n)é expressa como o dobro da diferença de tensão em relação à origem e é organizada em forma de integral - A resistência até o nó
(1,1), a uma casa na diagonal, é 2/π para resistores unitários - Esse resultado também pode ser derivado de forma puramente algébrica, sem séries de Fourier, como mostrado em nota separada
- Sabendo a resistência entre nós adjacentes
1/2e a resistência entre nós adjacentes na diagonal2/π, é possível calcular a resistência de vários nós vizinhos usando apenas a equação básica de diferenças - A fórmula geral pode ser simplificada escrevendo
cos(mα)como um polinômio trigonométrico des = cos(α) - Ao focar na direção do eixo
R(0,n), a integral pode ser ainda mais reduzida, e por substituição podem-se calcular vários valores - Outro modo de substituição toma
α = r+seβ = r-s, reescrevendo a integral com a relaçãocos(r)cos(s)=1 - A resistência do nó diagonal
(m,m)é dada, para resistores unitários, por 2/π multiplicado por1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) - A resistência dos demais nós pode ser calculada pelas relações de recorrência básicas
1 comentários
Comentários no Hacker News
Vendo como alguém que é matemático e também engenheiro eletricista, engenheiros eletricistas dizem que não dá para medir sem fazer circular corrente; e, depois de fazer a corrente circular, por causa da indutância e capacitância distribuídas e da velocidade de propagação do campo, acabam perguntando “quando medir?”
Ao ouvir isso, o matemático vai para um bar beber algo forte
Porque, indo longe o bastante, em algum nó o número de elétrons se movendo por segundo, isto é, o fluxo de corrente, será 0 ou 1
Depois disso, o engenheiro pode ir acrescentando resistores nas bordas até o financiamento da pesquisa acabar ou o prazo do artigo do físico chegar
A pergunta realmente difícil é que porcentagem de erros de solda na grade, em cada distância, ainda pode ser tolerada antes que o medidor Fluke nos dois lados do quadrado central consiga detectar a falha
Já ouvi falar de detecção de fissuras remotas em estruturas condutoras, como cascos de submarinos de fibra de carbono, por meio de mudanças locais de resistência, então pode ser um problema com significado prático
Uma é quando os componentes no esquema representam objetos físicos: um resistor tem um pouco de indutância, não linearidade, capacitância em relação ao plano de terra etc. Em ferramentas como OrCad, o esquema geralmente tem esse sentido
A outra é a interpretação em que o resistor é um elemento ideal da lei de Ohm, e os fios não têm indutância, atraso de propagação nem resistência. Ligar os terminais de uma fonte de tensão com um fio fica parecido com dividir por zero
Às vezes, ao passar da primeira interpretação para a segunda, adicionam-se explicitamente resistores, indutores etc. para modelar o comportamento real da fiação. Se você não fizer isso diretamente, o SPICE talvez faça por você
A grade infinita de resistores só existe na segunda interpretação
Então a grade entra em regime permanente e se torna a forma real correspondente ao diagrama do circuito
É fácil pensar que isso não tem relação com problemas reais, mas na verdade tem. Só que nem todo o cálculo em si é útil
Do ponto de vista de um ponto local em um circuito integrado, a resistência do substrato de silício é, na prática, muito próxima de uma grade infinitamente grande de resistores unitários
O substrato de silício muitas vezes é do tipo p fortemente dopado, e a informação que se recebe da foundry geralmente é apenas a resistividade, normalmente entre 1 e 100Ω·cm. Em nós de processo de ponta, muitas vezes é 10Ω·cm
Para ter uma noção do acoplamento de ruído pelo substrato, é preciso pensar em termos de grade, em vez de calcular apenas a resistência entre os pontos A e B. Como também é necessário distribuir uma grade de contatos de substrato para coletar a corrente de ruído, a grade acaba aparecendo de novo
Do ponto de vista educacional, acho muito mais útil perguntar pela resistência equivalente entre vértices opostos de um cubo feito com resistores de 1Ω
Isso ajuda a construir intuições como simetria de circuitos e a lei de correntes de Kirchhoff
A grade infinita parece algo que daria para resolver em uma disciplina introdutória de circuitos, mas na prática está mais perto de um problema matemático difícil demais
Esse era exatamente o tipo de problema que eu odiava no curso de engenharia elétrica
Era um experimento mental de que os professores gostavam
No curso, tínhamos tratado de uma rede infinita de resistores em escada, mas na época pareceu um salto bem grande aplicar esse conhecimento a este problema
A parte que não entendo na solução simples baseada em simetria é a premissa “se aceitarmos que podemos tratar separadamente os campos de corrente para o nó positivo e o nó negativo”
Fico me perguntando por que a corrente da solução com dois nós, ou seja, uma solução não simétrica, vira uma simples soma de duas soluções de nó único, isto é, soluções simétricas
Claro que a solução de dois nós também tem algumas simetrias, mas não é a simetria original que permitia deduzir que as correntes eram iguais em todas as direções
É a mesma lógica pela qual interferência ou redes ópticas funcionam
Há uma coisa que não entendo na explicação de simetria e do princípio da superposição
Não sei por que os nós adjacentes são alpha-beta-alpha, e não alpha-alpha-alpha. Ou seja, fico curioso sobre por que apenas uma direção é distinguida e as outras duas são consideradas iguais
Mas o problema é simétrico em relação ao eixo vertical, então é possível espelhar o desenho, e a corrente que passa pelo caminho espelhado deve ser igual à de antes do espelhamento; daí você pode anotar quais i são iguais entre si
Faça o mesmo para o eixo horizontal e também para a simetria de rotação de 90 graus
No fim, surgem vários i iguais entre si, e eles podem ser agrupados em dois grupos distintos. Você pode chamar esses grupos de alpha e beta
Visto de outro modo, com as operações de simetria dadas, não é possível ir de um alpha para um beta. Isso difere do que é possível entre alphas ou entre betas
Na graduação em física, fiz um projeto em grupo experimentando com teoria da percolação
Fizemos várias grades com tinta condutiva, mas deixando ausente um certo número de links, isto é, arestas do grafo
Foi difícil produzir uma tinta condutiva que fluísse uniformemente, e eu escrevi todo o software para um plotter XY, emitindo comandos para desenhar grades retangulares e triangulares
Depois medimos a resistência de um lado ao outro
Não tenho matemática forte o bastante para acompanhar o texto inteiro, mas minha intuição como alguém que trabalha com eletrônica é que, quando um sistema quantizado interage com o infinito, esse infinito fica limitado pelo tamanho do elemento quantizado
A carga é quantizada. Como menos de um elétron não pode passar por um nó, sinto que a grade infinita de resistores se comporta como uma grade finita de resistores cujo tamanho muda conforme a quantidade de carga injetada no sistema
O elétron também é uma onda, e essa onda pode se espalhar por toda a grade
Outro ponto interessante é que, numa grade infinita, sempre existe em algum lugar uma alta tensão espontânea. Provavelmente muito longe, mas ainda assim é estranho
Em muitos casos, você só se importa com a média ao longo de algum tempo e espaço. Por exemplo, o fluxo macroscópico da água se comporta de forma bem diferente das velocidades das moléculas individuais
As únicas pessoas com uma chance que não é totalmente baixa de formar uma intuição sobre o infinito são os matemáticos
Isto é o caso discreto da resistência de folha. [1]
Nesse caso, a resistência entre quaisquer dois pontos, aqui os nós, é a mesma
Isso era abordado no currículo universitário de engenharia elétrica antigamente, mas já não me lembro da derivação da solução
[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
Como observação lateral, havia um ótimo vídeo do Veritasium sobre algo parecido, relacionado ao caminho percorrido pela luz
Linko a parte que considero a melhor demonstração de física que já vi
https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
Claro, a mesma teoria de base também explica que sempre há difração em uma fronteira finita e que, como resultado, a realidade se torna indistinguível de um mundo em que a luz de fato percorre todos os caminhos possíveis
Mas afirmar que a luz realmente faz isso talvez esteja mais perto da metafísica do que da física
Além disso, o desempenho de difração do laser provavelmente está longe do limite físico, o que enfraquece ainda mais a força da demonstração
Um observador cético diria: “não é só uma parte da luz do laser saindo fora do eixo?”, e estaria certo. Pelas leis da física, sempre há alguma luz fora do eixo, mas aquela demonstração não prova esse fato