- O quebra-cabeça clássico da grade infinita de resistores trata de encontrar a resistência efetiva entre nós adjacentes em uma malha quadrada infinita
- A resistência efetiva entre nós adjacentes pode ser expressa como R/2 usando a simetria da malha e a solução da equação de Laplace
- Na grade infinita, a solução pode ser indeterminada dependendo das posições de entrada e saída de corrente e das condições de contorno
- Ao contrário de circuitos físicos reais, a grade idealizada é difícil de analisar com rigor
- É possível calcular a resistência entre todos os pares de nós por meio de vários métodos matemáticos (equações de diferenças, séries de Fourier etc.) e fórmulas integrais
Introdução e definição do problema
- A “grade infinita de resistores” supõe uma estrutura em que cada nó adjacente de uma malha quadrada é conectado por um resistor R
- Trata-se de um quebra-cabeça para encontrar a resistência efetiva entre dois nós específicos dessa estrutura, geralmente nós adjacentes
- Entre nós adjacentes, a resistência aparece como R/2 por meio de simetria e de uma interpretação intuitiva
- Isso é semelhante às características de potencial de um dipolo elétrico, e a tensão nos nós da malha também segue a forma discreta da equação de Laplace
Solução intuitiva e limitações
- Ao injetar corrente em um único nó de uma grade infinita, assume-se uma forma simétrica em que a corrente se espalha igualmente nas quatro direções
- Ao somar (superposition) as soluções de dois casos em que a corrente é injetada e extraída entre dois nós adjacentes, a resistência na direção do diâmetro totaliza R/2
- Esse método parece intuitivamente plausível, mas para prová-lo com rigor é necessária uma explicação mais estrita sobre o comportamento de tensão e corrente no infinito, bem como sobre os caminhos totais de entrada e saída de corrente
- Na prática, como a resistência do nó central até o infinito diverge para infinito, interpretar simplesmente o infinito como terra não é fisicamente rigoroso
Análise matemática rigorosa
Malha finita e malha infinita
- Para analisar o problema com rigor, é preciso na prática considerar o limite de uma malha finita, porém muito grande
- É necessário ajustar as condições de contorno dentro de uma estrutura de malha que se expande gradualmente do centro para a periferia para obter uma solução fisicamente admissível
- Em uma estrutura infinita, sempre existe um problema de indeterminação em que a solução não é determinada de forma única sem condições de contorno
Método por equações de diferenças para a malha unidimensional
- Em um arranjo unidimensional de resistores, monta-se uma equação de diferenças e, na solução geral, aplica-se um termo de ressonância (resonance term) para obter a distribuição de tensão em cada nó
- O potencial do n-ésimo nó é |n|/2 e, com k resistores, a resistência efetiva se torna kR
Análise da malha bidimensional
- Em uma malha bidimensional, o potencial na posição (m,n) também pode ser expresso por uma equação de diferenças
- Após construir séries de Fourier e múltiplas soluções próprias, a solução é obtida por integração (superposition) para que as condições em posições diferentes sejam todas satisfeitas
- A tensão no nó adjacente (1,0) é 1/4V e, quando a corrente é -1A, a resistência se torna 1/2
- Posições mais complexas, como nós na diagonal, são obtidas por formulação com integrais
Fórmulas integrais e generalização
- O valor da resistência entre todos os pares de nós da malha pode ser generalizado por integrais com múltiplas variáveis, por exemplo α, β e variáveis substitutas como s e σ
- No processo de análise, é possível simplificar os cálculos usando equações características, polinômios trigonométricos e mudanças de variável
- Tanto a resistência entre nós na diagonal quanto entre outros nós pode ser calculada com integrais apropriadas e fórmulas de recorrência
- São empregados diversos recursos matemáticos, como séries de Fourier, substituições trigonométricas e mudanças de variável
Conclusão e outros pontos
- A grade infinita de resistores apresenta uma solução intuitivamente clara graças à simetria e à estrutura matemática, mas, em termos rigorosos, é preciso considerar condições de contorno e realismo físico
- O cálculo da resistência pode ser generalizado com o uso de técnicas matemáticas, como equações de diferenças, integrais e tratamento de singularidades
- A grade ideal não segue as leis físicas de circuitos reais (propagação com velocidade finita, resistência finita etc.), e há uma diferença de significado entre a realidade e a teoria
- Casos práticos ou abordagens matemáticas adicionais são tratados mais a fundo em notas matemáticas separadas
1 comentários
Comentários do Hacker News
As pessoas acham que isso não tem relação com problemas reais de trabalho, mas quero mencionar que, na prática, a resistência do substrato de silício é muito parecida com uma rede infinita de resistores. O substrato de silício normalmente vem fortemente dopado (tipo p), e a informação fornecida pela fab é apenas a resistividade (resistivity, geralmente 1~100 ohmcm). Em processos modernos, costuma ficar em torno de 10 ohmcm. Para entender o acoplamento de ruído através do substrato, não basta calcular uma única resistência ponto a ponto; é preciso pensar intuitivamente na rede inteira. Como os contatos de substrato precisam ser distribuídos em forma de grade para coletar ruído, isso acaba se conectando diretamente ao problema da grade infinita de resistores
Eu tinha uma noção vaga de que fotolitografia era algo difícil, mas não sabia que era um campo tão complexo a ponto de aparecer até o nome de uma deusa egípcia de verdade (Lito). Falo por experiência própria
Acho que a situação descrita é, na verdade, um modelo contínuo, então matematicamente é até mais simples
Quero enfatizar que a unidade da resistividade é ohm*cm. Foi algo que aprendi quando trabalhei na Fairchild
Eu tenho tanto a perspectiva da matemática quanto da engenharia eletrônica. Como engenheiro eletrônico, eu diria que, para medir uma resistência experimentalmente, é preciso de fato aplicar corrente. E então surge a pergunta sobre quando essa corrente foi aplicada, junto com a indutância e capacitância distribuídas que dependem disso, além da velocidade de propagação do campo. Ao ouvir esse tipo de conversa, o matemático vai ao bar se acalmar com uma dose forte
No fim, a situação acaba exigindo chamar um físico. O físico aponta que, a distâncias suficientemente grandes, os efeitos quânticos passam a dominar. Em nós muito distantes, o número de elétrons que se movem por segundo — isto é, o fluxo de corrente — acaba sendo 0 ou 1
À pergunta “quando?”, pode-se responder que basta esperar um tempo infinito até que toda resposta transitória desapareça. Nesse momento, a rede entra em regime permanente e fica exatamente no mesmo estado que vemos em um esquema de circuito
Acho que existem duas formas de interpretar um esquema de circuito. Uma é como representação de componentes físicos reais (resistência, indutância, não linearidade lógica, capacitância do plano de terra etc.). É o tipo de análise que se quer dizer ao usar ferramentas como OrCad. A outra interpretação é um mundo virtual ideal em que os resistores obedecem apenas à lei de Ohm ideal, e os fios não têm absolutamente nenhuma indutância, atraso ou resistência. Nesse caso, conectar diretamente os dois terminais de uma fonte de tensão equivale a dividir por zero. Às vezes, quando queremos modelar um circuito real, traduzimos da primeira interpretação para a segunda e adicionamos explicitamente indutâncias, resistências etc. Caso contrário, o simulador SPICE resolve isso sozinho. A grade infinita de resistores só existe na segunda interpretação
É verdade que a grade infinita de resistores é claramente um problema simples de “brinquedo”, mas analisar assumindo que o universo é infinito é uma realidade na astrofísica. Como os seres humanos não têm intuição para escalas desse tipo, fico pensando se isso cria pontos cegos invisíveis na interpretação do universo
Fico com a curiosidade divertida de saber se, numa grade infinita de resistores, poderiam surgir estruturas como planetas
Do ponto de vista didático, acho muito mais útil, para aprender intuição, simetria de circuitos e a lei das correntes de Kirchhoff, o problema de encontrar a resistência entre vértices opostos de um cubo feito de resistores de 1 ohm. A grade infinita parece distante demais até matematicamente, então não me parece um problema realista para um curso introdutório
Em soluções baseadas principalmente em explicações de simetria, eu não entendo bem em que momento se deve aceitar a premissa de que “podemos separar os nós positivo/negativo e considerar o campo de corrente de cada um”. Ainda existe simetria entre os dois nós, mas não dá para assumir, como no início, o mesmo fluxo de corrente em todas as direções, então a dúvida permanece
Esse problema apareceu numa aula de engenharia elétrica e eletrônica quando eu estava na graduação, e eu realmente odiava esse tipo de questão. Era um daqueles experimentos mentais que os professores adoravam
Este problema é a versão discreta da “sheet resistance”. A resistência entre todos os pares de nós é a mesma. Era algo tratado no antigo currículo universitário de EE, mas hoje já não lembro bem como se chegava à solução. (Veja a wiki de sheet resistance)
O Veritasium já publicou um vídeo excelente sobre um tema parecido, mostrando os caminhos por onde a luz passa. Estou incluindo um link com timestamp para a parte que considero a melhor demonstração de física que já vi: demo do Veritasium no YouTube
Na explicação por simetria e superposição (superposition), não entendo bem por que aparece alpha-beta-alpha nos nós adjacentes, e não alpha-alpha-alpha. Por que só uma direção é distinguida, enquanto as outras recebem o mesmo tratamento?
Se expandirmos ao infinito, no fim isso vira exatamente a fórmula R = rl/A (resistividade * comprimento/área da seção transversal). Mas como o comprimento (l) é infinito e a área (A) também é infinita, vira “infinito/infinito”, e o valor deixa de ser definido. Em vez de perder tempo resolvendo esse tipo de problema “inútil”, eu diria para usar o tempo em algo mais proveitoso
Esse problema também é conhecido como um problema de filtro passa-altas que alunos do primeiro ano de EE aprendem