Teoria do quadrado

• A ideia é que, em jogos de palavras e cruzadinhas, quando os quatro vértices e as quatro relações formam uma estrutura quadrilateral fechada, isso parece sólido e satisfatório, como uma descoberta acidental
• O ponto de partida foram os double doubles surgidos no #etuiposting do Crosscord, uma estrutura em que dois pares de sinônimos, como PUB/BAR e QUIZ/EXAM, se conectam em duas expressões diferentes, PUB QUIZ e BAR EXAM
• Esse padrão vai além de combinações de sinônimos e se estende a pistas com ponto de interrogação em cruzadinhas, títulos de artigos acadêmicos, nomes de marcas e trocadilhos, e quanto mais fortes forem as relações entre os quatro lados, mais convincente ele parece
• Ao contrário do triângulo, o quadrado tem lados opostos que não se tocam, e a conexão entre eles parece mais inesperada e elegante
• As cruzadinhas compartilham essa estrutura quadrada em tudo — pistas, tema e grade — e o fato de cada letra pertencer ao mesmo tempo a uma palavra na horizontal e outra na vertical cria uma estrutura recursiva satisfatória

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Double doubles que começaram no Crosscord

• A história começa no Crosscord, um servidor de Discord sobre cruzadinhas com mais de 5.000 membros
• O #etuiposting era um canal de conversa fiada e trocadilhos, batizado a partir de ETUI, uma palavra típica de cruzadinha, e em janeiro de 2022 Alex Boisvert postou uma pequena observação
• Will Nediger deu como exemplos MULTITOOL e MULTIPLIERS, e Alex em seguida trouxe PUB QUIZ e BAR EXAM
  • PUB e BAR são sinônimos
  • QUIZ e EXAM também são sinônimos
  • Mas PUB QUIZ e BAR EXAM não são sinônimos entre si
• Esses “pares de pares” continuaram sendo postados ao longo do ano seguinte e acabaram reunidos em uma thread separada, #double-doubles
• Mesmo três anos após o primeiro prompt de Alex, a thread continua ativa e já tem mais de 3.000 posts

A estrutura básica da teoria do quadrado

• Os double doubles podem ser vistos como um quadrado em que quatro palavras ocupam os vértices e as relações entre elas formam os lados
• Essa estrutura fechada faz com que o exemplo pareça menos um simples trocadilho e mais uma “descoberta”
• Ricki Heicklen organiza desde 2018 uma grande lista desses double doubles sob o nome “Unparalleled Misalignments”
• As relações que formam o quadrado não precisam ser necessariamente “sinônimos” ou “expressões”
  • Cada lado pode ser qualquer tipo de relação que conecte dois vértices
  • Quanto mais forte a relação, mais forte o quadrado
  • Os próprios vértices também podem ser entidades ou conceitos, não apenas palavras
• Esse nível de abstração lembra a teoria das categorias (category theory), e independentemente do que se escolha como vértices e lados, a topologia do quadrado produz satisfação

Quadrados em pistas com interrogação, nomes e piadas

• As pistas com ponto de interrogação em cruzadinhas frequentemente têm uma estrutura quadrada que vai e volta entre o significado superficial e a interpretação pretendida para apontar à resposta
• Um exemplo clássico é “It turns into a different story”, pista de um quebra-cabeça de Martin Ashwood-Smith de 1995 citada por Will Shortz como sua favorita
  • Na superfície, a frase soa como “virar uma história diferente” ou “evoluir para outra situação”
  • A leitura pretendida é algo mais próximo de “girar para outro andar”
  • A resposta é SPIRAL STAIRCASE
• Títulos de artigos e nomes de empresas também marcam mais quando completam um quadrado, em vez de serem apenas nomes “plausíveis” ou “com cara de nome”
• Brand New é um blog sobre rebranding corporativo, e o próprio nome é um caso que completa um quadrado
• Grubhub também pode ser lido como uma estrutura quadrada entre o nome e a ideia de um app central para entrega de comida
• Piadas de trocadilho também podem ser modeladas como quadrados
  • Um lado é uma premissa forçada do tipo “como você chama X com Y?”
  • O lado oposto é a punchline
  • Quanto mais fortes forem a premissa, a punchline e a ligação entre elas, melhor a piada funciona

Por que justamente um quadrado

• Um ciclo fechado pode ser atraente independentemente do número de lados
  • Estruturas narrativas que voltam ao ponto de partida também são satisfatórias
  • Descobrir um triângulo de relações entre três pessoas que se conhecem também é interessante
• O quadrado é o polígono mais simples que tem lados não adjacentes
• Num triângulo, todo lado toca os outros dois; num quadrado, dois lados opostos não compartilham nada em comum
• Por isso, a conexão entre lados opostos parece mais fortuita e surpreendente
• O mesmo vale para pentágonos e formas com mais lados, mas à medida que os lados aumentam, a complexidade cresce e a elegância pode se perder
• O exemplo JET BLACK / JETBLUE de Alex Boisvert pode parecer triangular, mas o jet de JET BLACK vem da pedra jet, e é etimologicamente não relacionado ao jet de avião em JETBLUE, então faz mais sentido vê-lo como um quadrado

A solidez dos temas de cruzadinha

• Cruzadinhas americanas, especialmente no estilo do New York Times, normalmente têm um tema composto por 4 a 6 entradas longas na horizontal e muitas vezes incluem um revealer que amarra o conjunto
• Entre construtores de cruzadinhas, hoje é comum a ideia de que, mais do que agrupamentos simples como “jogadores famosos de basquete” ou “marcas de cereal”, é a conexão baseada em jogo de palavras que mais facilmente produz o momento de “aha” no solucionador
• Bons temas precisam de consistência e “tightness”, mas os temas que deixam uma impressão mais forte muitas vezes são os que completam um quadrado

• Cruzadinha do New York Times de 17 de fevereiro de 2025

  • A cruzadinha do New York Times de 17 de fevereiro de 2025, de Kate Hawkins e Erica Hsiung Wojcik, usa SCRAPBOOK, POPEYES, UNDER PRESSURE e GIDDY UP como entradas temáticas
  • Cada entrada contém no final uma expressão afirmativa: OK, YES, SURE, YUP
  • O revealer é YEAH RIGHT que, junto da pista “Uh-huh, I bet”, também funciona como explicação literal de que há um sinônimo de YEAH à direita de cada entrada temática
  • Como YEAH RIGHT é um idiomatismo, e não apenas uma explicação, o tema completa um quadrado

• Cruzadinha do New York Times de 18 de fevereiro de 2019

  • A cruzadinha do New York Times de 18 de fevereiro de 2019, de Leslie Young e Andrea Carla Michaels, tem NIGHT NIGHT, WHITE WEDDING e MUSHROOM BALL como entradas temáticas
  • O revealer é CAP AND GOWN, que além de significar roupa de formatura também explica a estrutura formada por cada resposta composta
  • A primeira parte de cada entrada temática pode vir antes de CAP, e a segunda pode vir antes de GOWN
  • MUSHROOM CAP
  • BALL GOWN
  • Esse tema pode ser modelado como três quadrados no total, um para cada entrada

• Cruzadinha do New York Times de 18 de agosto de 2021

  • A cruzadinha do New York Times de 18 de agosto de 2021, de Alina Abidi, usa PIN THE TAIL ON THE DONKEY e WHITE ELEPHANT como entradas temáticas centrais
  • O revealer PARTY ANIMAL conecta as duas entradas pelo fato de serem brincadeiras de festa que incluem nomes de animais
  • Um segundo revealer, THOMAS NAST, aponta que DONKEY e ELEPHANT são os animais que simbolizam, respectivamente, o Democratic Party e o Republican Party, por meio das charges políticas de Thomas Nast
  • Cada entrada temática passa então a formar uma estrutura quadrada com uma diagonal adicional, e a relação entre os animais e os partidos políticos forma essa diagonal
  • Há limites para reduzir uma cruzadinha inteira a um grafo, mas a teoria do quadrado pode servir como um indicador útil da complexidade e da solidez do tema em muitos quebra-cabeças

A estrutura quadrada no Scrabble e na grade de cruzadinhas

• No Scrabble e no Bananagrams, uma palavra nova precisa cruzar com alguma palavra já colocada no tabuleiro
• Em algumas jogadas, ela cruza não com uma, mas com duas palavras ao mesmo tempo, formando um retângulo de palavras, e esse arranjo parece especialmente satisfatório
• A relação nesse caso pode parecer um pouco fraca, já que é apenas “uma palavra que contém ambas as letras”
• É possível formar uma rede densa de quadrados em que toda letra pertence exatamente a duas palavras, e isso é a cruzadinha americana
• Numa cruzadinha americana, toda letra precisa pertencer ao mesmo tempo a uma palavra na horizontal e outra na vertical, então toda letra se torna um vértice de quadrado
• A sensação de “clique” que um construtor sente ao encaixar o último canto de uma grade se parece com a sensação de fechar um quadrado

A teoria do quadrado como estrutura criativa

• Pistas, temas e grade de uma cruzadinha compartilham todos a mesma estrutura abstrata: o quadrado
• Se quadrados são intrinsecamente satisfatórios, então as cruzadinhas podem ser vistas como uma forma de arte recursivamente quadrada
• Ao criar títulos de artigos, nomes de marcas, piadas, temas de cruzadinha ou pistas com interrogação, o criador pode verificar se há um quadrado se completando
• Em histórias, notícias e posts de blog, estruturas que retornam ao ponto de partida ou uma “estrutura totalmente quadrada” também podem ter valor fundamental

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Comentários do Hacker News

• Gosto de jogos de trocadilhos para passar o tempo em viagens longas de carro.
  Um dos meus favoritos mistura rimas com a teoria dos quadrados: uma pessoa escolhe duas palavras que rimam perfeitamente e, para cada uma, define uma palavra de dica, geralmente um sinônimo. Ao dizer essas duas dicas, as outras pessoas tentam adivinhar o par original de rimas.
  A diversão está em rastrear de volta, a partir das dicas, até a rima original, e fica com a sensação de resolver um pequeno quebra-cabeça lógico. É fácil criar novos problemas, mas adivinhar é surpreendentemente difícil; ainda assim, há uma estrutura, então em geral dá para resolver.
  Há uma explicação parecida em https://bestlifeonline.com/jeopardy-rhyme-time-opera-version..., mas é surpreendentemente difícil encontrar uma explicação de uma categoria com a qual muita gente já esteja familiarizada.

  • Na minha família, em viagens longas de carro, jogamos Match Three. Uma pessoa dá três palavras, e quem adivinhar uma palavra que possa vir antes ou depois delas para completar qualquer uma das três vira o próximo a propor.
    Homônimos e nomes próprios também são permitidos. Por exemplo, se for (Fox, Lone, Crossed), a resposta é Star.
    Star Fox é um famoso rail shooter do SNES, Lone Starr é o único homem com coragem de fazer uma framboesa para Dark Helmet, e Star Crossed é uma expressão shakespeariana para duas pessoas cujo relacionamento está destinado a terminar em tragédia.
  • Isso me lembra https://en.wikipedia.org/wiki/Rhyming_slang
    A gíria rimada é criada substituindo uma palavra comum por uma expressão de duas ou mais palavras, cuja última palavra rima com a palavra original, e então, quase sempre, omitindo a palavra final que rima, deixando apenas a sugestão.
  • Alguns anos atrás, fiz algo parecido com amigos em um chat em grupo. Não havia rima; era um jeito de reformular títulos de videogames usando sinônimos aproximados.
    Exemplos, com as respostas em rot13: Strange, this reunion = Zntvp gur Tngurevat, Boat pork refuge = Nexunz Nflyhz, Donkeybutt taverns gospel = Nffnffvaf Perrq, Caring for the elderly = QBGN, Belongs to me create = Zvarpensg, Superclock = Birejngpu, Top Stories = Ncrk Yrtraqf, Skyline no morning = Ubevmba Mreb Qnja
  • Não é para viagem, mas recomendo Codenames. Ele tem a marca registrada de um ótimo jogo: força associações interessantes e faz você ficar bravo com o seu parceiro.
    https://boardgamegeek.com/boardgame/178900/codenames
  • Na minha família chamamos esse jogo de “pink mink”.

• A conversa sobre a teoria dos quadrados das piadas de tiozão me lembrou a clássica piada do espantalho. Parece um exemplo de teoria dos quadrados em uma dimensão mais alta.
  “Por que o espantalho ganhou um prêmio?” “Porque ele era excelente em seu campo.”
  O trabalho do espantalho é literalmente ficar de pé no campo (out standing in his field), e a expressão para ser excelente no próprio trabalho também pode ser outstanding in his field, o que parece uma coincidência linguística surpreendente.

  • A clássica “por que a galinha atravessou a rua?” também se encaixa nesse gênero, mas parece que nem todo mundo sabe que “para chegar ao outro lado” significa passar da vida para a morte. Sempre que explico isso, as pessoas ficam surpresas por não conhecerem esse sentido.
  • Também tem: “Meu amigo bebeu por engano um frasco de tinta invisível e agora está no hospital esperando para ser atendido.”
    Waiting to be seen significa, no hospital, esperar para ser atendido; no contexto da tinta invisível, significa esperar para ser visto, e é isso que torna a frase engraçada.
  • Não é relacionado, mas me lembrei desta frase antiga: Time flies like an arrow. Fruit flies like a banana.
  • Será mesmo coincidência? Talvez tenham começado pela expressão outstanding in his field, percebido a ambiguidade e pensado se havia alguma profissão que literalmente ficasse de pé em um campo. O espantalho é apenas uma delas.
  • Os dois sentidos parecem bem próximos. Mais do que coincidência, é a ideia de se destacar em algum domínio.

• Leibnitz disse certa vez que “a música é o prazer que a mente humana sente ao contar sem saber que está contando”. Talvez resolver palavras cruzadas seja o prazer que a mente sente ao fazer teoria de grupos.

  • Há um capítulo em O homem que confundiu sua mulher com um chapéu, de Oliver Sacks, que traz uma afirmação parecida. Ele explica a música a partir do caso de gêmeos autistas que não conseguiam fazer aritmética, mas brincavam de dizer números primos cada vez maiores um para o outro.
    Basicamente, a ideia é que música e harmonia são uma apreciação inata das relações numéricas entre sons, e dizer números primos seria algo parecido com apreciar a ausência de relações numéricas entre números. A experiência de ressonância entre coisas distintas — frequências, números e, no caso deste texto, palavras — pode existir de forma muito intensa independentemente da capacidade de manipular esses objetos de fato. É uma leitura interessante.
  • Isso me lembra o artigo clássico Explanation as Orgasm.
    https://link.springer.com/article/10.1023/A:1008290415597
  • Há uma satisfação profunda quando todas as peças se encaixam sob uma regra oculta.

• Se a explicação de enxergar uma grade de palavras cruzadas como teoria dos quadrados parece fazer sentido, acho que você também vai gostar do meu jogo de palavras https://spaceword.org
  O objetivo é colocar 21 letras dentro de um quadrado o mais compacto possível. Ninguém ainda criou um padrão “perfeito”, mas muita gente chega bem perto, a ponto de deixar só 3 espaços vazios

  • Jogo divertido. Mas é difícil concordar com a ideia de que as pessoas estão muito perto de um padrão perfeito
    Para criar um padrão perfeito, seria preciso empilhar três palavras de 7 letras em linhas adjacentes, de modo que cada coluna forme uma palavra de 3 letras. Por exemplo, arranjos como operate / arrowed / resends existem, mas são muito raros
    Estimo que, entre as combinações de três palavras de 7 letras, a proporção capaz de formar um arranjo válido fique em torno de 0,002%. Usando a frequência padrão de letras ETAOIN, um conjunto típico de 21 letras produz apenas algumas combinações de três palavras de 7 letras; portanto, a probabilidade de um quebra-cabeça específico ter uma solução perfeita é muito menor que 0,1%
    Por outro lado, há 12.000 vezes mais maneiras de reorganizar 21 peças dentro de uma grade 8x3, e a escolha de palavras também é mais flexível. Na distribuição ETAOIN, ao escolher 7 letras, é muito mais comum que essa sequência forme uma palavra de 3 letras seguida de uma de 4 letras do que uma única palavra de 7 letras. Quase todo quebra-cabeça terá pelo menos algumas soluções que cabem em 8x3
    Além disso, como a largura da grade é de apenas 10 casas, deixar 3 espaços vazios é o melhor entre os arranjos imperfeitos. Um único espaço vazio só seria possível com uma palavra de 23 letras; dois espaços vazios exigiriam uma palavra de 11 letras ao lado de uma de 10 letras, mas uma palavra de 11 letras não cabe numa grade 10x10
  • A primeira coisa em que pensei ao ver o jogo foi spaceword golf
    Como no golfe, você começaria no menor quadrado possível e aumentaria o tamanho a cada etapa. A pontuação seria menor conforme o quadrado fosse mais perfeito
  • Existe uma versão de spaceword que não seja “daily”? Se existir, eu gostaria de jogar
  • Spaceword coça exatamente o mesmo ponto do cérebro que a teoria dos quadrados

• Não gosto quando colocam citações como imagem, porque não dá para recortar e colar
  Por exemplo, coisas como Jet black/Jet Blue, catnap/dognap
  Meu exemplo favorito é a forma como preposições mudam o sentido de expressões idiomáticas. down for e down with têm sentidos parecidos, mas down on significa o oposto. E going down to X quer dizer algo muito diferente de going down on X. O último exemplo também é interessante no estilo HN, porque a preposição impõe uma restrição de tipo ao binding de X, então foi preciso usar X, não something

  • Nesse caso, o texto está na tag ALT, então deve ajudar se o navegador o expuser
  • Isso é bem menos verdade do que antes. Não sei que dispositivo você usa, mas no iPhone dá para copiar o texto dessa imagem naturalmente
  • Down for lunch? Down with lunch! Comida de café da manhã é mais gostosa
  • down for alguma coisa também é quase sinônimo de up for alguma coisa

• Meu exemplo favorito de algo que um amigo não nativo disse por um erro real de tradução é Hand job. O que ele queria dizer era manual labor

  • Algo parecido também aconteceu de forma famosa com uma vtuber japonesa: https://www.youtube.com/watch?v=UeQ5K5DQiDI
  • Em chinês, 手工 parece significar literalmente algo próximo de feito à mão. O segundo caractere, 工, também parece poder significar trabalho ou profissão, mas a expressão idiomática sexual lá aparentemente é outra
  • Já ouvi um falante não nativo, vendo um arremesso errado num jogo de basquete, dizer “Another rim job!”
  • O filme The Jerk também tem uma piada que usa o mesmo mal-entendido intencional
  • Já ouvi manicure ser chamada de handjob como piada

• Essa ideia é engenhosa e me dá vontade de pensar mais sobre ela. Em certo sentido, parece dizer que dá para colocar dentro de um quadrado problemas de analogia no estilo SAT padrão, por exemplo Lumen : Brightness = Inches : Length, e que a maioria das pistas de palavras cruzadas pode ser expressa como uma analogia do SAT estranha. Talvez isso seja esticar demais a analogia
  Porém, acho que a “diagonal” que o autor apresentou como conexão entre Donkey, Elephant e Party não está correta. O ponto central é que Donkey e Elephant são ambos Party Animal. Não dá para ignorar a parte Animal, pois é ela que os descreve. Cada um é um animal que representa seu partido, ou seja, um party animal
  Não sei bem qual seria a forma correta de expressar isso na teoria dos quadrados, mas não é simplesmente ligar Party aos animais em questão

• Fiquei bem animado ao ver o quadrado semiótico de Algirdas Greimas sendo derivado dos primeiros princípios do jogo
  https://en.m.wikipedia.org/wiki/Semiotic_square

• Bom texto
  O quadrado de Grubhub também funciona com outras alternativas. Grubclub, Bitesite ou Eatmeet também seriam possíveis, embora o último seja meio ruim

• Acho que boa parte das “partes inteligentes” da escrita poderia se encaixar também em formas mais complexas. Especialmente em clássicos que provavelmente só agradariam muito a pessoas que realmente amam os clássicos literários
  Por exemplo, uma história com cinco protagonistas, todos conectados de uma certa maneira, como ao formar uma estrela de cinco pontas com cinco tachinhas e um fio, mas que também se conectam de uma forma totalmente diferente e não relacionada, como um pentágono feito com a mesma disposição de tachinhas