O problema dos emojis (2022)

• O famoso problema matemático com emojis que viralizou na internet tem a característica de gerar várias respostas por causa de elementos de pegadinha
• Na comunidade de matemática, surgiu a ideia de criar como alternativa um problema realmente difícil
• Esta postagem explica como encontrar ternas pitagóricas e a técnica relacionada (traçar linhas)
• No problema de emoji de alta dificuldade, o ponto central são as curvas elípticas e a análise de soluções racionais
• O texto enfatiza a estratégia de encontrar soluções com ferramentas matemáticas e Mathematica

---

O contexto e o surgimento do problema matemático com emojis

Na internet, espalharam-se problemas matemáticos representados com emojis (ou figuras de frutas etc.). Esses problemas geravam controvérsia e efeito viral porque continham elementos que podiam confundir (por exemplo, diferenças sutis na quantidade de bananas), levando a várias respostas para um mesmo enunciado. Matemáticos de verdade e a comunidade de matemática passaram a se irritar com isso e, em 2017, apareceu no r/math do reddit um tópico propondo: “vamos criar um problema matemático com figuras que seja realmente difícil”. O problema apresentado ali, ao contrário dos exemplos usuais, ainda era relativamente fácil no nível de encontrar soluções inteiras, mas alguém chamado Sridhar Ramesh o modificou levemente e o transformou em um problema extremamente difícil. Até mesmo a menor solução dessa versão modificada tem mais de 80 dígitos, e ele passou a ser avaliado como um problema que exige conhecimento avançado relacionado a curvas elípticas.

Um exemplo introdutório com ternas pitagóricas

Primeiro, o texto trata como exemplo mais simples do método de enumerar ternas pitagóricas. Em vez de buscar diretamente as soluções inteiras (equação diofantina) que satisfazem x² + y² = z², a abordagem passa por encontrar soluções racionais (em forma de fração) para x₁² + y₁² = 1.

• Ao fazer a substituição x₁ = x/z, y₁ = y/z, o problema se transforma em encontrar todos os pontos racionais no círculo unitário
• A ideia é escolher um ponto de partida, como (0,1), e traçar uma reta de inclinação racional
• O segundo ponto de interseção entre essa reta e o círculo será sempre um ponto racional
• Isso pode ser verificado com a fórmula de Vieta etc., e ao fixar a inclinação é possível alcançar todos os pontos racionais
• Organizando o resultado, as ternas pitagóricas podem ser caracterizadas pela estrutura (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) (válida para inteiros positivos m, n)
• A ideia central é: “ao traçar uma linha, surge um novo ponto”

O problema original dos emojis: converter uma equação difícil em uma curva elíptica

A fórmula central do problema começa com x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 que, após reorganização, se transforma em x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz.

• Faz-se a substituição x₁ = x/z, y₁ = y/z e divide-se tudo por z³ para analisar soluções racionais
• A equação obtida após a substituição é x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁
• Ao visualizá-la, o gráfico é simétrico, e com uma rotação adequada dos eixos e uma nova substituição (x₂, y₂), ele é reorganizado para uma forma mais simples
• No fim, obtém-se a seguinte equação em forma de curva elíptica: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0

O princípio de gerar pontos racionais em uma curva elíptica

O texto explica o procedimento de escolher dois pontos racionais (P, Q) sobre a curva elíptica, traçar a reta que passa por eles e encontrar o terceiro ponto de interseção R entre essa reta e a curva.

• Os três pontos (P, Q, R) terão todos coordenadas racionais
• Usando a fórmula de Vieta, a inclinação da reta e transformações algébricas, é possível calcular o terceiro ponto de interseção a partir de uma fórmula consistente
• Quando a reta é traçada no mesmo ponto (P=Q), ela se torna uma tangente, e o mesmo princípio também se aplica nesse caso
• O ponto importante é: “ao conectar dois pontos racionais, surge outro ponto racional”

O limite da “multiplicação” de pontos racionais e a descoberta de um ponto de ordem infinita

Os pontos racionais triviais facilmente encontrados na curva elíptica ((0,1), (-1,0), (0,-1) etc.) levam, cada um, a resultados sem significado útil para a solução.

• Só com esses pontos, repetem-se apenas pontos de torção (pontos de ordem finita), que não geram novos pontos racionais de forma ilimitada
• Era necessário encontrar um ponto desconhecido de ordem infinita (capaz de fornecer infinitas soluções)
• Com ajuda de cálculo computacional, como no Mathematica, foi descoberto um novo ponto racional, por exemplo na forma (-2, 1/5) (esse ponto é chamado de A)
• Usando esse ponto, e aplicando tangentes ou retas com outros pontos, é possível produzir gradualmente soluções racionais novas e cada vez mais complexas

As condições para obter soluções positivas reais e o cálculo iterativo

Para que a solução do problema tenha sentido, todos x, y, z precisam ser positivos. No desenvolvimento da fórmula, assumindo z > 0, é necessário que x₁ > 0 e y₁ > 0, e nas coordenadas transformadas (x₂, y₂) deve valer x₂ > |y₂|.

• A região que satisfaz essa condição (uma parte específica do gráfico) é tratada como a “região-alvo”, e o truque das retas é repetido até alcançar uma solução racional nessa área
• No processo de cálculo, as coordenadas x e y dos pontos racionais reais são obtidas com expressões algébricas complexas (funções L, T e Y)
• Dessa forma, ao repetir o cálculo de tangentes e inclinações de retas, chega-se a soluções enormes com dezenas de dígitos

Conclusão

O problema matemático com emojis dado parece simples, mas na prática exige o uso ativo das propriedades das curvas elípticas e do princípio de geração de pontos racionais, e em alguns casos os valores das soluções crescem exponencialmente.

• O princípio simples e estrutural de “traçar uma linha para obter um novo ponto” também é aplicado, com adaptações, às curvas elípticas
• O processo de encontrar soluções inteiras ou soluções positivas reais é bastante complexo, e o cálculo algébrico por computador é indispensável
• Na continuação da postagem, devem aparecer o fechamento desse processo, um contexto matemático mais profundo e a especificação das soluções

[GN⁺]

Comentários do Hacker News

• Compartilhamento de link apresentando uma resposta realmente excelente no Quora

  • A resposta no Quora foi escrita por Alon Amit, e há também a informação de que o artigo original inclui citações mencionando Alon Amit

  • Isso transmite bem a sensação de que esse era o verdadeiro auge do Quora

• Compartilhamento de experiência de quando ensinava matemática para crianças e substituía fórmulas ou expressões por termos fofos e amigáveis como animais, nuvens e estrelas; no começo elas achavam isso meio incômodo, mas isso acabou servindo como ponto de partida para se interessarem por conceitos abstratos; depois veio o feedback de que usaram o mesmo método ao ensinar outros amigos; destaque para o fato de que o x não precisa ter nada de especial, reforçando a mensagem de que “em vez de x, pode-se usar qualquer nome, como sol ou ‘soma dos números dos gatos’”

  • Menção a nomes como “soma dos números dos gatos” e à tendência geral de minimalismo na cultura matemática; em muitas fórmulas os nomes das variáveis são extremamente curtos ou abstratos, o que gera dificuldades na interpretação real de expressões, como “esse símbolo que tem um papel importante aqui afinal é o quê? Quem foi que escreveu φ...”; reforço da piada de que matemáticos são piores nisso do que a piada comum de que programadores são ruins para dar nome a variáveis; opinião de que, embora a humanidade tenha milhares de anos de linguagem e rótulos à disposição, usar símbolos criptografados desnecessários como rho é supérfluo; destaque para a necessidade de usar nomes de variáveis intuitivos que transmitam o significado, ao menos em programas derivados de artigos matemáticos

• Relato de tentativa de enviar a imagem do problema ao ChatGPT usando a interface da OpenAI; no começo, a expectativa era de que o modelo já conhecesse o problema e desse a resposta certa, ou inventasse qualquer coisa, ou até se recusasse a resolver; mas, na prática, observou-se que ele deu um palpite com confiança fingindo ser a resposta certa, depois percebeu que estava errado ao calcular diretamente e repetiu o mesmo palpite; agiu como um agente não estruturado sem nem perceber a simetria; no fim, enfatizou com convicção a conclusão de que não havia resposta; o resultado foi inesperado, e, se no futuro ele for tão ruim assim com outros quebra-cabeças, há planos de atualizar essa crença

  • Compartilhamento do resultado de tentar a mesma pergunta com o Gemini, e também de ter usado o ChatGPT o3, que levou 11,5 minutos pensando; compartilhamento de link do trabalho relacionado

  • É até impressionante pelo fato de não haver nenhuma resposta “razoável” compreensível para uma mente humana; aparentemente existe também uma versão do ChatGPT conectada ao Wolfram Alpha, e fica a curiosidade se essa versão não foi testada

• Sobre a menção a Sridhar Ramesh, reforço da ideia de que ele é um talento raro, capaz tanto de fazer doutorado em matemática quanto de mandar bem em piadas baseadas em memes de internet (shitposting)

• Como gosta muito desse tipo de quebra-cabeça, compartilhou a experiência de apresentá-los aos amigos com o nome “Dantzig Sniping”, junto com links para um problema criado por ele mesmo e seu contexto relacionado

  • Reação de que, no começo, isso fazia lembrar o nome geográfico Gdańsk (Danzig), o que levou à curiosidade sobre o que exatamente estava sendo “alvejado”

  • Pergunta sobre como são descobertos problemas com esse tipo de propriedade

• Levantamento bem-humorado da dúvida de por que, em 2025, o autor ainda não usa de fato emojis de frutas como nomes de variáveis

  • Ao analisar código C complexo, houve a experiência de trocar nomes de variáveis por emojis para enxergar de relance onde cada variável era usada, o que ajudou a entender a estrutura do código; compartilhamento de imagem de exemplo; aponta-se, infelizmente, que linguagens modernas como Rust e JS, por seguirem o padrão XID_Start/XID_Continue, bloqueiam o uso de identificadores com emoji

  • Compartilhamento de link com um exemplo de código C# em que o Gemini resolveu o problema por força bruta usando nomes de variáveis com emojis de frutas

  • Acréscimo realista de que, embora este seja o ano de 2025, isso não significa que a linguagem em questão tenha sido criada em 2025

• Se em vez de 4 for colocada outra constante, pode surgir uma solução mínima muito, muito maior; compartilhamento de link com um exemplo interessante de equação diofantina relacionada (equação com soluções inteiras)

  • Destaque para como é impressionantemente boa a funcionalidade de carregar em tempo real números gigantescos estranhos, porém incríveis, como um número com 120 milhões de dígitos

• Compartilhamento da lembrança de que, quando esse problema apareceu pela primeira vez, todos riram bastante juntos em um seminário de teoria dos números

• Explorar a fundo teoria dos números e grafos incomuns é interessante, mas fica a curiosidade sobre o que exatamente causava confusão ou onde estava a pegadinha no quebra-cabeça original das maçãs/bananas; pergunta sobre se havia algum elemento fácil de confundir ou ponto que gerasse discussão, ou se é apenas fácil demais e por isso todo mundo corre para posar de esperto; opinião de que a resposta obtida foi 10, 4 e 2, com a dúvida de talvez ter se confundido

  • Explicação de que o verdadeiro “truque” é que o último conjunto tem 3 bananas, enquanto os outros têm 4, e também só há um coco na última expressão; esclarecimento de que realmente dá para interpretar errado como algo tipo 1 + 10 + 3

• Compartilhamento da dica de que o parâmetro de consulta srsltid no endereço de link de um determinado problema é um valor desnecessário