A estratégia Kelly que não pode falhar

Introdução

• A estratégia de alocação de apostas de Kelly é um sistema para aproveitar ao máximo a informação em situações de jogo, sendo conhecida como uma estratégia muito agressiva e de alta volatilidade.
• No livro Mathematical Puzzles, de Peter Winkler, é apresentado um jogo de cartas chamado "Next Card Bet", no qual a estratégia Kelly é descrita em uma situação sem risco e sem volatilidade.

O jogo

• O jogo é jogado com um baralho de 52 cartas (26 vermelhas e 26 pretas), e o jogador começa com um capital de $1.
• Cada carta é revelada apenas uma vez, e o jogador pode apostar uma parte do capital atual se a próxima carta será vermelha ou preta.
• É possível contar as cartas e inferir a cor das cartas restantes para definir a estratégia de aposta.

Estratégia Kelly

• A estratégia Kelly consiste em escolher a aposta que maximiza o log esperado do capital.
• Supondo que r seja o número de cartas vermelhas restantes e b o número de cartas pretas restantes, quando r > b, a fração apostada é calculada como bet_fraction = (r - b) / (r + b).
• Quando r = b, não se aposta; quando r > b, aposta-se no vermelho; quando b > r, aposta-se no preto.

Testando a estratégia

• A estratégia Kelly foi simulada usando Python.
• Em 10.000 partidas, cada execução obteve um retorno de 9.08 vezes o capital inicial, sem qualquer variação nos resultados.
• Diferentemente da estratégia Kelly usual, o resultado aqui não apresenta volatilidade.

Explicação

• Quando um entre os possíveis arranjos de cartas (52 choose 26) corresponde exatamente ao que acontece, a estratégia de portfólio multiplica o capital por 2^(52).
• Isso explica por que a estratégia Kelly e a estratégia de portfólio produzem o mesmo resultado e por que a estratégia Kelly, neste caso, não tem volatilidade.

Interpretação

• Ao apostar repetidamente na cor majoritária, a estratégia Kelly faz com que, sempre que ocorre uma aposta errada, o baralho fique ainda mais desequilibrado, tornando a situação mais favorável.
• Isso destaca a característica da estratégia Kelly de precificar adequadamente a informação e a incerteza.
• O livro Mathematical Puzzles, de Winkler, é recomendado por tratar desse tipo de problema e de outros semelhantes.

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Comentários do Hacker News

• É preciso conseguir dividir a participação infinitamente para sempre obter lucro

  • Por exemplo, quando 26 cartas vermelhas estão no topo, a participação inicial de $1.00 cai para 0.000000134 e depois volta a subir para 9.08

• Acho que a discussão sobre portfólio é um desvio desnecessário

  • Há uma prova de duas linhas por indução
  • No caso base (0,1) ou (1,0), o retorno é 2

• Um exemplo semelhante de jogo de cartas é explicado no livro de entrevistas de finanças de Timothy Falcon

  • Gwern explica isso e escreveu código que prova a estratégia ótima de parada

• Um complemento interessante sobre o critério de Kelly

  • O paradoxo de Proebsting é um argumento de que o critério de Kelly pode levar à ruína
  • É possível resolver isso matematicamente, mas levanta questões interessantes na aplicação prática

• O critério de Kelly é um dos conceitos da teoria dos jogos, muito usado por apostadores profissionais para gestão de banca

  • É um critério para resultados binários, mas podem surgir resultados distorcidos quando aplicado a situações não binárias

• Seria uma demonstração melhor se fosse reduzido a números mais fáceis de lidar

  • Ex.: um baralho composto por 2 cartas pretas e 2 cartas vermelhas

• É muito interessante ver que não há variação no resultado

  • Fico curioso se a estratégia de Kelly é ótima nesse problema

• Como alguém que se chama Kelly, agradeço pela confiança

• Parece que o problema e a solução vieram de Thomas Cover

  • Aprendi isso numa aula que ensinava o critério de Kelly, e as aulas dele eram sempre interessantes e valiosas

• Confirmado com várias seeds de RNG

  • Como o RNG avança a cada execução, isso não é um problema