80 anos do método dos elementos finitos (2022)
(link.springer.com)- O método dos elementos finitos (FEM) surgiu no início da década de 1940 a partir da discretização baseada em malhas, subdomínios triangulares e cálculo variacional, e consolidou-se como um método central da engenharia computacional ao completar 80 anos de sua invenção em 2021
- O FEM expandiu-se para além da mecânica dos materiais e das estruturas, tornando-se a base computacional de praticamente todos os problemas que podem ser descritos por EDPs — incluindo escoamento de fluidos, condução de calor, eletromagnetismo, projeto de circuitos e chips semicondutores, manufatura aditiva, diagnóstico médico e planejamento cirúrgico
- Houve contribuições sucessivas de Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng e outros, e em 1960 Clough deu o nome de Finite Element Method, fixando a terminologia
- Entre 1966 e 1991, teoria de convergência, princípios variacionais mistos, integração no tempo, métodos para Navier–Stokes, geração de malha, mecânica estrutural não linear, interação fluido-estrutura, FEM estocástico e análise de contato avançaram, ampliando o método como ferramenta de simulação industrial
- Desde 1992, estimativa de erro, hp FEM, X-FEM, phase-field fracture, isogeometric analysis, multiscale FEM, VEM, softwares comerciais e de código aberto, além da integração com machine learning e modelos de ordem reduzida, deslocaram o foco para a computação em tempo real e orientada por dados
Escopo do FEM e divisão de seus 80 anos de evolução
- 2021 marcou o 80º aniversário da invenção do finite element method (FEM)
- O FEM consolidou-se como base computacional em áreas como
- mecânica dos materiais e das estruturas
- escoamento de fluidos e condução de calor
- processos biológicos voltados a diagnóstico médico e planejamento cirúrgico
- eletromagnetismo
- projeto e análise de circuitos e chips semicondutores
- manufatura aditiva
- praticamente todos os problemas que podem ser descritos por equações diferenciais parciais (EDPs)
- O FEM transformou profundamente as formas de modelagem científica e projeto de engenharia em automóveis, aeronaves, estruturas marítimas, pontes, rodovias e edifícios altos
- Junto com a evolução do FEM, também cresceu o campo da engenharia conhecido como computational mechanics ou computational science and engineering
- A história de seu desenvolvimento é dividida em quatro períodos
- 1941–1965: fase inicial
- 1966–1991: era de ouro
- 1992–2017: grandes aplicações industriais e avanços em modelagem de materiais
- desde 2018: tecnologias mais recentes do FEM, no presente e no futuro
- O foco está principalmente nas aplicações em mecânica dos sólidos e das estruturas e em seus avanços correlatos; fluidodinâmica, transferência de calor e interação fluido-estrutura são tratados de forma limitada
- Como o desenvolvimento do FEM se entrelaça ao longo de vários períodos, é difícil organizá-lo apenas em ordem cronológica estrita
1941–1965: malhas, cálculo variacional e o surgimento dos elementos triangulares
- A origem do paradigma de modelagem numérica do FEM remonta ao início da década de 1940
- Em 1941, A. Hrennikof, da University of British Columbia, publicou um artigo tratando o modelo de membranas e placas como um lattice framework
- o domínio do problema foi discretizado como uma malha de uma lattice structure
- esse trabalho foi uma forma inicial de mesh discretization
- No mesmo ano, R. Courant apresentou um método para tratar numericamente, por cálculo variacional, uma EDP de segunda ordem que surge no problema de torção cilíndrica de Saint–Venant
- ele usou de forma sistemática trial functions sobre subdomínios triangulares finitos e o método de Rayleigh–Ritz
- essa apresentação foi publicada em artigo em 1943
- Há trabalhos semelhantes de discretização e formulação variacional também na literatura de McHenry, Prager and Synge, e Synge and Rheinboldt
- No início da década de 1950, vários engenheiros e pesquisadores desenvolveram essas abordagens iniciais e começaram a resolver problemas reais da engenharia aeronáutica e civil
- J.H. Argyris e M.J. Turner conduziram desenvolvimentos paralelos com ênfases diferentes, e Turner contou com a colaboração de R.W. Clough e H.C. Martin
- os métodos desenvolvidos por eles são hoje conhecidos como formas iniciais do FEM
- na época, eram chamados de Matrix Stiffness Method
- Em um artigo apresentado em 1960, R.W. Clough cunhou a expressão Finite Element Method, e esse nome foi rapidamente adotado
- Turner, Clough, Martin e Topp desenvolveram interpolantes FEM para triangular elements adequados a componentes estruturais de geometria arbitrária
- a invenção do elemento triangular é chamada, em algumas perspectivas, de “quantum leap”
- em muitas comunidades de engenharia, o artigo de Turner et al. de 1956 é considerado o ponto de partida do FEM
Berkeley, Boeing, Norfork Dam e a difusão inicial
- M. Jon Turner, da Boeing, precisava de um método confiável para avaliar com antecedência se um projeto de aeronave suportaria as tensões reais, e convidou Ray Clough e Harold Martin para summer faculty internships na Boeing
- A colaboração entre Turner, Clough e Martin levou a um método de análise estrutural capaz de prever o desempenho real por meio de muitos cálculos feitos em computador
- Clough criou um grupo de pesquisa em FEM na UC Berkeley e passou a usar o método em diversas análises e experimentos
- projeto de edifícios e estruturas resistentes a explosões nucleares ou terremotos
- análise dos requisitos estruturais de espaçonaves
- análise de estruturas de perfuração oceânica em águas profundas
- No outono de 1957, Clough afixou um aviso procurando estudantes interessados em pesquisa com finite elements para análise de membranas, placas, cascas e estruturas sólidas
- na época não havia financiamento para a pesquisa, mas responderam pós-graduandos que tinham outras fontes de financiamento
- O primeiro computador digital de Berkeley era o IBM 701, baseado em válvulas e produzido em 1951, e o número máximo de equações lineares que ele conseguia resolver era 40
- Em 1959, foi instalado no campus de Berkeley o IBM 704
- ele tinha memória de 32K de 32 bits e uma unidade de aritmética de ponto flutuante cerca de 100 vezes mais rápida que a do IBM 701
- isso tornou possível resolver estruturas práticas usando malhas finas
- A análise da barragem Norfork feita por Clough em 1962 mostrou a aplicabilidade inicial do FEM
- a barragem Norfork, com 250 pés de altura, no Arkansas, apresentou uma trinca vertical durante sua construção em 1942
- a análise por FEM previu corretamente a posição e a magnitude da fissura causada pela variação de temperatura
- ela também produziu deslocamentos e tensões realistas no interior da barragem e da fundação sob condições de gravidade e várias cargas hidrostáticas
- Clough disponibilizou livremente uma listagem em FORTRAN de um programa de análise por elementos finitos para avaliar deslocamentos e tensões em estruturas planas bidimensionais
- ele podia ser usado em estruturas planas 2D com diferentes geometrias, materiais e condições de carga
- isso permitiu que engenheiros profissionais passassem a usar o FEM com facilidade para obter distribuições de tensão em problemas de engenharia estrutural
- Pelas contribuições à criação e ao desenvolvimento do FEM, R.W. Clough recebeu em 1994 a National Medal of Science das mãos do então vice-presidente dos Estados Unidos, Al Gore
Figuras iniciais e bases teóricas
- Pelo consenso atual, após a contribuição de base matemática de R. Courant, J.H. Argyris, R.W. Clough e O.C. Zienkiewicz tiveram papel central no nascimento e no desenvolvimento inicial do FEM
- No início dos anos 1960, Kang Feng, da Chinese Academy of Science, propôs de forma independente um método numérico de discretização baseado em princípios variacionais para resolver PDEs elípticas
- Peter Lax avaliou que Kang Feng construiu a teoria do FEM independentemente do desenvolvimento paralelo no Ocidente
- O trabalho de Kang Feng é considerado um dos primeiros estudos de convergência do FEM
- E.L. Wilson é citado como a primeira pessoa a desenvolver software open-source de elementos finitos
- Sob orientação de Clough, começou em 1958 na Boeing o desenvolvimento de um programa automatizado de elementos finitos com base no elemento finito retangular de tensão plana desenvolvido lá
- J.T. Oden e G.C. Best escreveram um dos primeiros códigos computacionais de FEM de propósito geral
- Incluíam elementos para elasticidade 3D, elasticidade plana 2D, vigas e barras 3D, placas e cascas laminadas compostas, e materiais compósitos em geral
- Foram usados por vários anos na análise e no projeto de aeronaves na indústria aeroespacial e de defesa
- Até 1965, a pesquisa em FEM havia se tornado uma área muito ativa no mundo todo, e o número de artigos publicados na literatura ultrapassava 1000
- O princípio variacional de Hellinger–Reissner e o princípio variacional de Hu-Washizu tornaram-se depois a base para o desenvolvimento do FEM misto
- Em 1964, Pian reconheceu a possibilidade de usar princípios variacionais mistos em formulações de EF baseadas na forma fraca de Galerkin e propôs o assumed stress FEM
1966–1991: teoria da convergência, dinâmica, fluidos e análise não linear
- A partir do fim dos anos 1960, desenvolveu-se uma rigorosa teoria da aproximação para sustentar o FEM
- O lema de Céa e o lema de Bramble-Hilbert são considerados resultados importantes na prova de convergência do FEM
- O estudo de Nitsche sobre estimativas em L∞ para problemas elípticos lineares gerais foi uma contribuição importante para as bases matemáticas do FEM nos anos 1970
- Na prática, engenheiros usavam interpoladores de FEM não conformes ou quadratura numérica que violava a formulação variacional padrão
- G. Strang chamou essas técnicas numéricas de variational crimes
- B. Iron e R. Melosh criaram o primeiro patch test do FEM, que teve papel importante para garantir a convergência para a solução correta
- No FEM baseado em princípios variacionais mistos, a condição de Babuška-Brezzi ou condição LBB surgiu como resultado central
- Ela fornece uma condição suficiente para que problemas de ponto de sela tenham solução única com dependência contínua dos dados de entrada
- Tornou-se uma diretriz para construir as funções de forma do FEM baseado em princípios variacionais mistos
- Nos anos 1970, o desenvolvimento do FEM mudou o foco para a simulação do comportamento dinâmico de estruturas, incluindo a crashworthiness na indústria automotiva
- Foram desenvolvidos o método Newmark-beta, o método Wilson-theta, o método alfa de Hilbert-Hughes-Taylor, o algoritmo de integração de Houbolt e algoritmos de integração explícita no tempo
- A integração explícita no tempo foi um divisor de águas na indústria automotiva e consolidou o FEM como principal ferramenta para o projeto de carros de passeio e a análise de segurança em colisões
- Até o fim dos anos 1980, as três grandes montadoras dos EUA tinham milhares de estações de trabalho rodando códigos de FEM baseados em integração explícita no tempo
- Um dos principais temas de pesquisa do FEM nos anos 1980 foi resolver as equações de Navier–Stokes com FEM
- Hughes e seus coautores desenvolveram o método streamline upwind/Petrov Galerkin, o Stabilized Galerkin FEM, o space–time FEM e o variational multiscale FEM
- Entre 1986 e 1991, Hughes, L.P. Franca e outros escreveram uma série de 10 artigos sobre formulações de FEM para dinâmica dos fluidos computacional
- Em meados dos anos 1980, a combinação de interactive computer graphics, adaptive mesh generator e técnicas de solid modeling levou ao avanço da geração de malha FEM
- As contribuições de J. Simo foram um dos grandes destaques do avanço tecnológico do FEM nos anos 1980
- operador tangente consistente para plasticidade computacional
- teorias geometricamente exatas de vigas e cascas
- métodos de deformação assumida ou deformação enriquecida
Interação fluido-estrutura, FEM probabilístico e análise de contato
- De meados dos anos 1970 ao início dos anos 1990, houve forte demanda nas indústrias aeroespacial e de engenharia civil por tecnologias capazes de resolver grandes problemas de interação fluido-estrutura (FSI)
- A formulação Hughes-Liu-Zimmermann de FEM fluido-estrutura Arbitrary Lagrangian–Eulerian (ALE) trata problemas com fronteiras móveis
- No ALE, a malha computacional no interior do domínio pode mover-se arbitrariamente para otimizar a forma dos elementos
- A malha nas fronteiras e interfaces do domínio move-se junto com o material, permitindo rastrear com precisão fronteiras e interfaces em sistemas multimateriais
- C. Farhat é citado como a primeira pessoa a calcular problemas de FSI com um solver ALE-FEM paralelo de grande escala
- O grupo de Farhat desenvolveu o método finite element tearing and interconnecting para resolver de forma escalável sistemas de equações de grande porte
- A pesquisa de FSI com FEM forneceu, em meados dos anos 1990, a base para a modelagem personalizada de doenças vasculares e para a medicina preditiva baseada em FEM
- W.K. Liu e T. Belytschko desenvolveram pela primeira vez, no fim dos anos 1980, o FEM probabilístico ou FEM de campo aleatório
- Ele considera incertezas nas condições de carregamento, no comportamento dos materiais, na configuração geométrica e nas condições de apoio ou de contorno
- Pode ser aplicado à análise de confiabilidade estrutural
- No início dos anos 1980, o grupo de M.E. Botkin, do General Motors Research Lab, e o grupo de N. Kikuchi, da University of Michigan, desenvolveram FEM para otimização de forma estrutural voltado à indústria automotiva
- O artigo de 1976 de Hughes, Taylor, Sackman, Curnier e Kanoknukulchai é uma das primeiras análises em FEM de mecânica computacional de contato
- É considerado um dos primeiros estudos sobre modelagem em FEM de problemas dinâmicos de contato e impacto
- São citados como exemplos conformação de chapas metálicas, impacto e penetração em alvos, e a interação entre pavimento e pneu
- A pesquisa em algoritmos de contato permaneceu um tema ativo até o fim dos anos 1990
1992–2017: estimativa de erro, trincas, métodos sem malha
- O primeiro grande acontecimento no desenvolvimento do FEM entre 1992 e 2017 foi a formulação do estimador de erro a posteriori de Zienkiewicz-Zhu
- Ele fornece controle de qualidade da solução do FEM enquanto usa de forma ótima os recursos computacionais por meio de refinamento adaptativo da malha
- Hoje, a melhoria de qualidade via estimativa de erro a posteriori se estende até o nível de Bayesian inference e Bayesian update
- Este tema está intimamente ligado a validation and verification
- Szabo e Babuska desenvolveram o hp FEM, que usa h e p em conjunto
- Ao combinar refinamento h e refinamento p de forma apropriada, ele apresenta convergência exponencial no refinamento da malha
- Em contraste com a maioria dos outros FEMs, que convergem em taxa algébrica
- Em 1994, Xu e Needleman desenvolveram o cohesive zone model (CZM) em FEM, capaz de simular o crescimento de trincas sem remalhamento
- Belytschko e W.K. Liu desenvolveram um meshfree particle method para aliviar o problema de viés de malha na modelagem de fratura e dano de materiais
- O element-free Galerkin method e o reproducing kernel particle method são exemplos representativos
- O RKPM, em comparação com o método SPH, oferece consistency e melhora a convergência
- Em 2001, J.S. Chen e coautores propuseram o stabilized conforming nodal integration method para o RKPM sem malha
- É simples, estável e variationally consistent com a formulação fraca de Galerkin
- O partition of unity finite element method passou depois a ser chamado de generalized finite element method
- É uma generalização das versões h, p e hp do FEM
- Soluções analíticas podem ser embutidas na discretização do FEM
- No fim dos anos 1990, Belytschko, Black, Moes, Dolbow e outros desenvolveram o X-FEM
- Ele captura a geometria de corpos trincados sem remalhamento usando enriched discontinuous shape functions
- Tornou-se um avanço importante na mecânica computacional da fratura e nas técnicas de refinement do FEM
- Por volta de 2000, Bourdin, Francfort e Marigo desenvolveram a phase-field approach para modelagem de fratura em materiais
- Com o FEM de Galerkin, é possível resolver em conjunto as equações do movimento do contínuo e a phase equation para encontrar soluções de trinca sem singularidades de tensão nem remalhamento
Integração com CAD, multiescala e elementos virtuais
- Uma das grandes razões do sucesso do FEM é sua ampla aplicabilidade à análise e ao projeto de engenharia em vários campos científicos
- T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs e outros desenvolveram o isogeometric analysis (IGA) FEM
- Ele usa funções NURBS como shape functions do FEM
- Integra o FEM às ferramentas CAD existentes baseadas em NURBS sem conversão de dados entre pacotes CAD e FEA
- Com o surgimento da nanotecnologia, foram desenvolvidos métodos multiescala que combinam métodos atomísticos e FEM em escala contínua
- São citados molecular dynamics, density functional theory e ab initio method
- O hand-shake method, o quasi-continuum FEM e o bridging scale method são contribuições principais
- Em 2007, Gavini, Bhattacharya e Ortiz desenvolveram o quasi-continuum orbital-free DFT FEM para cálculos de DFT com milhões de átomos
- Desde o fim dos anos 1990, o computational homogenization method evoluiu rapidamente
- Divide-se em homogenização computacional multiescala para compósitos com microestrutura periódica
- E em computational micromechanics method, voltado principalmente a compósitos com microestrutura aleatória
- Em 2013, um grupo italiano liderado por L. Beirão da Veiga e F. Brezzi propôs o virtual element method (VEM)
- É uma extensão do FEM convencional para formas arbitrárias de elementos
- Permite discretizações politopais, como polygon em 2D ou polyhedron em 3D
- O nome virtual vem do fato de não ser necessário calcular explicitamente a base local de shape functions
- Ele tem características vantajosas em relação ao FEM convencional em problemas de geometria complexa, nos quais é difícil obter malhas de boa qualidade, e em problemas que exigem refinement local
Educação e indústria de software
- Em 1957, R. Clough introduziu na UC Berkeley a primeira disciplina de pós-graduação em FEM
- Depois disso, disciplinas de FEM em nível de graduação e pós-graduação foram acrescentadas aos currículos de engenharia das principais universidades e escolas de engenharia em todo o mundo
- Até o fim de 2015, mais de centenas de monografias e livros-texto sobre FEM haviam sido publicados em dezenas de idiomas no mundo todo
- Os livros-texto de FEM de Zienkiewicz and Taylor ou de Zienkiewicz et al. provavelmente tiveram grande impacto na popularização da tecnologia FEM
- O código do programa de computador FEAP, para pesquisa em FEM e escrito por Taylor, foi incluído no apêndice do livro
- Ele fornecia orientação imediata para implementar FEM em computador
- O desenvolvimento da tecnologia de software FEM começou no início dos anos 1960
- Em 1963, E.L. Wilson e R. Clough desenvolveram o Symbolic Matrix Interpretive System (SMIS)
- Com base no SMIS, Wilson iniciou e desenvolveu o Structural Analysis Program (SAP)
- K.J. Bathe desenvolveu o código não linear de FEM ADINA com base no SAP IV e no NONSAP
- A NASA desenvolveu seu próprio código FEM, o NASTRAN
- A primeira versão, COSMIC Nastran, surgiu em 1969
- Em 1971, a MSC Software lançou o MSC Nastran, versão comercial do Nastran
- J.A. Swanson desenvolveu o código FEM inicial do ANSYS
- Hoje, o ANSYS é um dos principais softwares comerciais de FEM do mundo
- O DYNA3D foi desenvolvido por J.O. Hallquist, do Lawrence Livermore National Laboratory
- É amplamente usado para análise de impacto, contato dinâmico e falha de estruturas
- Mais tarde evoluiu para o LS-DYNA
- Em 2018, com a aquisição da Livermore Software Technology pela ANSYS, o LS-DYNA passou a fazer parte da ANSYS como ANSYS LS-DYNA
- O ABAQUS é um software comercial de FEM de grande porte lançado pela HKS, criada por Hibbitt, Karlsson e Sorenson
- Ele permite sub-rotinas personalizadas, facilitando aos pesquisadores usar solvers FEM padrão em pesquisa
- Do fim dos anos 1990 ao começo dos anos 2000, a indústria de software FEM tornou-se um negócio de bilhões de dólares
- ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics e CSI são citados como softwares FEM bem conhecidos
- Também existem softwares FEM de código aberto como FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project e DUNE
Desde 2018: aprendizado de máquina, FEM orientado por dados e modelos de ordem reduzida
- O FEM moderno consegue resolver rotineiramente problemas industriais grandes e complexos, permitindo análise preditiva e compreensão fundamental para o projeto de produtos
- Com novas invenções gerando grandes volumes de dados em todo o espaço de parâmetros de espaço, tempo e projeto, às vezes o desenvolvimento de princípios científicos não acompanha a velocidade das invenções
- Pesquisadores de FEM estudam, para isso, FEM baseado em machine learning e deep learning
- O FEM de Mechanistic Data Science (MDS) combina princípios científicos já conhecidos com dados coletados recentemente e é uma importante direção de pesquisa para novas invenções
- Usa métodos como active deep learning e hierarchical neural network
- Realiza processamento de dados de entrada, extração de características mecanísticas, redução de dimensionalidade, regressão e classificação, além de fornecer banco de dados de conhecimento
- Com os avanços recentes em machine learning e deep learning, a abordagem de montar redes neurais profundas para resolver FEM se consolidou como estado da arte
- Physics-Informed Neural Networks resolvem PDEs de alta dimensão na strong form e usam restrições que acomodam condições de contorno naturais e essenciais
- Métodos como Deep Ritz Method, Deep Galerkin Method, physics-constrained deep learning e partition of unity network, que combinam a estrutura do FEM com redes neurais, vêm sendo pesquisados
- Zhang et al. publicaram um artigo sobre a construção de funções de forma de FEM com base nas características hierárquicas de DNNs e chamaram isso de HiDeNN
- Mostram várias construções de funções de interpolação com deep learning, como RKPM, NURBS e IGA
- O HiDeNN-AI pode integrar várias ferramentas orientadas por dados e oferece uma abordagem geral para resolver problemas científicos e de engenharia com pouco ou nenhum conhecimento físico e alta demanda computacional
- Para reduzir o custo computacional do FEM, foi proposto um método orientado por dados em duas etapas, que constrói um banco de dados de FEM na fase offline e calcula a solução final na fase online
- O FE-SCA agrupa pontos de material com unsupervised machine learning e resolve a equação micromecânica reduzida de Lippmann–Schwinger para diminuir o custo computacional da análise multiescala
- Reduced order modeling está alinhado à demanda industrial por simulações rápidas e quase em tempo real
- controle online de sistemas dinâmicos
- monitoramento da integridade estrutural
- monitoramento da integridade de veículos
- controle de feedback online para manufatura avançada
- controle e tomada de decisão para direção automatizada
- O controle ótimo prático pode exigir previsões confiáveis dentro da faixa de milissegundos ou submilissegundos
- Métodos de aprendizado de máquina de ordem reduzida podem viabilizar um modelo combinado de física e dados para superar os gargalos da redução de modelos e das abordagens puramente orientadas por dados de machine learning
1 comentários
Comentários do Hacker News
Trabalho em tempo integral há 15 anos como analista de FEM e, embora o texto em si seja bom, ele passa uma impressão forte de retratar os últimos 20 anos de forma muito mais cor-de-rosa do que a realidade
O uso de FEM na prática real ficou bastante estagnado por um bom tempo. Houve melhorias na estabilidade de algoritmos numéricos que tornam problemas altamente não lineares um pouco mais fáceis, solvers mais otimizados e hardware muito melhor; em especial, armazenamento flash ajudou muito
Mas as tecnologias avançadas e de próxima geração defendidas pelo texto quase todas falharam quando aplicadas a problemas reais. Em problemas de laboratório muito simples, os resultados podem ser bons, mas em problemas do mundo real a precisão muitas vezes é péssima. Por exemplo, um cilindro sob tração simples bate bem, mas, se você acrescenta flexão, desanda feio
Ainda não há nada melhor que FEM, mas, olhando para trás, é surpreendente perceber que trabalho quase do mesmo jeito que na época de Engineer 1. Não foi por falta de tentativa: passei por inúmeros projetos de desenvolvimento que pareciam promissores, mas não passaram na validação no mundo real
O foco da indústria, na verdade, se voltou muito mais para verificação e validação (ASME V&V 10/20/40), e isso revelou várias armadilhas e limitações. A pesquisa acadêmica e as empresas de software não foram muito proativas em revisitar os problemas que encontramos e que supostamente eram considerados “resolvidos”
FEEC parecia bem promissora da última vez que li sobre ela, mas parece não ter se espalhado muito pelo mundo mais amplo de FEM
Houve avanços em elementos de contato, pré-carga de parafusos, modelagem de fibras individuais em compósitos, delaminação e falha progressiva em laminados, modelagem de camadas de material com espessura de milésimos de polegada e até otimização de projeto
O ANSYS Workbench está mais próximo de FEA para iniciantes, e há mais exemplos
Parecem uma candidata quente, com potencial de entregar resultados melhores no futuro
No começo da carreira, fiz modelagem e análise por elementos finitos com ANSYS e NASTRAN, e às vezes sinto saudade daquela época
Sempre achei divertido pensar no processo de simplificar problemas reais o suficiente para que pudessem ser resolvidos com os recursos computacionais disponíveis. E também havia um efeito quase meditativo em ficar empurrando elementos quadriláteros por horas até a malha ficar boa. Só não estou exatamente transbordando vontade de aprender um software ou uma linguagem nova
Surpreendentemente, parece que não houve muita mudança nessa área. ANSYS ainda parece liderar em simulação de uso geral e multifísica, e NASTRAN ainda é muito usado. Também ainda não há uma alternativa open source prática
O único novo player parece ser COMSOL; fico curioso se alguém já usou. Vale a pena tentar para quem conhece bem ANSYS e NASTRAN?
A cada ano brigo mais com o software, e está claro que a área de vendas assumiu o volante
Eles compram software de “integração vertical”, integram e depois deixam morrer lentamente. Anunciaram que vão encerrar no ano que vem um produto que compraram há 10 anos, para empurrar um produto concorrente que tem só 20% da funcionalidade
Também usei NASTRAN por cerca de metade desse tempo, mas não é muito melhor. É tudo orientado por vendas
Usei um pouco Abaqus e pareceu bom. Talvez seja porque usei só um pouco
Eu só quero trabalhar, mas essas empresas só ficam movendo funcionalidades entre níveis de licença e cozinhando o sapo tão rápido quanto conseguem
Aqui, intuitivo quer dizer que segue a matemática bem de perto, não que seja nível ensino médio
[1]: https://fenicsproject.org/
[2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
Se você quer fazer acoplamento estrutura-fluido ou eletromagnético-mecânico, provavelmente está entre os mais fáceis de usar
Olhando para cada área da física isoladamente, ele não é especialmente excelente. Há solvers muito melhores para mecânica, dinâmica dos fluidos computacional e eletromagnetismo, mas são todos de fornecedores diferentes e não se encaixam tão bem uns com os outros
O “deal” de deal.II significa Differential Equation Analysis Library
Ela é escrita em C++, usa bastante templates e vem sendo desenvolvida desde 2000. Não é voltada especificamente para mecânica dos sólidos ou dos fluidos, mas sim uma biblioteca para soluções FEM de equações diferenciais parciais em geral
A documentação é extensa, há muitos exemplos, e ela também se integra a outras bibliotecas como Petsc e Trilinos. Os resultados também podem ser exportados em vários formatos
Pelo que sei, suporte a elementos triangulares e tetraédricos só foi adicionado recentemente. Mesmo assim, uma peculiaridade da biblioteca é chamar malhas de “triangulations”
Durante meu doutorado industrial, criei um framework de programação orientada a objetos para simulações de poluição atmosférica em grande escala (LSAP)
Esse framework era baseado em FEM de Petrov-Galerkin e lidava tanto com 2D propriamente dito quanto com 3D “em camadas”
Antes do doutorado, as pessoas com quem eu trabalhava usavam métodos espectrais e FEM de direções alternadas, isto é, uma forma de aproximar 2D por 1D
Em algumas conferências e entrevistas, certos cientistas costumavam dizer que programar FEM para LSAP era fácil. Eu geralmente concordava e então perguntava quantas vezes eles já tinham feito isso. Nunca recebi uma resposta, fosse para LSAP ou para qualquer outra coisa
Para aplicar FEM a problemas reais, pode ser necessário resolver uma boa quantidade de armadilhas e bugs pequenos, práticos e também teóricos
Obter por métodos analíticos a solução de um problema prático que satisfaça tanto as condições de contorno quanto o domínio é praticamente impossível. O FEM troca exatidão por aproximação: pode ser exato nas condições de contorno especificadas, mas é uma aproximação tanto na representação do domínio quanto na solução
Em compensação, ao refinar a aproximação, ele tem a boa propriedade de o erro de aproximação convergir para a solução exata. O preço é que o custo computacional cresce exponencialmente
Estudei FEM na graduação e na pós-graduação. Há uma satisfação considerável no processo de dividir um problema real difícil de resolver em uma realidade simulada simplificada de unidades finitas e então obter uma resposta explicitamente imperfeita, mas útil
Acabo lembrando com frequência dessa abordagem
Na época havia uma thread com 45 comentários: https://news.ycombinator.com/item?id=33480799
Prever como as coisas evoluem no espaço-tempo é uma necessidade fundamental
O método dos elementos finitos merece a honra de aparecer no topo da lista do HN. Antigamente, escolhi “colocação ortogonal” para meu modelo, porque era mais rápida e se ajustava melhor ao problema da época. Alguns colegas pesquisadores usaram FEM, e nos anos 90 isso certamente estava em grande voga
Este é um resumo vindo de “Chaos researchers can now predict perilous points of no return” (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414
FEM: Finite Element Method: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
FEM é o método dos elementos finitos, usado para resolver equações diferenciais parciais acopladas, e FEA é a análise por elementos finitos, que aplica FEM
Finite Element Analysis do awesome-mecheng: https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
Há também uma thread relacionada à “relaxation technique” de “Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time” (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243: https://news.ycombinator.com/item?id=40396171
É uma perspectiva interessante. Acabei de participar de uma conferência sobre análise isogeométrica (IGA), mencionada brevemente também neste texto
Tom Hughes, citado várias vezes, agora é praticamente o líder da comunidade de pesquisa em IGA. A IGA tem grande potencial para resolver muitos dos pontos dolorosos do FEM. Em geral, oferece melhores taxas de convergência, permite passos de tempo melhores em solucionadores explícitos e fornece métodos melhores para garantir estabilidade em problemas como sólidos incompressíveis
Um ponto especialmente interessante é que ela viabiliza abordagens imersas, nas quais basta colocar a geometria dentro de uma malha de fundo fácil de gerar, fazendo com que o problema de geração de malha praticamente desapareça. Ainda há muito a fazer até a adoção pela indústria, mas é provável que seja o futuro do FEM
Se não me falha a memória, a taxa de convergência é exatamente a mesma, e essa abordagem não reflete adequadamente o fato de que, exceto na fronteira, a geometria e o campo das grandezas físicas de interesse não têm a mesma distribuição espacial
A IGA existe há muito tempo, mas nunca se concretizou além do truque de “vamos reutilizar funções de CAD”. No fim, em comparação com uma P-refinação comum, ela só torna o problema mais complexo sem ganhos práticos reais. Então fico curioso sobre qual potencial ainda resta
Lembro do nome Tom Hughes. Tenho também o livro dele sobre FEM, e ele foi por muito tempo, talvez por décadas, praticamente a única pessoa defendendo esse conceito. O motivo é que a comunidade de mecânica computacional como um todo olhou para aquilo, achou interessante, mas acabou concluindo que não valia o esforço. Há ideias muito mais interessantes e promissoras em FEM do que usar splines para criar elementos
Fiz uma disciplina na graduação e voltei a ver o assunto na pós, mas ainda não consigo entender de jeito nenhum a derivação de Galerkin nem a derivação variacional
O fluxo na minha cabeça é este: 1. equação diferencial parcial na forma forte, 2. forma fraca, 3. forma fraca discretizada, 4. cálculo numérico das integrais em cada elemento, 5. montagem do sistema linear, 6. solução do sistema linear
Se você tem interesse em implementações modernas, SELF é uma biblioteca de elementos espectrais feita em Fortran orientado a objetos[1]
Os desenvolvedores da Fluid Numerics devem publicar em breve benchmarks em sistemas MI300A e outros hardwares interessantes
[1] https://github.com/FluidNumerics/SELF