Teoria de Galois
(golem.ph.utexas.edu)- Tom Leinster disponibilizou, via arXiv e em seu site, os materiais de Teoria de Galois usados em suas aulas de graduação em Edimburgo entre 2021 e 2023
- Os materiais incluem notas de aula, cerca de 40 vídeos curtos de explicação, exercícios e quase 500 questões de múltipla escolha, podendo também ser usados para estudo autodidata
- Essas notas parecem ter despertado mais interesse do que seus materiais anteriormente publicados sobre Fourier analysis, general topology, linear algebra e category theory; as notas de category theory são um caso excepcional por também terem sido publicadas em livro
- A primeira oferta da disciplina ocorreu durante o lockdown total da Covid, quando a interação presencial era difícil, o que exigiu orientação e estrutura mais cuidadosas do que o normal
- Além da qualidade do conteúdo, a organização visual — como cores e pequenos ícones — parece ter contribuído para a acessibilidade, e as notas, vídeos e questões permanecem como um recurso público útil para estudantes
Publicação dos materiais do curso de Teoria de Galois de Edimburgo
- Tom Leinster publicou no arXiv as notas da disciplina de graduação Galois theory de Edimburgo
- A disciplina foi ministrada de 2021 a 2023
- As notas já estavam disponíveis em seu site havia algum tempo, mas o registro no arXiv foi adiado para que ele pudesse publicar junto a maior parte dos outros materiais do curso
- Os materiais publicados podem ser vistos em Galois theory course materials
- Notas de aula completas e autônomas
- Cerca de 40 vídeos curtos de explicação
- Muitos exercícios
- Quase 500 questões de múltipla escolha
Diferença em relação aos materiais publicados anteriormente
- Leinster já havia publicado várias notas de curso no passado
- As notas de Teoria de Galois parecem ter recebido mais atenção do que essas
- Como exceção, as notas de category theory também foram transformadas em livro
Uma estrutura cuidadosa moldada pelo período de lockdown
- A primeira oferta da disciplina aconteceu durante o lockdown total da Covid
- Os estudantes estavam sem oportunidades de interação presencial
- Leinster julgou que os alunos precisavam de mais orientação do que o normal
- Entre os motivos para a atenção recebida pelas notas pode estar não apenas a composição cuidadosa do conteúdo, mas também sua boa apresentação visual
- Cores
- Pequenos ícones
- Uma organização visual geral mais fácil de ler
Objetivo dos materiais públicos
- Leinster espera que as notas, vídeos e questões tragam proveito e prazer às pessoas
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Eu era da engenharia elétrica, mas aprendi teoria de Galois na universidade, meio por acaso, em Edinburgh. No quarto ano, escolhi Advanced Mathematics quase como uma forma de penitência, e a turma era bem pequena, ensinada por um “matemático de verdade” que vinha todo dia do departamento de matemática
Recebi bastante formação em matemática, mas acho que foi a única vez em que fui ensinado diretamente por alguém que cria matemática nova e escreve artigos. Ele ensinava teoria de Galois usando aplicações em teoria de códigos como exemplo e, sinceramente, considero aquilo um ponto de virada na minha vida
Nunca mais pensei em construção de heptadecágono, e com certeza também passei a evitar duelos e Montparnasse. Brincadeiras à parte, foi como se uma lâmpada acendesse na minha cabeça, e isso ajudou muito na minha carreira mais tarde, quando encontrei pessoas tentando parecer inteligentes por conhecer ECC ou ZKP. Foi o completo oposto de quem diz “nunca usei nada do que aprendi na faculdade”
O livro de Ian Stewart é excelente para estudo autodidata e também traz um contexto histórico interessante
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
Mais para o fim deste ano, talvez no inverno, se eu avançar bem, pretendo organizar um clube do livro usando esse livro. Se alguém quiser ler algo assim em grupo e compartilhar o progresso, gostaria de convidar para o canal #bitwise no IRC e no Matrix. Os dois canais são interligados, então tanto faz por qual entrar
Nesse canal há usuários do HN e de outros canais como ##math, ##physics e #cs, e ele funciona como um espaço online para compartilhar progresso e conteúdo de livros de matemática e computação que estamos lendo
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
Hoje em dia, a forma como a teoria é ensinada muitas vezes foi reconstruída ao longo do desenvolvimento do pensamento e da notação matemática, então também foi muito interessante ler os artigos originais anteriores a isso. Para esse propósito, recomendo fortemente The mathematical writings of Evariste Galois, de Peter Neumann (https://ems.press/books/hem/102). Há o original em francês e uma tradução literal para o inglês lado a lado, além de notas explicando o contexto e possíveis linhas de raciocínio. Eu estava aprendendo francês, então também gostei de poder ler mais em francês)
O capítulo 1 é excelente
Há anos venho dizendo que cursos de matemática precisam de mais contexto. Dá para provar X, Y e Z, e essa disciplina ensina isso, mas o problema motivador que nos levou a poder fazer X, Y e Z é tratado só de passagem
Depois de resolver alguma coisa, podemos reformulá-la de uma forma mais geral, e essa própria reconstrução vira um objeto. É ótimo que o desenvolvimento avance assim, mas, para fins de ensino, as pessoas guardam muito melhor quando se ensina não só o destino, mas também a jornada. Ao ensinar Cálculo I, teria sido muito mais envolvente para os alunos incluir que problema Newton estava tentando resolver e por quê. Porque assim existe uma história para acompanhar e um motivo para aprender
Meus elogios ao autor que escreveu o capítulo 1. O resto provavelmente também é bom, mas por enquanto só tive tempo de folhear o capítulo 1. Acho que isso vale não só para a matemática, mas para quase qualquer matéria
Na graduação, trabalhei numa organização de tutoria de matemática, e as aulas de cálculo eram divididas entre versões para engenharia/ciências e para administração/economia. Se a mecânica newtoniana for interessante ou relevante para a área do aluno, essa abordagem é ótima, mas eu via com frequência estudantes de cursos como biologia ou engenharia industrial sofrerem ainda mais por causa das aplicações de física no material
Os alunos chegavam com um único problema, “cálculo é difícil”, e de repente passavam a ter dois problemas: para entender cálculo, precisavam também entender física. Havia alunos que iam bem com derivadas e integrais em si, mas travavam quando apareciam problemas de física. A capacidade de traduzir problemas do mundo real em matemática é importante, mas quando entra uma área específica pela qual a pessoa não tem interesse, isso vira um obstáculo ainda maior
Com alunos de administração era parecido. Como a maioria dos tutores era de engenharia, era difícil ajudar estudantes de administração que usavam materiais cheios de exemplos que exigiam conhecimentos básicos de finanças. Muitas quantidades financeiras não são contínuas, mas discretas, o que aumentava ainda mais a confusão dos tutores
Se for possível encontrar uma aplicação pela qual o aluno se interesse, claro que essa abordagem deve ser usada. Mas, em materiais de uso geral, escolher uma aplicação específica atrapalha o aprendizado de muitos alunos que não têm interesse nela
Se aprendermos como a matemática se desenvolveu ao longo do tempo e como as pessoas do passado resolveram problemas importantes, isso ajuda quando vamos resolver outros problemas hoje? Há alguns anos comprei a coleção de 3 volumes de Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, mas não tive tempo de passar dos primeiros capítulos. Se houver recomendação de alguma grande obra sobre história da matemática, tenho interesse
Estranhamente, depois de ler Everything and More, de David Foster Wallace, passei a entender muito melhor. Porque o livro explica os paradoxos e becos sem saída que os matemáticos encontraram antes de Cauchy e outros tornarem a área rigorosa. Wallace era um romancista pós-moderno, então não sei por que conseguiu explicar infinito com tanta clareza. Não consegui gostar das outras obras dele
Com cabeça de programador, tanto para resolver t^3 = 2 quanto para resolver numericamente t^100 + t + 1 = 7, eu usaria métodos iterativos como o método de Newton. “Existe um botão de raiz n-ésima” não é argumento. Afinal, também poderíamos ter colocado um botão mais geral de Newton
As duas coisas não parecem fundamentalmente diferentes. Por que é importante saber se dá para resolver com radicais? Isso parece tão arbitrário quanto perguntar se dá para resolver sem usar o número 2. Acho que eu me interessaria mais por outros sentidos de solucionabilidade, como métodos iterativos, método de Newton e convergência quadrática
Conversei com alunos de algumas outras escolas, e eles tiveram experiências parecidas. Na época, ninguém gostava disso. Meu professor gastou pelo menos duas aulas inteiras só escrevendo história no quadro, e nós achávamos bem entediante. Mas também éramos pós-graduandos em matemática, então não precisávamos de motivação
Considero a teoria de Galois a explicação e o ápice da matemática teórica que dá para discutir em uma mesa de jantar até com pessoas que não gostam de matemática
Se você começar pela fórmula de Bhaskara, quase todo mundo se lembra de alguma coisa. Você fala sobre resolver x em polinômios e então passa para a questão de se sempre dá para resolver x, e o que isso quer dizer. Se você desenhar o gráfico de um polinômio, ele cruza o eixo x, então existem soluções, mas isso quer dizer que sempre existe uma fórmula em termos dos coeficientes? Isso sugere o teorema fundamental da álgebra, segundo o qual todo polinômio de grau n tem n raízes nos complexos
É difícil explicar a ligação entre resolver por radicais e o que isso significa em termos de ter uma fórmula para x com os coeficientes do polinômio
A conclusão é que, para polinômios gerais de grau 5 ou maior, não existe fórmula para x expressa em termos dos coeficientes usando apenas as quatro operações e extração de radicais. A teoria de Galois prova isso
Galois recebe esse crédito porque foi necessária uma imaginação enorme para pensar em como formalizar e provar a ideia de que “não existe fórmula”. A questão central é o que significa não existir fórmula, e como formular isso corretamente e demonstrá-lo
A teoria de Galois oferece muito mais insight e permite entender por que algumas equações de quinto grau são resolúveis por radicais, entre outras coisas. Mas Galois não deve receber o crédito pela prova da inexistência da fórmula da quíntica. Pelo menos, ele não foi o primeiro
Nas aulas de álgebra abstrata na universidade, a teoria de Galois sempre ficou na minha memória como um grande final. Galois era uma mente matemática brilhante, e fico pensando no que mais ele teria contribuído se não tivesse morrido em um duelo aos 20 anos
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
Alguns anos atrás, cheguei a conduzir um grupo de estudos usando A Book of Abstract Algebra, de Charles C. Pinter. No fim, ele levava à teoria de Galois, e foi um dos melhores livros que já usei em um grupo de estudos de matemática
Também me lembro da parte sobre Galois no fim do livro. Havia uma parte interessante sobre a história de resolver raízes de equações polinomiais, especialmente a história de resolver equações de grau arbitrário
Do ponto de vista de quem não é formado em matemática, fico curioso se este artigo da Simple Wikipedia está mais ou menos correto. Como engenheiro humilde, sempre via teoria de Galois em listas de cursos de matemática e ficava me perguntando o que era
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
O insight brilhante descoberto por Galois é a conexão fundamental entre corpos e grupos, mas isso está mais para uma “técnica” de resolução de problemas. O “por que fazer isso” é um pouco mais complexo, mas, em resumo, Galois queria estabelecer um critério para decidir se certo polinômio pode ou não ser resolvido em certo corpo
Por exemplo, sabemos que x^2 = -1 pode ser resolvida nos complexos C com x = i, mas não pode ser resolvida nos reais. A pergunta é se isso pode ser generalizado a ponto de podermos executar esse tipo de prova mecanicamente para qualquer corpo e qualquer polinômio
Tentei motivar as perguntas que levam à teoria de Galois de uma forma mais acessível para programadores e engenheiros mais práticos em https://news.ycombinator.com/item?id=41258726
No segundo semestre de álgebra houve uma unidade sobre teoria de Galois, mas na época aquilo pareceu baboseira abstrata e eu não entendi. Quero seguir este material para ver se minha perspectiva mudou agora
A principal motivação da teoria de Galois era provar a impossibilidade de uma solução geral para equações de quinto grau. A fórmula geral para resolver a equação quadrática ax^2 + bx + c = 0 já era conhecida havia milhares de anos, e, com esforço, os matemáticos também encontraram fórmulas para polinômios de terceiro e quarto grau. Mas ninguém conseguia encontrar uma solução fechada para o quinto grau
Galois e Abel acabaram provando que não existe fórmula para o quinto grau. Pelo menos não uma expressável com adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e radicais. Também é possível identificar equações concretas, como x^5 - x + 1, cujas raízes não podem ser expressas dessa forma
Assisti a um curso inteiro cobrindo essa prova, e ela foi de fato muito interessante. Estabelece-se uma correspondência profunda entre grupos e corpos, a ponto de podermos transferir teoria sobre grupos para teoria sobre corpos, e vice-versa. Isso também fornece uma ferramenta muito poderosa para analisar simetrias
A prova em si chega a ser quase anticlimática. Depois de acumular um monte de demonstrações profundas sobre a estrutura das raízes de equações polinomiais, no final vemos que a estrutura de simetria de um polinômio quíntico específico como x^5 - x + 1 não combina com as simetrias das operações matemáticas básicas. Literalmente, o corpo das soluções desse polinômio não corresponde a um grupo resolúvel: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
Em praticamente a mesma linha, também se prova que é impossível trissecar um ângulo usando apenas compasso e régua. Foi um problema que atormentou os matemáticos por milhares de anos. De forma até um pouco decepcionante, depois de um semestre inteiro definindo “baboseira abstrata” como grupos, corpos e extensões de corpos, a prova da impossibilidade da solução geral de quinto grau leva 10 minutos, e a da impossibilidade da trissecção do ângulo também
Há alguns pontos interessantes em que a teoria de Galois encosta em compiladores e programação
A interpretação abstrata mapeia conjuntos potencialmente infinitos de comportamentos de programa para modelos mais simples, muitas vezes finitos, que são aproximações corretas e mais fáceis de raciocinar. Aqui se usam conexões de Galois, e dá para fazer uma analogia com a teoria de Galois ligando corpos infinitos e grupos finitos. Penso nisso com frequência ao fazer trabalho de numeração de valores
Outra analogia, talvez um pouco forçada, é pensar em expandir um domínio de computação como os inteiros com valores adicionais, como valores de erro, como uma espécie de extensão de corpos. Assim como em extensões de corpos, às vezes surgem complexidades inesperadas. Por exemplo, a perda da fatoração única,
poisoneundefdo LLVM, e coisas como NaNEssencialmente, ela permite aproximar de forma correta o conjunto de estados alcançáveis de um programa e, com isso, verificar se certos estados ruins não podem ser alcançados, ou decidir se alguma verificação é inútil e pode ser removida. Outra aplicação é o novo borrow checker do Rust, que se baseia em várias passagens de fluxo de dados para determinar quais variáveis estão vivas e emprestadas em cada ponto do programa
Sobre a frase “não há como distinguir
ide-i”, ainda hoje não sei como distinguir, de forma puramente algébrica, um sistema de coordenadas canhoto de um destroA base [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] é canhota ou destra? Sem um desenho, não sei. Fico curioso se alguém sabe
“Esquerda” e “direita” formam um par dual. Uma não existe sem a outra, e são simétricas entre si. É o mesmo tipo de questão que os conjugados discutidos na teoria de Galois
Na verdade, de um ponto de vista algébrico, ou seja, não de ordem, aritmético ou analítico, o próprio uso de + e - para indicar conjugados de extensões de corpo como sqrt2 ou i pode induzir a erro. Para esses pares conjugados, Left e Right seriam nomes melhores do que + e -. Só faz sentido usar + e - quando se impõe uma ordem aritmética. Por exemplo, quando x é um número real positivo, pode-se dizer que -sqrt(x) < 0 < +sqrt(x)
Se x for um número real negativo, o problema com - aparece imediatamente. Não há como separar
-ieipela ordem em relação a 0Os números complexos são essencialmente a teoria de um espaço bidimensional. A pergunta é sobre um espaço tridimensional. A frase citada nos diz que, em teoria, não há como distinguir cima de baixo
Todo espaço tridimensional contém espaços bidimensionais. Há várias formas de ver isso, mas a mais simples é descartar a coordenada z
Se supusermos que é possível distinguir entre canhoto e destro em um espaço tridimensional, então passamos a ter um modo de distinguir cima de baixo no espaço bidimensional contido nele. Mas, como essa distinção não pode ser feita no espaço bidimensional, também não é possível distinguir entre canhoto e destro no espaço tridimensional