Um avanço notável sobre a hipótese de Riemann

• Guth e Maynard realizaram a primeira melhora substancial do limite de Ingham de 1940 sobre os zeros da função zeta de Riemann, mas isso ainda está longe de resolver a própria hipótese de Riemann
• O objeto central é N(σ,T), o número de zeros cuja parte real é pelo menos σ e cuja parte imaginária tem módulo no máximo T; no caso σ=3/4, o limite anterior havia permanecido sem grande progresso por mais de 80 anos
• O novo resultado reduz o limite em σ=3/4 de 3/5=0.6 para 13/25=0.52 e fornece uma estimativa de densidade de zeros da forma N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
• Com essa melhora, o intervalo em que se pode provar o teorema dos números primos em quase todos os intervalos curtos (x, x+x^θ) se amplia de θ > 1/6 para θ > 2/15
• Este resultado restringe com mais força a possibilidade de “muitas violações intermediárias da hipótese de Riemann”, mas não representa um avanço em região livre de zeros (zero-free region), que excluiria uma única grande violação

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O limite de densidade de zeros melhorado por Guth–Maynard

• O artigo de Guth e Maynard New large value estimates for Dirichlet polynomials prova novos limites para a frequência com que polinômios de Dirichlet assumem valores grandes
• Em particular, trata da situação crítica em que um polinômio de Dirichlet de comprimento N atinge magnitude próxima de N^{3/4}, um gargalo em várias estimativas de teoria analítica dos números ligadas aos primos e à função zeta de Riemann
• N(σ,T) denota o número de zeros da função zeta de Riemann cuja parte real é pelo menos σ e cujo valor absoluto da parte imaginária é no máximo T
  • A hipótese de Riemann pode ser vista como a afirmação de que N(σ,T) é 0 para todo σ > 1/2
  • Como isso não pode ser provado incondicionalmente no momento, em vez disso se demonstram estimativas de densidade de zeros, isto é, limites superiores não triviais para N(σ,T)

O limite de Ingham, travado por mais de 80 anos

• σ=3/4 funciona como o valor central neste problema
• Em 1940, Ingham obteve o limite N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)}
• Nos 80 anos seguintes, esse limite não foi melhorado de forma substancial, havendo sobretudo apenas pequenos refinamentos no termo de erro o(1)
• Essa limitação vinha restringindo vários problemas da teoria analítica dos números
  • Para obter por muito tempo um bom teorema dos números primos em quase todos os intervalos curtos (x, x+x^θ), era preciso permanecer na faixa θ > 1/6
  • O principal obstáculo era a ausência de melhora no limite de Ingham

Como os novos números levam ao resultado sobre intervalos curtos de primos

• Guth–Maynard melhora o limite de Ingham de 3/5=0.6 para 13/25=0.52
• O artigo inclui uma estimativa de densidade de zeros da forma N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)}
• Para intervalos curtos de primos, ele deduz uma assíntota para intervalos de comprimento x^{17/30+o(1)}
• A faixa do teorema dos números primos para quase todos os intervalos curtos (x, x+x^θ) também melhora junto
  • Anterior: θ > 1/6 = 0.166...
  • Melhorada: θ > 2/15 = 0.133...
• Se a hipótese de Riemann for verdadeira, essa faixa seria possível para todo θ > 0

Manipulações inesperadas usadas na demonstração

• O argumento tem em grande parte caráter de análise de Fourier
• Parte das etapas iniciais é padrão, em uma forma familiar para analistas dos números que tentaram quebrar o limite de Ingham
• Depois disso, várias escolhas pouco intuitivas passam a ter papel central
  • A matriz de fase n^{it}=e^{it log n} é controlada ao elevá-la à 6ª potência
  • Uma certa integral de Fourier complexa não é simplificada por stationary phase; em vez disso, mantém-se uma forma fatorada que se mostra útil depois, mesmo à custa de perder no expoente
  • Os casos são separados conforme a additive energy das posições em que a série de Dirichlet assume valores grandes seja pequena, intermediária ou grande, e argumentos diferentes são aplicados a cada caso
• A forma exata da função de fase t log n, intrínseca à série de Dirichlet, torna-se extremamente importante
• Isso não explora somas exponenciais gerais da análise harmônica, mas sim a especificidade das somas exponenciais que surgem na teoria analítica dos números

Densidade de zeros e região livre de zeros não são a mesma coisa

• Este resultado ajuda a reduzir a possibilidade de “muitas violações moderadamente ruins” da hipótese de Riemann
  • Melhorias desse tipo são especialmente úteis para entender os primos em intervalos curtos
• No entanto, ele não exclui de forma nova uma “única violação muito ruim” da hipótese de Riemann
  • Essa exclusão é papel da região livre de zeros
  • Para entender os primos em intervalos longos, a região livre de zeros tem papel central
• A melhor região livre de zeros assintótica conhecida continua sendo a Vinogradov–Korobov zero-free region
  • Nessa notação, se σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T, então N(σ,T) desaparece completamente
  • Esse resultado também quase não se moveu desde 1958
• No aspecto q, eliminar o Siegel zero de L-funções também seria uma grande ruptura do lado de região livre de zeros
• Do ponto de vista de visualização, quanto menor o expoente conhecido θ(σ), melhor é o limite
  • A nova curva de Guth–Maynard melhora o melhor entre os limites de Ingham e Huxley perto de σ=3/4
  • Mas ainda não alcança a density conjecture nessa faixa
  • A hipótese de Riemann corresponderia a abaixar todo o diagrama até o eixo x

[GN⁺]

Comentários do Hacker News

• Há uma visualização da função zeta feita em JavaScript, com zoom infinito e parâmetros ajustáveis: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
  Isso pode ajudar a entender intuitivamente por que essa hipótese parece ter alta probabilidade de ser verdadeira. Ela renderiza somas parciais e rastreia o caminho da zeta
  A renderização inclui todas as somas parciais até o N-critical calculado automaticamente, que é o ponto em que a diferença de fase entre dois termos fica menor que π, isto é, o limite de Nyquist. Depois disso, o comportamento das somas parciais se torna monótono
  Os clusters parecem um modo de aliasing que vai e volta quando a frequência instantânea dos termos está entre kπ e (k+1)π, e a região de caminhada aleatória é a área em que há apenas um ponto por modo de aliasing. A linha verde destaca a simetria das somas parciais, com os clusters mantendo simetria com a região de caminhada aleatória. Essa simetria está bem organizada neste artigo: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

  • Também tive, alguns anos atrás, uma interpretação intuitiva da hipótese de Riemann em termos de processamento de sinais; resumindo de forma simples, a função zeta pode ser vista como um amostrador em tempo logarítmico
    zeta(s) é a transformada de Laplace de sum(delta(t-ln n)) amostrada no instante t=(ln n) para inteiros n>0, e a taxa de amostragem aumenta rapidamente
    Dá para imaginar isso como a resposta ao impulso saída de uma caixa-preta, e, dependendo do parâmetro da parte real, a resposta ao impulso pode ser de energia finita ou um sinal de potência. Se assumirmos que a energia sum(|1/s|^2) é finita, isto é, real(s) > 1/2, então a hipótese de Riemann estaria dizendo que essa soma não é 0. É como dizer que um amostrador logarítmico não pode destruir informação sem nem estar ligado à tomada
  • Eu também fiz uma. A minha foi feita em Unity e mostra uma espiral 3D subindo no eixo Y
    Acho que ver em três dimensões ajuda: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
  • Uau, a sua é muito mais legal que a minha: https://matt-diamond.com/zeta.html
    Ainda assim, é divertido ver quanta gente tentou fazer isso. O resultado também fica bonito e é um exercício divertido de programação
  • Fiquei curioso sobre qual fórmula é realmente usada para desenhar o gráfico
  • Existe algum bom material para digerir esse tema com facilidade?

• James Maynard aparece com frequência no Numberphile, então, se você quiser ouvir uma explicação matemática acessível de um dos autores deste artigo, vale a pena conferir: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • Curiosidade que descobri hoje: a medalha Fields só é concedida a matemáticos com menos de 40 anos
    Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=eupAXdWPvX8&list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM&index=3&t=10m
  • Os vídeos do Maynard no Numberphile são excelentes. Como o Tao, ele parece conseguir explicar com clareza até para não especialistas, e vejo isso como outro sinal de grandeza

• Se você procura um material introdutório sobre a hipótese de Riemann que vá mais fundo do que a maioria dos vídeos, mas ainda seja acessível para alguém de STEM, esta série de vídeos do zetamath foi realmente muito boa
  Eu até consegui entender todo o texto original do professor Tao até a parte sobre “controlar a matriz central das fases”, então os vídeos claramente me ensinaram alguma coisa
  [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

• Dá para imaginar como deve ser ter Terence Tao resumindo seu argumento dizendo que ele próprio tentou algo parecido e fracassou
  “O argumento tem, em grande parte, um caráter de análise de Fourier. Os primeiros passos são padrão, e muitos teóricos analíticos dos números que tentaram romper a barreira de Ingham, inclusive eu, vão reconhecê-los. Mas eles fazem vários movimentos engenhosos e inesperados”

  • É totalmente comum que um matemático use com sucesso uma técnica que outro matemático de altíssimo nível tentou usar e não conseguiu
  • Nunca o conheci pessoalmente, mas a escrita do Tao é muito humilde e gentil. Ele também fala publicamente sobre coisas que tentou e não deram certo
    Além disso, escreve bastante sobre ferramentas e suas limitações em geral. Recomendo fortemente ler o blog dele
  • Dois dos autores do artigo já têm uma posição bem consolidada na área
    [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
    [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
  • Deve parecer uma meritocracia de verdade. Especialmente em lugares onde classificação rígida não é o padrão, até Terence Tao provavelmente não se vê no “topo” de alguma coisa
    Além disso, isso também pode indicar uma base sólida e um entendimento em que não se espera necessariamente que o comportamento de alguém tenha relação com reputação. Especialmente quando produzir resultados não é um concurso de popularidade, mas o esforço de uma pessoa ou de uma equipe rigorosa
    Isso pode soar estranho para quem atua em ambientes de negócios comuns, grandes empresas, VC e academia, onde a política domina, a meritocracia vira só um slogan motivacional agradável e a popularidade se torna a moeda real

• Este texto, que explicava a importância potencial da prova proposta em 2018, foi um material introdutório útil.
  [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

  • Fico curioso sobre a importância potencial da prova. O artigo é um tanto vago nesse ponto:

    (Os números primos) são importantes para proteger comunicações criptografadas transmitidas pela internet. E, de forma importante, inúmeros artigos de matemática assumem que a hipótese de Riemann é verdadeira. Se essa suposição fundamental for provada correta, “muitos resultados que se acredita serem verdadeiros passarão a ser conhecidos como verdadeiros”, diz Ken Ono, matemático da Emory University, em Atlanta. “É uma espécie de oráculo matemático.”
    Haveria alguma aplicação clara e conhecida em que uma prova da hipótese de Riemann teria efeito prático imediato? Digo, além da satisfação ou de uma “criptografia um pouco melhor”

• Curiosidade: um dos autores, Larry Guth, é filho do físico teórico Alan Guth, famoso pela cosmologia inflacionária (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

• Fico me perguntando sobre todos os teoremas que dependem da hipótese de Riemann como um terceiro excluído.
  Os construtivistas rejeitam o terceiro excluído porque consideram que, para uma prova de “A ou B”, é preciso ter de fato uma prova de A ou uma prova de B. Mas, até agora, ninguém tem nem uma prova de RH nem uma prova de ~RH.
  Isso é importante em alguns sistemas lógicos chamados incompletos, em que certos teoremas não podem ser provados nem refutados, e nesses sistemas o terceiro excluído é um axioma inadmissível.

  • Isso não é uma questão um pouco diferente? Eu achava que o ponto central era distinguir entre demonstrabilidade e verdade.
  • Já ouvi esta linha de raciocínio:
    Se RH for indemonstrável em qualquer direção, então definitivamente não pode existir um contraexemplo para RH. Se existisse um contraexemplo, poderíamos encontrá-lo e provar que RH é falsa.
    Portanto, se RH for indemonstrável, então ela deve ser verdadeira. Mas isso parece usar uma lógica externa ao sistema lógico em que RH opera.

• Esta seção de comentários está estranhamente cheia de gente que claramente não entende o tema, mas quer parecer inteligente, e acaba produzindo o efeito oposto.
  Seria bom largar essa ansiedade. Tudo bem admitir honestamente que você não entende alguma coisa. Todo mundo tem mais coisas que não entende do que coisas que entende.

  • Tirando um comentário sinalizado, achei os comentários bem profundos e interessantes. Há até uma bela demonstração de visualização da função zeta de Riemann:
    https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
    Na verdade, seu comentário parece bastante condescendente e mais uma projeção do que uma contribuição significativa.
  • Isso não vale para toda seção de comentários?

• Alguém pode explicar isso para quem não é matemático?

  • A hipótese de Riemann é um dos problemas em aberto mais importantes da matemática. Ela diz que todas as soluções de uma certa equação, zeta(z)=0, têm uma forma específica.
    Praticamente todo matemático vivo já tentou resolvê-la em algum momento da vida. A conjectura tem implicações profundas para a teoria dos números, por exemplo na distribuição dos números primos.
    Em um artigo recente, alguns matemáticos afirmam ter estabelecido limites mais fortes sobre onde essas soluções podem estar. No texto linkado, Terrence Tao, um dos maiores matemáticos vivos, elogia muito o artigo.
    Pessoalmente, ainda não acho que isso tenha chegado ao ponto de ser de enorme interesse para quem não é matemático. É um resultado extremamente técnico e, no processo de revisão adicional, pode acabar se mostrando incorreto ou incompleto.
    Há muito material para ler sobre a hipótese de Riemann, suas implicações e as tentativas de resolvê-la.
  • Pense em Indiana Jones and the Last Crusade. Ainda não entramos na sala, mas já desarmamos uma das armadilhas do templo.
  • Como contexto, este vídeo explica bem uma visão geral da hipótese de Riemann: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
  • Existe uma fórmula aproximada para quantos números primos menores que N existem, à medida que N cresce.
    Se a hipótese de Riemann for verdadeira, saberemos que o erro dessa aproximação é pequeno e bem controlado, e então será possível provar muitos outros resultados aproximados. Há muitos resultados do tipo “se a hipótese de Riemann for verdadeira...”.
  • Prime Obsession é uma boa introdução em formato de livro à hipótese de Riemann e ao próprio Riemann, sem pressupor formação em matemática.

• Ótimo timing. Estou ouvindo The Humans, de Matt Haig, neste momento, e a história começa logo depois de alguém provar a hipótese de Riemann.