6174: número natural conhecido como constante de Kaprekar
(en.wikipedia.org)- 6174 é um número natural entre 6173 e 6175 e, matematicamente, é classificado como a constante de Kaprekar
- Sua fatoração em primos é 2 × 3² × 7³, e ele é um número 7-smooth, com todos os fatores primos menores ou iguais a 7
- 6174 pode ser expresso como 18³ + 18² + 18¹, e a soma de seus algarismos também é 18
- Ao elevar ao quadrado os fatores primos, incluindo repetições, e somá-los, obtém-se 169 = 13², novamente um quadrado perfeito
- Há links para um vídeo da Numberphile e exemplos de código em Perl, Python e C, permitindo conferir exemplos de cálculo da constante de Kaprekar
Definição básica de 6174
- 6174 é o número natural que vem depois de 6173 e antes de 6175
- Sua forma cardinal em inglês é “six thousand one hundred seventy-four”, e sua forma ordinal é 6174th
- Sua fatoração em primos é 2 × 3² × 7³
- Seus divisores são 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174
Representação em vários sistemas numéricos
- Binário: 1100000011110₂
- Ternário: 22110200₃
- Senário: 44330₆
- Octal: 14036₈
- Duodecimal: 36A6₁₂
- Hexadecimal: 181E₁₆
- A notação em numerais gregos é ,ϚΡΟΔ´, e a notação em numerais romanos é V MCLXXIV ou VI CLXXIV
Propriedades matemáticas
- 6174 é a constante de Kaprekar
- É um número 7-smooth, pois não tem fatores primos maiores que 7
- É possível obter 6174 pela soma das três primeiras potências de 18
- 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
- 6 + 1 + 7 + 4 = 18, ou seja, a soma dos algarismos também é 18
- A soma dos quadrados de seus fatores primos é um quadrado perfeito
- 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²
Materiais externos relacionados
- 6174 is Kaprekar's Constant: vídeo da Numberphile
- Sample (Perl) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: código de exemplo em Perl
- Sample (Python) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: código de exemplo em Python
- Sample (C) code to walk the first 10000 numbers and their steps to Kaprekar’s Constant: código de exemplo em C que trata dos primeiros 10000 números e do número de passos até a constante de Kaprekar
1 comentários
Comentários do Hacker News
Parece estar claramente relacionado a um procedimento manual padrão de contabilidade usado para encontrar erros em livros de escrituração por partidas dobradas. Primeiro, verifica-se se o valor do erro é divisível por 9 e, se for, assume-se que em algum lugar dois ou mais dígitos foram trocados de posição
O motivo pode ser demonstrado assim: para quaisquer números x, y, o valor correto é 10x + y, e o valor com os dígitos invertidos é x + 10y. A diferença é (10x - x) + (y - 10y), que se reduz a 9x - 9y e, no fim, pode ser fatorada como 9(x - y)
As somas dos dígitos dos dois lados da equação a - rev_a = b ficam cada vez mais próximas com as repetições. Às vezes a distância permanece igual, mas nunca aumenta. E essa convergência só acontece em 18
Ex:
5200 (soma 7) - 0025 = 5175 (soma 18, diferença 11)
7551 (soma 18) - 1557 = 5994 (soma 27, diferença 9)
9954 (soma 27) - 4599 = 5355 (soma 18, diferença 9)
5553 (soma 18) - 3555 = 1998 (soma 27, diferença 9)
9981 (soma 27) - 1899 = 8082 (soma 18, diferença 9)
8820 (soma 18) - 0288 = 8532 (soma 18, diferença 0)
8532 (soma 18) - 2358 = 6174 (soma 18, diferença 0)
7641 (soma 18) - 1467 = 6174 (soma 18, diferença 0)
Isso parece ser a primeira pista. O único caso em que as somas dos dígitos dos dois lados podem se igualar é quando ambos são 18; as duas somas vão ficando cada vez mais próximas até que eventualmente devem se igualar, e esse ponto tem de ser 18. Se for investigado a fundo, isso provavelmente é uma variação da regra clássica de soma dos dígitos mod 9
Depois, quando as somas dos dígitos dos dois lados chegam a 18, daí em diante parece que devem convergir para 6174
Ou seja, primeiro há uma convergência em que as somas dos dígitos sempre acabam iguais dos dois lados, e essa convergência sempre acontece quando as somas dos dois lados da equação são 18. Essa propriedade provavelmente pode ser provada com a regra clássica do mod 9, mas daria algum trabalho
Depois entra em ação uma segunda propriedade, segundo a qual todos os números de quatro dígitos da forma a - a_rev = b em que as somas dos dígitos de a e b são ambas 18 convergem para 6174. Esse é um conjunto bem mais restrito de números. Como a convergência para 18 pode ser analisada separadamente, basta considerar os números da forma a - a_rev = b em que as somas dos dígitos de a e b são ambas 18
Não faço ideia de por que isso é importante, mas é a coisa mais legal que vi recentemente no HN
Estou longe de ser um nerd de matemática e evitava a matéria na escola sempre que podia, mas isso é realmente interessante e estranho. Como alguém encontrou isso, e por qual motivo? A propriedade desse número já é interessante por si só, mas o próprio processo de descoberta é muito curioso
No fim, esse processo leva a um palíndromo, igual quando se invertem os dígitos. Mas alguns números, como 196, parecem nunca gerar um palíndromo. Ninguém sabe se isso é realmente verdade ou se o palíndromo só é grande demais para os computadores ainda o encontrarem
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Outro número de quatro dígitos interessante ligado a um matemático indiano é 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
Impressionante. Existe alguma intuição informal sobre por que sequer existe uma constante de quatro dígitos com essa propriedade? Intuitivamente, parece que esse grafo deveria ter vários ciclos
Fui verificar e, ao aplicar esse processo a todos os números de quatro dígitos, existem apenas 55 resultados distintos; excluindo 0000, ficam 54. Isso reduz o espaço para surgirem muitos ciclos
Olhando por alto, há alguns padrões. Por exemplo, em bases que têm um número de Kaprekar de dois dígitos, a soma dos dígitos tende a ser base-1. Parece haver alguma explicação de teoria dos números para isso
https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
Lembro de um dispositivo cilíndrico que vi no Exploratorium de San Francisco há mais de 10 anos. Acho que ele também já tinha aparecido antes nas colunas Mathematical Recreations ou Computer Recreations da Scientific American
Parecia haver números cobrindo um grande cilindro horizontal, e talvez um anel ou algum tipo de cursor. Ao girá-lo, alguma operação matemática era realizada, e, assim como este 6174, parecia convergir para um único número após algumas repetições, independentemente do estado inicial
Seria ótimo lembrar o que era aquilo
Tentei encontrar o artigo original do Kaprekar, mas não consegui. Alguém tem o PDF?
Como observação lateral, fico pensando em quantas pesquisas desapareceram no vazio só por não serem consideradas tão interessantes quanto esta
6174 só é especial quando se conta em base 10. Isto é HackerNews, então todo mundo usa hexadecimal. Infelizmente, segundo https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php, não há uma constante de Kaprekar simples em hexadecimal
Com 5 dígitos, é 98532. Interessante
74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
53955 -> 59994 -> repeat
https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php
O texto diz que funciona para todos os números, com exceção dos repdigits, mas não falha também para todos os palíndromos?